江蘇省興化中學(xué) (225700) 張海泉

圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一,是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容.這部分內(nèi)容綜合性較強(qiáng),計(jì)算能力要求很高.學(xué)生在高考及各類(lèi)模擬考試中經(jīng)常遇到圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值及定軌跡問(wèn)題,不免會(huì)產(chǎn)生疑惑,為什么會(huì)有如此之多的定點(diǎn)定值及定軌跡問(wèn)題？是否有規(guī)律可循？是否有通式通法？

我們知道，數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征可以有多種等價(jià)的表現(xiàn)形式,圓錐曲線中有著豐富多彩的幾何性質(zhì),而這些幾何性質(zhì)可以通過(guò)坐標(biāo)系將所研究的點(diǎn)、線等問(wèn)題用變量x,y有序數(shù)組化,將幾何問(wèn)題歸結(jié)為代數(shù)問(wèn)題.通過(guò)代數(shù)推理與運(yùn)算融合,轉(zhuǎn)化為變量之間的“強(qiáng)相關(guān)”,將這些具有“強(qiáng)相關(guān)”的數(shù)與式翻譯成幾何結(jié)論,使得代數(shù)特征幾何視覺(jué)化,從而呈現(xiàn)為圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、定軌跡等問(wèn)題.

圖1

圖2

猜想這個(gè)定值是否是因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)了焦點(diǎn)F的緣故？

圖3

探究1 將幾何問(wèn)題代數(shù)化.

若PQ垂直于x軸，可驗(yàn)證同樣成立(驗(yàn)證略).

探究2是否任意橢圓中都有這種強(qiáng)相關(guān)？

說(shuō)明y1y2與x1+x2間也有著線性“強(qiáng)相關(guān)”.

于是利用這種強(qiáng)相關(guān)可推廣到一般解法.

圖4

若PQ垂直于x軸，可驗(yàn)證同樣成立(驗(yàn)證略).

探究4 如圖5,直線PQ過(guò)定點(diǎn)M,說(shuō)明P、Q兩點(diǎn)必然有線性“強(qiáng)相關(guān)”,且AB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以AP,BQ兩直線應(yīng)該也有“強(qiáng)相關(guān)”,猜想這種“強(qiáng)相關(guān)”表現(xiàn)為AP,BQ的交點(diǎn)必具有某種特定屬性.

圖5

下面來(lái)探究這個(gè)交點(diǎn)G.

利用變量之間“強(qiáng)相關(guān)”相消的方法；試著將定點(diǎn)拓展為定值問(wèn)題.

圖6

經(jīng)過(guò)初步對(duì)稱(chēng)性分析,不難知道定點(diǎn)一定在x軸上,所以只要求出直線BM的橫截距即可,而橫截距表達(dá)式中含有x1y2,x2y1.于是很自然的想到y(tǒng)1±y2與x1y2±x2y1之間的“強(qiáng)相關(guān)”,進(jìn)而用y1,y2線性表示出x1y2,x2y1,從而達(dá)到消元減元成定值的目的.