上海市行知中學(xué) (201999) 范廣哲

自2020年起，部分重點(diǎn)高校率先開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)(強(qiáng)基計(jì)劃).強(qiáng)基計(jì)劃目標(biāo)是選拔并培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的人才.本文對(duì)近兩年部分重點(diǎn)高校強(qiáng)基計(jì)劃中三角函數(shù)試題進(jìn)行剖析，希望能給大家一些啟發(fā)和思考.

類型一、sinx與cosx對(duì)稱結(jié)構(gòu)

例1(2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)校測(cè))已知函數(shù)

則該函數(shù)的最小值是．

評(píng)析：試題中出現(xiàn)sinx與cosx的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，首要考慮換元，令sinx+cosx或sinxcosx為一個(gè)整體，進(jìn)而把問(wèn)題簡(jiǎn)化，方便求解.

變式(1990年全國(guó)高考19題)求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

類型二、sinx與cosx非對(duì)稱結(jié)構(gòu)

例2 (2021年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)校測(cè))已知

設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m，則( )．

因此

故選B、C.

變式若

其中a,b∈R,則f(x)min=min{a,b}．

(3)當(dāng)a≤0,b>0時(shí)，與情形2類似，略

類型三、三角函數(shù)綜合性質(zhì)與圖像

解析：根據(jù)二維權(quán)方和不等式可得

評(píng)析：觀察其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，在不等式求解問(wèn)題注重使用基本不等式，柯西不等式及推論等方法，同時(shí)運(yùn)用正弦與余弦之間的平方關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到放縮求出其最小值.

評(píng)析：遇到復(fù)雜函數(shù)時(shí)，進(jìn)行合理拆分進(jìn)行求解，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化，逐個(gè)突破，最后再綜合起來(lái)考慮整體性質(zhì).

評(píng)析：求復(fù)合函數(shù)最值時(shí)，若無(wú)法直接換元，在放縮過(guò)程中，這時(shí)要結(jié)合函數(shù)整體表達(dá)式的特點(diǎn)，從而達(dá)到簡(jiǎn)化的目的.

例6(2020年武漢大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)校測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)=sinxsin2x，則下列錯(cuò)誤的是( ).

B.方程f(x)=a在[0，2π)內(nèi)解的個(gè)數(shù)為偶數(shù)

C.f(x)的圖像有對(duì)稱軸

D.f(x)的圖像有對(duì)稱中心

解析：首先求f(x)的最大值.當(dāng)sinx>0時(shí)，f(x)=sinxsin2x=2sin2xcosx=

函數(shù)f(x)圖象如圖1所示：

圖1

因而方程f(x)=a在[0，2π)內(nèi)解的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，故B正確.

由于f(π+x)=sin(π+x)sin2(π+x)=

-sinxsin2x，f(π-x)=sin(π-x)sin2(π-x)=

-sinxsin2x，因而f(π-x)=f(π+x).可知x=π為f(x)的對(duì)稱軸，故C正確.

評(píng)析：分析函數(shù)綜合性質(zhì)時(shí)，結(jié)合函數(shù)本身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把握函數(shù)性質(zhì)滿足性質(zhì)，選擇合適數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)結(jié)合函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì).

備考建議：數(shù)學(xué)試題是數(shù)學(xué)思想和方法的載體，強(qiáng)基數(shù)學(xué)校測(cè)注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.教師要善于從不同角度探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生抓住不同章節(jié)間的聯(lián)系.教師注重培養(yǎng)學(xué)生務(wù)實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，讓學(xué)生掌握解題的通性通法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法，把握數(shù)學(xué)試題的本質(zhì).強(qiáng)基數(shù)學(xué)校測(cè)普遍具有難度高，知識(shí)廣，題量大及綜合性強(qiáng)的基本特點(diǎn)，要求教師在平時(shí)教學(xué)中要注重積累典型試題和熱門(mén)考點(diǎn)，提高自身的教學(xué)、解題能力，才能培養(yǎng)學(xué)生達(dá)到一題多解，多題一解.培養(yǎng)堅(jiān)忍不拔、鍥而不舍的意志品質(zhì).