周理國(guó)

由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題通常具有較強(qiáng)的綜合性.這類問(wèn)題往往側(cè)重于考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性、圖象，方程的根的分布，以及零點(diǎn)存在性定理.下面結(jié)合例題，談一談怎樣由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.

一、利用零點(diǎn)存在性定理

零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)[y=f（x）]在[[a，b]]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有[f（a）f（b）<0]，則函數(shù)[y=f（x）]在[（a，b）]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，往往要先判斷出函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性；然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理建立不等關(guān)系式，從而求得參數(shù)的取值范圍.

因?yàn)閇g（x）>0]，所以函數(shù)[y=g（x）]在[（-∞，0]]和[（0，+∞）]上均是單調(diào)遞增函數(shù).

而在區(qū)間[（0，+∞）]上，當(dāng)[x→0]時(shí)，[g（x）→-∞]；當(dāng)[x→+∞]，[g（x）→+∞].

因此函數(shù)[y=g（x）]在區(qū)間[（0，+∞）]上存在1個(gè)零點(diǎn)，那么另1個(gè)零點(diǎn)必定在區(qū)間[（-∞，0]]上.

而在區(qū)間[（-∞，0]]上，當(dāng)[x→-∞]時(shí)，[g（x）→-∞]，

由零點(diǎn)存在性定理可知[g（0）=1+a≥0]，

解得[a≥-1]，

綜上所述，要使[g（x）]存在2個(gè)零點(diǎn)，需使[a≥-1].

對(duì)函數(shù)[g（x）]求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)在[（-∞，0]]和[（0，+∞）]上的單調(diào)性.而當(dāng)[x→-∞]時(shí)，[g（x）→-∞]，即在[（0，+∞）]上的函數(shù)值均小于0，由零點(diǎn)存在性定理可知，要使[gx]在區(qū)間[（-∞，0]]上存在1個(gè)零點(diǎn)，需使[g（0）≥0].

例2.已知函數(shù)[f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2]有2個(gè)零點(diǎn)，求[a]的取值范圍.

解：函數(shù)[f（x）]的定義域?yàn)閇R]，求導(dǎo)得[f（x）=（x-1）?] [（ex+2a）]，

（1）當(dāng)[a=0]時(shí)， [f（x）=（x-2）ex]有唯一的零點(diǎn)[2]，不符合題意；

（2）當(dāng)[a<0]時(shí)，由[f（x）=0]，得[x=1]或[x=ln（-2a）].

因此[f（x）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增.

當(dāng)[x≤1]時(shí)， [f（x）<0]，

所以[f（x）]不可能有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)[x∈（ln（-2a），+∞）]時(shí)， [f（x）>0]；

因此[f（x）]在[1，ln（-2a）]上單調(diào)遞減，在[ln（-2a），+∞]上單調(diào)遞增.

又當(dāng)[x≤1]時(shí)， [f（x）<0]，

所以[f（x）]不可能有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

（3）當(dāng)[a>0]時(shí)，[f（x）]在[（-∞，1）]上單調(diào)遞減，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閇f（1）=-e<0]， [f（2）=a>0]，

所以[f（1）?f（b）<0]， [f（1）?f（2）<0]，

由零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)在[（-∞，1）]和[（1，+∞）]上均有1個(gè)零點(diǎn)，故[f（x）]存在2個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，[a]的取值范圍為[（0，+∞）].

解答本題，需利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來(lái)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論函數(shù)在區(qū)間上的取值，以便根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的存在性.運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理解題，需確保函數(shù)在區(qū)間上的值有大于0的，同時(shí)也有小于0的，才能使零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值的積小于0.

二、數(shù)形結(jié)合

我們知道，函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此在解題時(shí)，可根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)的圖象，討論函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)、位置，即可建立關(guān)系式，從而順利求得問(wèn)題的答案.有時(shí)函數(shù)可以拆分成[h（x）=g（x）-f（x）]的形式，那么[h（x）=g（x）-f（x）]的零點(diǎn)即為[g（x）]與[f（x）]的圖象的交點(diǎn)，此時(shí)只需討論兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，就可以求出參數(shù)的范圍.

例3.已知[fx]為偶函數(shù)，對(duì)[?x∈R]，有[fx+2=fx-f1]，當(dāng)[x∈2，3]時(shí)，[fx=-2x2+12x-18].若函數(shù)[y=fx-logax+1]在[0，+∞]上至少有3個(gè)零點(diǎn)，則[a]的取值范圍是（? ? ?）.

解：令[x=-1]，由[fx+2=fx-f1]可得[f1=f-1-f1]，

而[fx]為偶函數(shù)，則[f1=f-1]，所以[f1=0]，

所以[fx+2=fx]，故[fx]是周期為2的函數(shù).

令[fx-logax+1=0]，即[fx=logax+1]，

要使函數(shù)[y=fx-logax+1]在[0，+∞]上至少有3個(gè)零點(diǎn)，需使[fx]與[y=logax+1]至少有3個(gè)交點(diǎn).

畫(huà)出[fx]在[x∈2，3]的圖象，并根據(jù)函數(shù)的周期性和對(duì)稱性作出如圖所示的圖象，

由圖象可知：當(dāng)[a>1]時(shí)，[fx]與[y=logax+1]不可能有3個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)[0f2=-2]，

總之，由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，不僅需要靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、方程、不等式知識(shí)，還需運(yùn)用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想來(lái)輔助解題.