鞏嘉貝，邢 倩，劉宏達(dá)

（石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，石家莊 050000）

近年來，隨著工業(yè)自動化的不斷推進(jìn)，越來越多的自動化設(shè)備在各行各業(yè)開始涌現(xiàn)，其中工業(yè)機(jī)器人的使用越來越廣泛。而直齒輪傳動相較于其他傳動形式，有著運(yùn)動平穩(wěn)性好，傳動精度高，有精確的傳動比且傳動承載能力強(qiáng)的特點(diǎn)，在工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域中被廣泛使用，具有極大的應(yīng)用價(jià)值。直齒輪在傳動過程中，齒面相互接觸傳遞動力，兩齒的嚙合頻率是傳動過程中的振動及噪聲產(chǎn)生的關(guān)鍵因素，直接影響著傳動的效率及質(zhì)量。因此，深入研究嚙合頻率對工業(yè)機(jī)器人直齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)影響十分重要。

目前國內(nèi)外學(xué)者針對齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)特性等多個(gè)領(lǐng)域都進(jìn)行了相關(guān)研究。石照耀等[1]研究了考慮多種非線性因素的不同誤差對齒輪振動特性的影響；鄒玉靜等[2]探究了直齒輪的摩擦潤滑對動力學(xué)特性的影響；Shen 等[3]基于諧波平衡法分析了圓柱齒輪的包含間隙和時(shí)變誤差的非線性振動。Atanasovska[4]基于映射法研究了直齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)特性。盛兆華等[5]研究了不同誤差對直齒面齒輪傳動特性的影響。楊振等[6]建立了直齒面齒輪的多參數(shù)非線性振動模型。宋歡等[7]建立單級齒輪動力學(xué)模型，對比分析不同方法求解方程的精度，并開發(fā)一種改進(jìn)的Fourier 級數(shù)計(jì)算方法；張慧博等[8]提出了一種考慮多間隙的齒輪軸系動力學(xué)模型，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證；王奇斌等[9]研究了修形對直齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)影響，并用有限元方法進(jìn)行對比分析。杜文輝[10]研究了多個(gè)自由度的齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，針對事變嚙合剛度的變化規(guī)律對動力學(xué)特性的影響作了詳細(xì)研究。張婕[11]構(gòu)建了機(jī)車傳動系統(tǒng)的多自由度的動力學(xué)模型，通過龍格庫塔法求解了其多因素對動態(tài)特性的影響，并分析了其李雅普諾夫穩(wěn)定性。向玲等[12]通過集中參數(shù)建立風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，研究了不同支撐剛度對于風(fēng)電齒輪箱傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性的影響。

從目前的研究成果來看，在圓柱齒輪及其他齒形齒輪的制造及動態(tài)模型等領(lǐng)域研究較多，而針對直齒輪傳動中嚙合頻率對于非線性振動的影響較少涉及。因此，本文基于牛頓第二定律建立了直齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，通過數(shù)值方法求解了非線性動力學(xué)微分方程組，研究了兩齒輪嚙合系統(tǒng)頻率對整個(gè)傳動系統(tǒng)的非線性振動規(guī)律的影響，為進(jìn)一步研究工業(yè)機(jī)器人用不同類型齒輪振動特性提供參考，對提高齒輪傳動效率及質(zhì)量，進(jìn)一步推進(jìn)工業(yè)機(jī)器人的發(fā)展，有著極其重要的應(yīng)用意義。

1 直齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型

直齒輪傳動是由2 個(gè)直齒輪嚙合傳遞動力，軸線平行的傳動方式，通過集中參數(shù)法建立齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型如圖1 所示。為簡化模型，將2 個(gè)齒輪分別視為集中質(zhì)量慣量塊，支撐軸視為無質(zhì)量剛體，軸承為彈性支撐，使用彈簧和阻尼器模擬。

圖1 齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型

2 直齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型

在傳動過程中，傳動系統(tǒng)因誤差振動等因素的存在，會在嚙合處法線方向產(chǎn)生相對位移λn，表示如下

式中：r1和r2分別為2 個(gè)齒輪嚙合點(diǎn)到其中心軸線的距離；α 為法面壓力角；e（t）為傳動誤差。在齒輪制造及安裝過程中，誤差是不可避免的，這些誤差激勵(lì)對齒輪嚙合傳動影響較大，為了方便研究，通過簡諧函數(shù)對傳遞誤差進(jìn)行擬合，表示如下

式中：e0為誤差常量，通常取e0=0；er為幅值；ω0為角嚙合頻率；? 為相位角，一般取?=0。兩齒輪間的動態(tài)嚙合力表示如下

式中：km為平均嚙合剛度；cm為振動模型嚙合阻尼；f（λn）為間隙函數(shù)，可定義為

根據(jù)牛頓第二定律，分別對面齒輪傳動系統(tǒng)各振動方向列出運(yùn)動微分方程，則可以得到傳動系統(tǒng)的振動方程組為

式中：J1、J2分別2 個(gè)圓柱齒輪的轉(zhuǎn)動慣量；cm與km分別為齒輪副的阻尼與支撐剛度；T1為輸入扭矩，作用在主動圓柱齒輪；T2為載荷轉(zhuǎn)矩作用在從動齒輪上

3 嚙合頻率對系統(tǒng)周期和混沌的影響

采用四階變步長自適應(yīng)Runge-Kutta 數(shù)值積分方法求解面齒輪傳動系統(tǒng)運(yùn)動微分方程，主要參數(shù)見表1，依次得到隨著系統(tǒng)誤差變化的系統(tǒng)響應(yīng)圖。

表1 主要參數(shù)表

系統(tǒng)響應(yīng)隨著系統(tǒng)頻率的增大依次呈現(xiàn)出單周期簡諧響應(yīng)，倍周期次諧響應(yīng)，混沌響應(yīng)。當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)頻率ω=0.1 時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)單周期簡諧振動響應(yīng)，此時(shí)相圖為一條閉合曲線，頻譜圖有一個(gè)明顯波峰，如圖2 所示。

當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)頻率ω=1.5 時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出倍周期次諧振動響應(yīng)，此時(shí)相圖為多條閉合曲線，頻譜圖有3 個(gè)明顯的波峰，如圖3 所示。

當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)頻率ω=2.7 時(shí)，系統(tǒng)開始呈現(xiàn)出混沌周期振動響應(yīng)，此時(shí)相圖為多條閉合曲線，相互交叉纏繞，頻譜圖出現(xiàn)明顯不規(guī)律波動，時(shí)間歷程圖的波形不穩(wěn)定，如圖4 所示。

由圖2、圖3 和圖4 可得，隨著系統(tǒng)頻率這一內(nèi)在激勵(lì)增大，相圖從單周期響應(yīng)到倍周期次諧周期響應(yīng)，再進(jìn)入混沌響應(yīng)周期。系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡逐漸復(fù)雜無規(guī)律，平面相圖由單條曲線逐漸變成多條曲線相關(guān)交叉雜糅，且系統(tǒng)振幅發(fā)生變化，在混沌周期頻譜圖會有不規(guī)則振動。在傳動過程中，整個(gè)系統(tǒng)的振動在一定程度上標(biāo)志著傳動性能的質(zhì)量，結(jié)合系統(tǒng)周期響應(yīng)圖，系統(tǒng)頻率處于0～2.6，系統(tǒng)處于簡諧周期、倍周期響應(yīng)，傳動性能較好。

圖2 系統(tǒng)頻率ω=0.1 時(shí)系統(tǒng)單周期響應(yīng)

圖3 系統(tǒng)頻率ω=1.5 時(shí)系統(tǒng)倍周期響應(yīng)

圖4 系統(tǒng)頻率ω=2.7 時(shí)系統(tǒng)混沌周期響應(yīng)

4 結(jié)論

1）本文基于牛頓第二定律，通過集中參數(shù)法建立了包含多參數(shù)的直齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析了受力情況，并使用自適應(yīng)步長龍格庫塔法求解微分方程組。

2）研究了隨系統(tǒng)頻率變化的系統(tǒng)周期響應(yīng)，以及通過相平面圖、頻譜圖和時(shí)間歷程圖來分析系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象。結(jié)果表明，系統(tǒng)頻率處于0～2.6，系統(tǒng)處于簡諧周期、倍周期響應(yīng)，傳動性能較好。

3）工業(yè)機(jī)器人在推進(jìn)工業(yè)自動化領(lǐng)域扮演著不可缺少的重要角色，其傳動的性能與質(zhì)量關(guān)乎這一產(chǎn)業(yè)的發(fā)展路徑，研究非線性振動特性，對提升工業(yè)機(jī)器人傳動質(zhì)量十分重要。