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        方程與不等式中考題型探究

        2023-04-07 19:13:11朱賽蘭
        初中生世界·九年級(jí) 2023年3期
        關(guān)鍵詞:乙種每千克方程組

        朱賽蘭

        “方程與不等式”的中考題中既有對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的考查,又有對(duì)綜合應(yīng)用能力的考查。現(xiàn)歸納幾例供同學(xué)們研究。

        一、新定義型運(yùn)算

        例1 (2022·浙江寧波)定義一種新運(yùn)算:對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a、b,a?b=[1a][+1b]。若(x+1)?x=[2x+1x],則x的值為 。

        【解析】根據(jù)新定義列出分式方程[1x+1][+1x]=[2x+1x],解方程即可得出x=[-12]。

        【小結(jié)】此題定義的是一種新運(yùn)算,定位于我們熟悉的分式。我們需要理清算法,呈現(xiàn)公式,將問(wèn)題從公式到分式方程,逐步轉(zhuǎn)化,從數(shù)學(xué)情境中建立模型,實(shí)現(xiàn)對(duì)理解能力和轉(zhuǎn)化能力的考查。

        二、含參數(shù)的方程(組)

        例2 (2022·山東聊城)關(guān)于x、y的方程組[2x-y=2k-3,x-2y=k]的解中,x與y的和不小于5,則k的取值范圍為( )。

        A.k≥8 B.k>8 C.k≤8 D.k<8

        【解析】關(guān)于含參數(shù)類(lèi)型的求解問(wèn)題,先不要著急消元求解,要觀察系數(shù),思考x與y的和能否通過(guò)整體加減用參數(shù)表示出來(lái),再列不等式求解。將方程組中的兩式相減,得x+y=k-3。由已知,得x+y≥5,則k-3≥5,解得k≥8。故選A。

        【小結(jié)】本題是方程與不等式的結(jié)合,考查了等式性質(zhì)與不等式的解法,解題的關(guān)鍵是應(yīng)用整體思想將含參式與已知條件建立聯(lián)系。

        三、方程與函數(shù)結(jié)合

        例3 (2022·浙江紹興)已知拋物線y=x2+mx的對(duì)稱軸為直線x=2,則關(guān)于x的方程x2+mx=5的根是( )。

        A.0,4 B.1,5 C.1,-5 D.-1,5

        【解析】根據(jù)拋物線y=x2+mx的對(duì)稱軸為直線x=2,則[-m2×1]=2,解得m=-4。然后解一元二次方程x2-4x=5即可。故選D。

        【小結(jié)】本題通過(guò)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式建立一次方程模型,求出參數(shù)m的取值,最后解關(guān)于x的一元二次方程即可。本題知識(shí)點(diǎn)較多,綜合考查了同學(xué)們的基礎(chǔ)技能。

        四、建立方程模型

        例4 (2022·江蘇蘇州)某水果店經(jīng)銷(xiāo)甲、乙兩種水果,兩次購(gòu)進(jìn)水果的情況如表所示:

        (1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià);

        (2)銷(xiāo)售完前兩次購(gòu)進(jìn)的水果后,該水果店決定回饋顧客,開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)。第三次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共200千克,且投入的資金不超過(guò)3360元。將其中的m千克甲種水果和3m千克乙種水果按進(jìn)價(jià)銷(xiāo)售,剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價(jià)格銷(xiāo)售。若第三次購(gòu)進(jìn)的200千克水果全部售出后,獲得的最大利潤(rùn)不低于800元,求正整數(shù)m的最大值。

        【解析】(1)借助表格構(gòu)建方程組模型即可解決問(wèn)題。

        設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)為每千克a元,乙種水果的進(jìn)價(jià)為每千克b元。

        根據(jù)題意,得[60a+40b=1520,30a+50b=1360,]

        解得[a=12,b=20。]

        答:甲種水果的進(jìn)價(jià)為每千克12元,乙種水果的進(jìn)價(jià)為每千克20元。

        (2)先分析得出,兩種水果單獨(dú)售價(jià)、單獨(dú)進(jìn)價(jià)已知,第三次購(gòu)進(jìn)的兩種水果數(shù)量未知;再通過(guò)設(shè)數(shù)量,分別表示總成本和總利潤(rùn);然后由題意求出成本范圍,用一次函數(shù)求出最大利潤(rùn),最終回歸不等式求解。

        設(shè)第三次購(gòu)進(jìn)x千克甲種水果,則購(gòu)進(jìn)(200-x)千克乙種水果。

        根據(jù)題意,得12x+20(200-x)≤3360,解得x≥80。

        設(shè)獲得的利潤(rùn)為w元。

        w=(17-12)×(x-m)+(30-20)×(200-x-3m)=-5x-35m+2000。

        ∵-5<0,w隨x的增大而減小,

        ∴當(dāng)x=80時(shí),w的值最大,最大值為-35m

        +1600。

        由題意,得-35m+1600≥800,解得m≤[1607]。

        ∴m的最大整數(shù)值為22。

        【小結(jié)】利用方程組和不等式模型綜合解決實(shí)際問(wèn)題是??碱}型,而且往往閱讀量不小。此時(shí),同學(xué)們不必慌張,可以借助表格仔細(xì)推敲字句,找出已知量和未知量,通過(guò)銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系找準(zhǔn)相等或不等關(guān)系即可解決問(wèn)題。

        (作者單位:江蘇省泰州市高港實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué))

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