王紅霞

多元變量最值問題的命題形式多樣，其解法各不相同.由于問題中涉及了多個(gè)變量，所以有的同學(xué)常常不知如何下手，導(dǎo)致解題失敗.下面介紹兩種解答多元變量最值問題的措施：消元、數(shù)形結(jié)合.

一、消元

對(duì)于多元變量最值問題，其解題的基本思路自然是消元.由于問題中的幾個(gè)變量之間相互聯(lián)系，相互依存，所以可根據(jù)變量之間的關(guān)系，或通過換元來消去變量的個(gè)數(shù)，以達(dá)到消元、減元的目的.通過消元，即可將多元變量最值問題轉(zhuǎn)換為熟悉的一元或者二元最值問題，就能直接利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的性質(zhì)來求最值.

先用a表示b，再根據(jù)化簡(jiǎn)后的目標(biāo)式進(jìn)行換元，令[a+1=t]，即可將目標(biāo)式化為關(guān)于t的一元函數(shù)式，再利用基本不等式進(jìn)行求解，即可求得最值.

二、數(shù)形結(jié)合

有時(shí)我們仔細(xì)研究代數(shù)式，可挖掘出其背后的幾何意義，此時(shí)便可畫出或者構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，通過研究圖形中點(diǎn)、直線、曲線之間的位置關(guān)系，求得點(diǎn)之間、直線與點(diǎn)之間的距離，即可快速求得最值.

例3.設(shè)[ΔABC]的面積為2，若[∠A，∠B，∠C]所對(duì)應(yīng)的邊分別為[a，b，c]，求[a2+2b2+3c2]的最小值.

解：以[AB]所在的直線為[x]軸，中垂線為[y]軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則[a2+2b2+3c2=BC2+2AC2+3AB2]

我們構(gòu)造出直角坐標(biāo)系后，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式將目標(biāo)式化為關(guān)于c的一元代數(shù)式.對(duì)于多元變量最值問題，有時(shí)我們從幾何角度去尋找解題的思路，能尋找到更為便捷的解題方案.而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題，則需構(gòu)造出合適的幾何模型.這就要求同學(xué)們要學(xué)會(huì)運(yùn)用發(fā)散思想，展開聯(lián)想.

可見，解答多元變量最值問題，只要學(xué)會(huì)根據(jù)已知關(guān)系式進(jìn)行消元、構(gòu)造出合適的幾何模型，尋找到合適的方法，便能快速破解難題，提升解題的效率.