貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (550025) 劉遠(yuǎn)桃 唐明坤 陳明萬(wàn)

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

這是《數(shù)學(xué)通報(bào)》2020年第9期數(shù)學(xué)問(wèn)題解答2562問(wèn)題給出的一道不等式證明題，該不等式的條件和結(jié)論結(jié)構(gòu)對(duì)稱、形式優(yōu)美，文[1]主要是通過(guò)綜合分析得到證明，讀后深受啟發(fā).本文擬對(duì)該不等式做進(jìn)一步的探究，得到了不同證法，并對(duì)其進(jìn)行變式和推廣，與大家一起探討.

2.問(wèn)題解析

評(píng)注：此證法通過(guò)配湊先將式子中各項(xiàng)的分子代數(shù)式有理化，利用基本不等式將式子中各項(xiàng)的分母代數(shù)式有理化，再利用權(quán)方和不等式進(jìn)行放縮，湊出“a+b+c”項(xiàng)，將條件式子a+b+c=3代入得到證明.

評(píng)注：此證法通過(guò)配湊先將式子中各項(xiàng)的分子代數(shù)式有理化，利用基本不等式將式子中各項(xiàng)的分母代數(shù)式有理化，將條件式子a+b+c=3代入得到一個(gè)新的放縮不等式，再利用函數(shù)凹凸性和琴生不等式求出放縮后的最小值，從而得到證明.

由三元柯西不等式得

評(píng)注：此證法通過(guò)配湊先將式子中各項(xiàng)的分子代數(shù)式有理化，利用柯西不等式將原不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)新的放縮不等式，再利用三元基本不等式求出放縮后的最小值，從而得到證明.

3.問(wèn)題變式

分析：此變式是通過(guò)證法2得到的，限定t≥3，其目的是為了使所設(shè)函數(shù)在(0,3)上為凸函數(shù)，證明方法也是利用函數(shù)凹凸性與琴生不等式.

分析：此變式是通過(guò)證法3得到的，證明方法同上述證法3.

分析：此變式是在變式2的基礎(chǔ)上得到的，證明方法同上述證法3.

分析：此變式是在變式3的基礎(chǔ)上得到的，證明方法同上述證法3.

4.問(wèn)題推廣

分析：將問(wèn)題中條件式子的結(jié)果從“3”推廣到“t”，推廣形式不變.

分析：在推廣1的基礎(chǔ)上將未知數(shù)個(gè)數(shù)從“3”元推廣到“n”元，推廣形式不變.

分析：在推廣2的基礎(chǔ)上將各項(xiàng)式子中分子分母的系數(shù)“1,-1,1,1”推廣到“α,β,λ,μ”，推廣形式不變.

分析：在推廣2的基礎(chǔ)上將各項(xiàng)式子的分子分母中含有未知數(shù)的式子的未知數(shù)個(gè)數(shù)從“2”元推廣到“n-1”元，推廣形式改變.

分析：在推廣4的基礎(chǔ)上將各項(xiàng)式子中分子分母的系數(shù)“1,-1,1,1”推廣到“α,β,λ,μ”，推廣形式不變.此外，還可以在推廣2的基礎(chǔ)上將各項(xiàng)式子的分子分母中含有未知數(shù)的式子的未知數(shù)個(gè)數(shù)“2”進(jìn)行推廣，得到更多的推廣不等式.

推廣1到推廣5的證明方法是一樣的，這里給出推廣5的證明，推廣1到推廣4的證明不再敘述.