欒功

摘 要：文章通過(guò)對(duì)一道開(kāi)放性橢圓?？碱}的解法探究，得到了試題揭示的內(nèi)在規(guī)律，并通過(guò)變式探究進(jìn)一步解釋了試題中其他兩個(gè)性質(zhì)成立的條件，為圓錐曲線中定點(diǎn)定值問(wèn)題教師的教和學(xué)生的學(xué)提供了參考.

關(guān)鍵詞：開(kāi)放性試題；圓錐曲線；定點(diǎn)定值

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）34-0041-05

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在高考命題建議中明確提出：命題時(shí)，應(yīng)包括開(kāi)放性問(wèn)題和探究性問(wèn)題，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過(guò)程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)［1］.這一指導(dǎo)思想在近兩年的各類考試命題中也得以體現(xiàn)，且較多集中在以數(shù)列和解三角形等知識(shí)為背景的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題上.而2022年一次西南大聯(lián)考中圓錐曲線大題一改往日常態(tài)，以開(kāi)放的探究型問(wèn)題呈現(xiàn)，不論是試題的知識(shí)背景還是問(wèn)題的呈現(xiàn)形式，都給考生耳目一新的感覺(jué).

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2022屆“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考）點(diǎn)M是圓A：x2+y+12=16上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B0，1，線段MB的垂直平分線交半徑AM于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)M在圓A上運(yùn)動(dòng)時(shí).

（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）BQ∥x軸，交軌跡E于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)），直線l：x=my+n與E交于C，D兩點(diǎn)（l不過(guò)點(diǎn)Q），且CQ與DQ關(guān)于BQ對(duì)稱，則直線l具備以下哪個(gè)性質(zhì)？證明你的結(jié)論.①直線l恒過(guò)定點(diǎn)；②m為定值；③n為定值.

分析 試題第（1）問(wèn)考查了圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)與橢圓的定義，體現(xiàn)了試題的基礎(chǔ)性；第（2）問(wèn)以圓錐曲線共軛弦性質(zhì)為背景設(shè)計(jì)了與動(dòng)直線l有關(guān)的開(kāi)放型問(wèn)題，給考生創(chuàng)設(shè)了自主思考的情境，便于考生多角度、開(kāi)放地思考問(wèn)題，試題考查考生獨(dú)立地對(duì)問(wèn)題提出見(jiàn)解并進(jìn)行論證的能力，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)都有較高的要求.

通過(guò)變式探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線QC，QD的斜率之和、之積為非零常數(shù)時(shí)，直線CD恒過(guò)定點(diǎn)，同樣也有一般性結(jié)論，在此不再一一羅列，感興趣的讀者可以進(jìn)一步地發(fā)散思考與探究，在嘗試提出更高探究性問(wèn)題的過(guò)程中歷練更高層次的思維，形成更深刻的理解和感悟.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［責(zé)任編輯：李 璟］