摘 要：

在課堂上，筆者給出一道平行線中的角度計(jì)算問題，從不同角度給出不同的解決方法，最后提煉出“對(duì)稱思想”的解題策略，并引導(dǎo)學(xué)生思考和探索，將問題推廣到更一般的情形.

關(guān)鍵詞：平行線；角度；計(jì)算；對(duì)稱思想；推廣

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）35-0002-03

收稿日期：2023-09-15

作者簡(jiǎn)介：莫益群（1973.6-），女，浙江省寧波人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

對(duì)平行線問題的處理和簡(jiǎn)單角度問題的計(jì)算，是初中生必備的能力.學(xué)生在解決這類試題的過程中，可以提高計(jì)算能力，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

筆者在課堂上呈現(xiàn)如下試題：

如圖1所示，已知l∥m，∠1=135°，∠2=95°，求∠3.

2 百花齊放，解法薈萃

經(jīng)過2分鐘的思考后，生1給出了如下解答.

生1：解法1 如圖2所示，作直線n∥l.

∵m∥l，n∥l，∴m∥n.∴∠1+∠6=180°，∠3+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°，∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點(diǎn)評(píng) 生1的解法思路清晰、過程簡(jiǎn)潔，很精彩，充分利用了平行線的性質(zhì)，兩條平行線被第三條直線所截，這是平面幾何中一個(gè)重要的解題模型［1］.

生2觀察生1的解答過程，受到啟示，給出了如下的解法.

生2：解法2 延長(zhǎng)AB，JC交于點(diǎn)H，如圖3所示.∵m∥l，∴∠1+∠BHC=180°.

∵∠2=∠BHC+∠BCH=∠BHC+180°-∠3，

∴∠1+∠2+∠3=∠BHC+180°-∠3+∠1+∠3=∠BHC+∠1+180°=180°+180°=360°，

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點(diǎn)評(píng) 與解法1相比，解法2也是通過構(gòu)造平行線被第三條直線所截來做的，構(gòu)造輔助線后圖形不如解法1的對(duì)稱，相應(yīng)的解題過程也就更繁瑣了.不過能有如此的探究精神，是值得表揚(yáng)的.

如果應(yīng)用對(duì)稱的思想，則圖1中AB、BC是平等的，延長(zhǎng)AB，JC可以解決，那么延長(zhǎng)CB、KA交于一點(diǎn)也必定可以解決，而且過程完全相似.同學(xué)們下課后自己去試試.

生3這時(shí)也舉手了，說想到了一種簡(jiǎn)便方法.

生3：解法3 連接AC，如圖4所示.

∵l∥m，∴∠KAC+∠JCA=180°.

又∵∠2+∠BAC+∠ACB=180°，

∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠BAC+∠ACB+∠KAC+∠JCA=180°+180°=360°，

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點(diǎn)評(píng) 解法3也是通過構(gòu)造平行線被第三條直線所截來做的.與解法2相比，由于輔助線并沒有改變?cè)瓐D的對(duì)稱性，解答過程相應(yīng)的也簡(jiǎn)單.生3構(gòu)造了一個(gè)△ABC，用到了三角形的內(nèi)角和.那么能夠通過構(gòu)造一個(gè)四邊形來解決么？

同學(xué)們思考了2分鐘后，生4舉手了，說已經(jīng)想到了如何利用四邊形的內(nèi)角和來解決了.

生4：解法4 過A點(diǎn)作直線AH交CJ于點(diǎn)H，如圖5所示.

∵m∥l，∴∠KAH=∠AHC，

∴∠1+∠2+∠3=∠BAH+∠KAH+∠2+∠3=∠BAH+∠AHC+∠2+∠3=360°（四邊形內(nèi)角和為360°）.

教師點(diǎn)評(píng) 解法4也通過構(gòu)造平行線被第三條直線所截來做，只是構(gòu)造了四邊形，不僅用了平行線的性質(zhì)，而且用到了四邊形的內(nèi)角和.相對(duì)與解法2來說，作輔助線后更為對(duì)稱，相應(yīng)的解法也更簡(jiǎn)單.與解法3比較，因?yàn)锳H可以有無數(shù)條，所以不如解法3的圖形對(duì)稱.從對(duì)稱的角度來看，點(diǎn)A與點(diǎn)C是平等的，既然過A點(diǎn)作直線AH可以解這道題，那么，過點(diǎn)C作直線與l相交也必然可以解決這道題，而且過程完全相似，同學(xué)們下課后自行解決.

這時(shí)生5舉手了，說自己同樣是構(gòu)造四邊形，但這時(shí)圖象更對(duì)稱，解答過程更簡(jiǎn)單.

生5：解法5 作AH∥BC交JC于點(diǎn)H，如圖6.

∵BC∥AH，

∴∠2+∠BAH=180°，∠3+∠CHA=180°.

∵l∥m，∴∠KAH=∠CHA，

∴∠1+∠2+∠3=∠KAH+∠BAH+∠2+∠3=∠AHC+∠BAH+∠2+∠3①

=∠AHC+∠3+∠2+∠BAH=180°+180°=360°.

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點(diǎn)評(píng) 解法5可以像解法4一樣，在①式就用四邊形內(nèi)角和得出結(jié)論，那過程就如解法3一樣.之所以寫出上面的解法，是想讓同學(xué)們知道，解法5的輔助線比解法4更對(duì)稱美觀，所以解答過程可以少用一個(gè)知識(shí)點(diǎn)（即四邊形的內(nèi)角和）.

同樣，由于點(diǎn)A與點(diǎn)C是平等的，于是過點(diǎn)C作AB的平行直線與l相交也必然可以解決這道題，而且過程完全相似，下課后同學(xué)們自行解決.

這時(shí)生6舉手說，他想出了一種更為對(duì)稱的做輔助線的方法.

生6：解法6 作A，B，C關(guān)于直線p對(duì)稱的點(diǎn)A′，B′，C′，連接A′B′，B′C′，如圖7所示.

∵六邊形內(nèi)角和為（6-2）×180°=720°

∴∠1+∠2+∠3=12×720°=360°，

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點(diǎn)評(píng) 與前五種解法相比較，解法6的輔助線最對(duì)稱、最美麗，解答過程相應(yīng)的也最簡(jiǎn)潔.

此時(shí)教室里響起了一陣熱烈的掌聲……

3 試題推廣

我們下面來看看更為復(fù)雜的題：

推廣1 如圖8所示，已知AB∥CD，求∠A+∠E+∠F+∠G+∠H+∠C.

師：用上題中六種方法一一去解它，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，作輔助線后，越具有對(duì)稱性，解決起來就越簡(jiǎn)單.下面請(qǐng)同學(xué)們用最對(duì)稱的解法6去解決這個(gè)問題.

同學(xué)們這時(shí)在思考、動(dòng)筆作輔助線，在計(jì)算2分鐘后，生7展示了自己的解法.

生7：解 如圖9所示，作與折線AEFGHC關(guān)于直線j對(duì)稱的折線A′E′F′G′H′C′，則∠A+∠E+∠F+∠G+∠H+∠C=

12×（12-2）×180°=900°.

師：現(xiàn)在，我們將問題推廣到更一般的的情形.

推廣2 如圖10所示，已知A1X∥AnY，求∠A1+∠A2+……+∠An.

同學(xué)們?cè)谟?jì)算，在思考，在作輔助線，經(jīng)過5分鐘后，生8舉手了，說自己已經(jīng)做好了.

生8：解 如圖11所示，作折線A1A2…An關(guān)于直線j對(duì)稱的折線A1′A2′…An′，則

∠A1+∠A2+…+∠An=12×（2n-2）×180°=（n-1）×180°.

教師點(diǎn)評(píng) 同學(xué)們，今天我們一起學(xué)習(xí)了平行線中角度問題的計(jì)算. 我們從最簡(jiǎn)單的問題開始，各位同學(xué)給出了不同的解法，你們都很優(yōu)秀，很棒，值得表揚(yáng)，繼續(xù)努力.經(jīng)過這堂課的學(xué)習(xí)，我們不僅會(huì)作了各種輔助線，也明白了一個(gè)道理：圖形越對(duì)稱，解答越簡(jiǎn)潔.

數(shù)學(xué)是美好的，尤其是幾何世界里的各種對(duì)稱問題，希望同學(xué)們能領(lǐng)悟?qū)ΨQ思想，輕松破解平面幾何問題.（叮叮?！藭r(shí)下課鈴聲響起了）

4 教學(xué)反思

通過一節(jié)課，解決一道題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，最后學(xué)生都參與解題，感受到了幾何的魅力.問題的設(shè)計(jì)由淺入深，層層深入，在鍛煉學(xué)生幾何直觀的同時(shí)，提升了學(xué)生直觀想象的素養(yǎng)，滲透了對(duì)稱思想.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 朱迪.“平行線被折線所截”問題探究［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2021（01）：21-23.

［責(zé)任編輯：李 璟］