張麗潔

證明數(shù)列不等式問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，時常以壓軸題的形式出現(xiàn).這類題目往往具有較強的綜合性，對同學(xué)們的分析、推理、運算能力有較高的要求.下面主要介紹三種證明數(shù)列不等式的方法，供大家參考.

一、構(gòu)造函數(shù)法

數(shù)列實際上是自變量為正整數(shù)的一種特殊函數(shù).在證明復(fù)雜的數(shù)列不等式時，可以根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出合適的函數(shù)，并利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可證明不等式成立.

例1.已知數(shù)列[bn]的通項公式為[bn=3n-1]，數(shù)列[an]的前[n]項和為[Sn]，若[bn（2an-1）=1]，證明：[3Sn+1>log2（bn+3）].

證明：因為[bn（2an-1）=1]，[bn=3n-1]，

因為[（3n+3）3-（3n+5）（3n+2）2=9n+7>0]，

所以[f（n+1）>f（n）]，可得[f（n）]是單調(diào)遞增的函數(shù)，

即[3Sn+1-log2（bn+3）=log2f（n）>0]，

所以[3Sn+1>log2（bn+3）].

構(gòu)造出合適的函數(shù)后，便將復(fù)雜的數(shù)列不等式問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)單調(diào)性問題、最值問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可快速解題.

二、放縮法

放縮法是證明不等式的重要工具.運用放縮法證明不等式，通?？上葘⑼椆竭M行適當(dāng)?shù)姆趴s，以便運用錯位相減法、裂項相消法、分組求和法快速求得數(shù)列的和；也可以先求出數(shù)列的和，再通過添項、去項、擴大分子等方式放縮和式，從而證明不等式.

三、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法適用于證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題.運用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式一般有兩個步驟：第一步，證明當(dāng)[n=1]時不等式成立；第二步，假設(shè)當(dāng)[n=k]時不等式成立，并由此推出當(dāng)[n=k+1]時不等式也成立.綜合上述情況，即可證明數(shù)列不等式成立.

數(shù)列[cn]的通項公式中含有根式，采用常規(guī)方法求證較為困難，于是運用數(shù)學(xué)歸納法，分兩步證明當(dāng)[n=1]和[n=k+1]時不等式成立，即可證明結(jié)論成立.

上述三種方法都是證明數(shù)列不等式的重要手段，其中構(gòu)造函數(shù)法和放縮法比較常用.而運用數(shù)學(xué)歸納法解題的運算量較大，一般在采用其他方法求解較困難時才運用該方法.