雷曉云,張志安

(1.江蘇開放大學(xué)， 南京 210017； 2.南京理工大學(xué)， 南京 210094)

1 引言

對于采用脈沖推力彈道修正方案彈丸來說，如采用脈沖矢量發(fā)動機(jī)、射流類修正機(jī)構(gòu)[1-2]等，在彈道修正階段，彈體將受到多次離散的具有一定大小且持續(xù)一段時間的脈沖力，對彈丸的運(yùn)動產(chǎn)生一定的影響，改變其彈道軌跡[3-6]。脈沖推力修正有較強(qiáng)的橫向修正能力和快速響應(yīng)優(yōu)勢，但是由于作用力具有瞬時性，彈體的攻角和側(cè)滑角會發(fā)生很嚴(yán)重的振蕩，嚴(yán)重的時候可能導(dǎo)致彈體失穩(wěn)。因此針對類似瞬時脈沖力強(qiáng)干擾對彈丸的飛行姿態(tài)和穩(wěn)定性影響研究是彈道軌跡控制過程中不可缺少的重要內(nèi)容[7-12]。

楊紅偉等[13]在對彈丸運(yùn)動方程進(jìn)行線性化的基礎(chǔ)上，針對低旋尾翼穩(wěn)定彈在受強(qiáng)干擾擾動后的穩(wěn)定性進(jìn)行了建模分析，結(jié)果表明其動態(tài)穩(wěn)定性不僅與沖量修正初始條件有關(guān)，還與彈丸本身參數(shù)相關(guān)，其中對允許攻角的幅值限制，可以對脈沖發(fā)動機(jī)的沖量設(shè)計提供重要理論依據(jù)。戴明祥等[14]采用“小擾動”和“系數(shù)凍結(jié)法”建立了脈沖發(fā)動機(jī)修正的彈道模型的傳遞函數(shù)，區(qū)別于數(shù)值計算的方法，對彈丸的動態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，分析表明靜穩(wěn)定裕度越大，發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的直接力對彈體姿態(tài)的擾動影響越小，這也是脈沖發(fā)動機(jī)直接力控制與舵機(jī)控制方式典型的不同之處。Cooper[15]通過對基于彈丸線性理論的方程求解，直觀地揭示了彈丸在橫向脈沖力作用下對方向改變的影響程度，分析表明空氣動力瞬變量減小的速率與脈沖持續(xù)的時間密切相關(guān)，這也是由于脈沖力作用后續(xù)的影響，這一影響會隨著脈沖作用時間的延長而顯著。

綜上可知，對于瞬時脈沖力強(qiáng)干擾對彈丸的飛行姿態(tài)和穩(wěn)定性影響研究基本從理論進(jìn)行定性分析，而在設(shè)計參數(shù)的定量分析上不足以解決脈沖力修正器參數(shù)難以與彈丸適配的問題。本研究中則針對某口徑對空彈道修正的低旋尾翼彈，根據(jù)其采用的一種“由火藥氣體燃燒產(chǎn)生的高壓推出具有一定質(zhì)量的質(zhì)量塊，對彈體產(chǎn)生反作用力”的修正器的離散短時脈沖推力作用特性，從理論和仿真分析兩方面著手，詳細(xì)研究了彈丸參數(shù)和修正器設(shè)計參數(shù)對彈丸角運(yùn)動和修正效果的影響，為設(shè)計修正器參數(shù)提供理論數(shù)值參考。

2 脈沖強(qiáng)干擾產(chǎn)生的角運(yùn)動理論分析

研究對象為參照某口徑制式底凹彈的基礎(chǔ)上根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行了結(jié)構(gòu)改進(jìn)后的對空低旋尾翼修正彈，整彈外形示意圖如圖1所示，除船尾部的結(jié)構(gòu)有所變化，其他外形基本與制式彈一致，彈頭部周向安裝諾干個修正器。其修正力產(chǎn)生原理為：裝有質(zhì)量塊和特制火藥的力產(chǎn)生機(jī)構(gòu)在點(diǎn)火頭起爆后，由火藥氣體燃燒產(chǎn)生的高壓推出具有一定質(zhì)量的質(zhì)量塊，對彈體產(chǎn)生反作用力，形成彈道修正所需的修正力或修正力矩，來改變彈丸的姿態(tài)或位置，稱之為動量修正機(jī)構(gòu)。單個動量修正機(jī)構(gòu)的部分結(jié)構(gòu)原理如圖2所示，與常用的脈沖矢量發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的推力原理不同，但是也可以獲得一個短時推力，對飛行彈體的穩(wěn)定性形成一種短時脈沖強(qiáng)干擾。

1.頭部組件；2.修正機(jī)構(gòu)；3.彈體；4.尾部組件

圖2 動量修正機(jī)構(gòu)示意圖 Fig.2 Momentum correction mechanism

對于第i個動量修正機(jī)構(gòu)，假設(shè)修正力的時間常數(shù)為τ，修正力大小為Fi，修正起始時刻tsi，修正相位角為αi。在做單個修正力特性理論分析時，做簡化處理：每觸發(fā)一次橫向修正，則彈丸運(yùn)動狀態(tài)將發(fā)生突變，突變量大小可由式(1)計算，其中，Ix2、Iy2、Iz2表示作用力獲得的沖量在速度坐標(biāo)系3個坐標(biāo)上的分量。

(1)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]中彈箭運(yùn)動的一般方程組可推導(dǎo)具有軸向偏心的脈沖推力強(qiáng)干擾下的擾動彈道角運(yùn)動簡化方程：

(2)

在僅考慮脈沖力產(chǎn)生的強(qiáng)干擾擾動對角運(yùn)動的影響以及造成的落點(diǎn)偏差時，根據(jù)文獻(xiàn)[16]中彈箭的角運(yùn)動方程可知，攻角的齊次方程為：

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=0

(3)

對于低旋尾翼穩(wěn)定彈來說，靜力矩系數(shù)kz<0[16]，選擇起始條件為脈沖力作用的起始時刻彈丸的狀態(tài)，分析從定義的起始時刻到單個脈沖推力作用完成后的一段時間內(nèi)彈丸的角運(yùn)動。

齊次方程的特征方程為：

l2+(H-iP)l-(M+iPT)=0

(4)

解式(4)可得：

l1,2=λ1,2+iω1,2=

(5)

得攻角的齊次方程通解為：

Δ=C1e(λ1+iω1)s+C2e(λ2+iω2)s

(6)

式中:C1、C2為待定系數(shù)，亦為復(fù)數(shù)，由起始條件確定。

已知起始時刻t=t0，s=s0，γ=γ0時，是強(qiáng)擾動作用的前一時刻，此時有：

(7)

解得待定系數(shù)為：

(8)

存在強(qiáng)擾動因素時，考慮強(qiáng)擾動時，低旋尾翼穩(wěn)定彈的角運(yùn)動方程寫為：

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=

(9)

其中： 記fM(αi)表示Mη+iMζ的幅角，是關(guān)于αi的函數(shù)；fF(αi,δ1,δ2)是Fy2+iFz2的幅角，是關(guān)于αi,δ1,δ2的函數(shù)。假設(shè)特解具有齊次方程通解的形式，但待定系數(shù)為弧長s的函數(shù)：

ΔF=C1(s)e(λ1+iω1)s+C2(s)e(λ2+iω2)s

(10)

則

(11)

令：

(12)

則有：

C1(s)(λ1+iω1)2e(λ1+iω1)s+

C2(s)(λ2+iω2)2e(λ2+iω2)s

(13)

(14)

結(jié)合式(12)聯(lián)立，解得：

(15)

(16)

ΔF=C1(s)e(λ1+iω1)s+C2(s)e(λ2+iω2)s=

(17)

攻角的存在會產(chǎn)生馬格努斯力和升力，升力在攻角平面內(nèi)，馬格努斯力垂直于攻角平面，如只考慮最大升力項(xiàng)，則偏角方程簡化為：

(18)

求解并積分Ψ得：

(19)

偏角計算結(jié)果中包含周期變化項(xiàng)和不變項(xiàng)，對不變項(xiàng)在剩余彈道弧長上積分落點(diǎn)偏差Δpoint，Δδ=ΔF，如下式，

(20)

由式(20)可知，落點(diǎn)偏差量與有直接關(guān)系，并與修正起始條件相關(guān)。起始時刻越早，即sc越大，落點(diǎn)偏差Δpoint越大，則彈丸獲得的修正量越大；由式(1)可知Δδ由推力總沖量決定，在考慮飛行穩(wěn)定性時需要對Δ(即Δδ)進(jìn)行限制，即推力沖量不能過大。式(20)的結(jié)論并不能直觀得出修正起始條件和修正量之間的關(guān)系，下文將通過仿真來進(jìn)一步討論兩者之間的關(guān)系。

3 修正效果和攻角變化仿真分析

根據(jù)理論分析可知彈丸和修正機(jī)構(gòu)參數(shù)對對空修正效果和攻角變化都有影響。定性分析可知，具有偏心的修正力具有更大的修正能力，同時也會造成攻角更劇烈的變化。對于動量修正機(jī)構(gòu)這樣力作用時間極短的機(jī)構(gòu)，單個修正力產(chǎn)生的沖量也是微小的，直接作用于質(zhì)心就可能存在修正能力不足的情況。因此在以下初步對各個因素的分析中以安裝不存在徑向偏心距為基本條件，但考慮根據(jù)彈丸結(jié)構(gòu)空間確定的最大可能軸向偏移量(200 mm)來進(jìn)行展開。

圖3 彈目位矢與速度之間角度差示意圖

3.1 自轉(zhuǎn)速度的影響

以修正相位角αi= 90°，起始修正時刻在達(dá)到1 km射程處(修正起始時刻ts=1.542 s)nξ0= 0.1 r/s，Δnξ0=0.5 r/s，τ= 6 ms，F(xiàn)i=2 000 N，L2=-200 mm為算例初始條件，在y=4 200 m高空位置得到的橫向修正量、最大攻角以及速度方位角變化量如表1所示。由表可知由于動量修正機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的是極短時力，因此轉(zhuǎn)速在小范圍內(nèi)變化對固定射高平面的修正量影響不大，主要是對最大攻角的影響，小于3.1 r/s的范圍最大攻角隨之有減小趨勢，在大于3.1 r/s的轉(zhuǎn)速后，彈丸最大攻角則隨之增大。另外，隨著轉(zhuǎn)速的增大，速度方向角的改變量有減小的趨勢，這是因?yàn)閺椡枳赞D(zhuǎn)速度影響了修正力作用的角度區(qū)間Δαi，當(dāng)自轉(zhuǎn)速度增大時，Δαi隨之增大，因此實(shí)際有效作用力Fi′將比理論作用力Fi延遲，此時Fi′在有效修正力分量方向就有一定損失。

表1 單個脈沖推力作用影響Table 1 Influence of a single impulse thrust

由分析可知，單次修正機(jī)構(gòu)作用后，隨著時間的延續(xù)，彈丸的飛行可以在作用力結(jié)束后穩(wěn)定下來，且對最大攻角的影響小于工程經(jīng)驗(yàn)值。然而，如果連續(xù)多個修正力的作用，彈丸在還未恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)時可能再次受到修正力作用而導(dǎo)致攻角發(fā)生突變。相同仿真條件下，此時在1 km后，彈丸有12*2次機(jī)會在90°修正相位角處作用，實(shí)時檢測角度位置，連續(xù)觸發(fā)滿足角度要求的修正機(jī)構(gòu)直到到達(dá)終止高度，為了使同一數(shù)量級下對比明顯，將修正量縮比1/10，得到結(jié)果如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)速對多次修正力作用效果

分析圖4可知，相同作用次數(shù)下，對于對空修正來說，對修正量的影響并不非常明顯，轉(zhuǎn)速的小增量增大時，修正量的增量也較小，只有轉(zhuǎn)速發(fā)生明顯變化時，對修正量的影響才比較明顯；此外，同一修正次數(shù)下，轉(zhuǎn)速在小于3.1 r/s時，對最大攻角的影響相比高轉(zhuǎn)速下更小，接近工程經(jīng)驗(yàn)值，因此，在保證修正能力的條件下，應(yīng)將彈丸低轉(zhuǎn)速控制在較低范圍，以確保修正過程彈丸的飛行穩(wěn)定性。

3.2 脈沖力大小與起始時刻的影響

考慮單次修正機(jī)構(gòu)作用力Fs=0～3 000 N變化時，修正力具有最大軸向偏心距離，起始修正點(diǎn)分別在1、1.5、2、2.5、3 km射程處時，對空中彈丸上升段H=4 200 m處高度平面得到的最大橫向修正能力，此時彈丸射程達(dá)4.4 82 km。假設(shè)τ=6 ms，轉(zhuǎn)速2.6 r/s，則得到如圖5、圖6所示的修正起始時刻、修正力大小與最大橫向絕對修正量和最大攻角之間的關(guān)系。由圖5可知，修正力越大，獲得的修正量越大，而起始修正時刻越早獲得的修正量也越大。從圖6可知，修正力增大引起攻角變化增大；而在初始階段和修正終點(diǎn)附近的修正力作用造成攻角變化影響較小。在仿真條件下，0～3 000 N單個修正力作用下，彈丸總攻角均未超過8.5°。當(dāng)連續(xù)進(jìn)行修正，作用所有滿足修正相位角的修正機(jī)構(gòu)時，得到了如圖7所示的修正力大小、起始修正時刻與最大攻角關(guān)系曲線，由圖可知過大的修正力連續(xù)作用會迅速使攻角變化，在超過2 000 N時，連續(xù)作用將是彈丸攻角超出允許范圍，彈丸極可能失穩(wěn)。

圖5 單個修正力大小、修正起始時刻與修正量關(guān)系

圖6 單個修正力大小、修正起始時刻與最大攻角關(guān)系

圖7 連續(xù)修正力作用時修正力大小、修正起始時刻 與最大攻角關(guān)系

考慮到具有軸向偏心的修正力產(chǎn)生的沖擊力矩將對彈丸的飛行穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，因此還需要考慮修正力產(chǎn)生的修正力矩對彈丸的角運(yùn)動穩(wěn)定性的影響。取修正力最大和軸向偏心距最大時，研究單個和相同修正相位角下連續(xù)多個短時修正力作用時彈丸的橫向運(yùn)動。由于此時間段內(nèi)空氣動力矩的量值遠(yuǎn)小于修正力矩，則前者可忽略，因此，根據(jù)第2節(jié)的分析得到彈丸的轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程可簡化為

(21)

(22)

ω′+iμω=m(γ)

(23)

其解的形式為

(24)

ω0表示修正開始瞬間是彈丸的擺動角速度。

利用狄克拉函數(shù)表示連續(xù)的短時修正力矩作用

M(t)=∑Mjδ(t-tj)

(25)

其中：tj表示第j個修正力矩的觸發(fā)時間；Mj則為其量值，則解式(24)可以寫為

(26)

引入階躍函數(shù)

(27)

則式(26)的一般形式為

(28)

式(28)修正力作用后短時間內(nèi)彈軸的擺動情況。根據(jù)仿真初始條件，采用數(shù)值計算式(28)可以得到不加修正力下彈軸角運(yùn)動的狀態(tài)變化，根據(jù)式(28)可知，此時只有第一項(xiàng)，得到ω復(fù)合量的變化情況如圖8(a)—圖8(b)所示，其中ω在初始階段大約0～2.5 s內(nèi)具有一定橫擺動速度，但是彈軸的振動很小，并且隨時間而消失。假設(shè)在該區(qū)間內(nèi)作用單個或多個動量修正機(jī)構(gòu)，修正力取前文分析的臨界值2 000 N，且機(jī)構(gòu)安裝在最大偏心距離處。取起始時刻t0=1 s，單個修正力作用的相位角為90°，通過計算得到tj=1.362 s，得到彈丸橫向擺動的變化如圖9(a)，橫擺運(yùn)動隨時間變化如圖9(b)，可見突變的振動隨著修正力矩的消失而逐漸收斂直至消失，彈軸運(yùn)動恢復(fù)穩(wěn)定。當(dāng)在修正相位角為90°附近連續(xù)作用多次動量修正機(jī)構(gòu)，tj=[1.000 0,1.026 0,1.278 0,1.308 0]，則得到如圖10(a)—圖10(b)，在連續(xù)的作用下，彈丸的橫擺更加劇烈，但是連續(xù)作用完成后，振動同樣隨時間而消失，但是，在實(shí)際情況中，這樣劇烈的角運(yùn)動變化仍然極有可能導(dǎo)致彈丸飛行劇烈失穩(wěn)而失去攻擊能力。

圖8 不加修正力下彈軸角運(yùn)動的狀態(tài)變化

圖9 單個最大修正力矩作用下彈軸角運(yùn)動的狀態(tài)變化

圖10 連續(xù)多個修正力矩作用下彈軸角運(yùn)動的狀態(tài)變化

由上述結(jié)論可知在連續(xù)修正力和力矩作用下，彈丸的橫擺振動加劇，另一方面，攻角幅值也會發(fā)生變化。彈丸由于多次連續(xù)外力和力矩的作用也會導(dǎo)致攻角不穩(wěn)定，出現(xiàn)較大幅度的波動，實(shí)際中，攻角過大的情況非常有可能引起彈丸的失去飛行穩(wěn)定，甚至出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)或掉彈情況，這是不允許的。因此，在確定修正機(jī)構(gòu)提供的直接力大小時不僅需要考慮最大化其修正能力，同時還要保證彈丸的飛行穩(wěn)定性，根據(jù)本小節(jié)的分析可知在最大軸向偏心距下，修正力不宜超過2 000 N。

3.3 軸向偏心距離的影響

當(dāng)修正起始時刻固定，修正力設(shè)定為2 000 N時，仿真分析了單個修正力作用于質(zhì)心前后以及過質(zhì)心時，不同修正相位角條件下，在彈丸上升段一定高度平面上最大縱、橫向修正量的變化規(guī)律如圖11所示，圖11中3種條件下的起始修正時刻均為0 s。由圖可知，修正力處于質(zhì)心處和質(zhì)心之后時，修正相位角對縱向、橫向修正量的影響相對于修正力處于質(zhì)心前的情況較小。3種情況下，當(dāng)修正力處于質(zhì)心之前時，可以獲得更大的修正量。宜將修正機(jī)構(gòu)安裝于質(zhì)心之前，此時，縱向、橫向修正量具有大的修正能力并呈現(xiàn)一定變化規(guī)律；取修正相位角為90°或270°附近時，可獲得最大橫向修正量；而取修正相位角為0°或者180°附近時，可獲得最大縱向修正量，角度不同，修正量的正負(fù)性不同。

圖11 修正相位角對縱向、橫向修正量的影響 (初速960 m/s，H= 4 200 m)

根據(jù)上述分析確定脈沖修正推力宜置于質(zhì)心之前，此時脈沖推力具有軸向偏心時除了產(chǎn)生修正力，還會由于偏心而產(chǎn)生了修正力矩，根據(jù)3.2小節(jié)的分析可知，單個修正力作用在最大軸向偏心距條件下時，彈軸振動雖然加劇，但是彈丸在修正力作用完成后可以恢復(fù)到正常的飛行狀態(tài)。在此，考慮連續(xù)作用修正力，軸向偏心距對橫向修正效果和最大攻角的影響。

根據(jù)3.1小節(jié)的分析，選擇一個合理的轉(zhuǎn)速1.6 r/s，修正力2 000 N，力持續(xù)時間6 ms，在1 km處連續(xù)多次橫向修正，修正次數(shù)由修正相位角判定，取軸向偏心距離L2大小在0～200 mm變化時，對空中高度H=4 200 m處平面的最大橫向修正量(修正相位角90°或270°)之間的變化關(guān)系如圖12、圖13所示。由其中曲線分析可知，軸向偏心越大獲得的修正量越大，而最大攻角也隨之增大，在仿真條件下最大偏心距處的最大攻角約8.1°。說明在仿真條件下，最大偏心距安裝是可以滿足攻角限制條件并獲得最大修正量。但是在實(shí)際中，在確定安裝軸向偏心距時，不僅要考慮彈丸的修正能力和飛行穩(wěn)定性，還要考慮實(shí)際情況下彈丸整體結(jié)構(gòu)和彈體內(nèi)部其他組成元素(主要是戰(zhàn)斗部、引信等結(jié)構(gòu)的位置和占比)位置的合理性。

圖12 軸向偏心距離對橫向修正量影響

4 結(jié)論

根據(jù)外彈道理論，主要分析了脈沖推力強(qiáng)干擾對某口徑低旋尾翼彈修正效果和彈丸角運(yùn)動以及攻角變化的影響。得到了如下結(jié)論：

1) 推導(dǎo)了修正推力強(qiáng)干擾下彈丸角運(yùn)動變化和修正落點(diǎn)偏差公式，分析了單次脈沖推力的修正特性。

2) 彈丸的主要參數(shù)彈丸轉(zhuǎn)速nξ、修正力大小F、修正力作用時間τ、以及軸向安裝偏心距L2等對修正能力以及攻角的影響是相互制衡，在設(shè)計修正器參數(shù)時應(yīng)該考慮以保證彈丸飛行穩(wěn)定的條件下最大化彈丸的修正能力為優(yōu)化目標(biāo)。

3) 對于本文的研究對象，對空修正的情況下、同一修正次數(shù)下，轉(zhuǎn)速應(yīng)小于3.1 r/s；修正力應(yīng)作用于質(zhì)心之前；起始修正時刻越早，獲得的修正量越大；而在最大軸向偏心距下，修正力不宜超過2 000 N。