宋琳琳

通項公式是數(shù)列的一種表示形式.通過遞推關(guān)系式，往往可以求出該數(shù)列的通項公式.求數(shù)列的通項公式問題對同學(xué)們的邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力有較高的要求.當(dāng)遞推關(guān)系式比較復(fù)雜時，很多同學(xué)不知該如何下手.下面介紹幾種常用的方法，供大家參考.

一、累加法

累加法也叫疊加法.當(dāng)遇到形如[an-an-1=f（n）（n≥2]，且[n∈N?]）的遞推關(guān)系式時，可先將數(shù)列的各式累加，使等式左側(cè)的前后兩項相互抵消，只剩下第一項（[a1]）與最后一項（[an]），即[an=（an-an-1）+][（an-1-an-2）+]…[+（a2-a1）+a1]；再對右側(cè)的式子進(jìn)行求和，即可求得[an].

在累加消項時，應(yīng)注意消項的規(guī)律，明確要消去哪些項，保留哪些項，才能確保得到正確的結(jié)果.

二、累乘法

的各式累乘時，需使等式左側(cè)的前后兩項相約，最后只剩下第一項（[a1]）與最后一項（[an]）的比值.

三、構(gòu)造法

構(gòu)造法是求數(shù)列通項公式的常用方法.運用構(gòu)造法解題，需將遞推關(guān)系式進(jìn)行合理的變形，把某一部分看成一個整體，構(gòu)造出等差數(shù)列或等比數(shù)列，以利用等差、等比數(shù)列的通項公式解題.

用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，要先仔細(xì)觀察遞推關(guān)系式，對其進(jìn)行合理的變形，構(gòu)造出新數(shù)列；再確定新數(shù)列的首項、公差、公比.在求出數(shù)列的通項公式后，還需對首項加以檢驗，如果不滿足所求的通項公式，就應(yīng)分段表示數(shù)列的通項公式.

四、利用[Sn]與[an]的關(guān)系

我們知道，當(dāng)[n≥2，n∈N*]時，數(shù)列的前n項和[Sn]與通項公式[an]的關(guān)系為[an=Sn-Sn-1].所以當(dāng)題目中給出的遞推關(guān)系式中同時含有[Sn]與[an]時，要先利用[Sn]與[an]的關(guān)系消去[Sn]，再通過化簡求得數(shù)列的通項公式.

例5.已知數(shù)列[{an}]的前[n]項和[Sn=1-an]，其中[n∈N?].

（I）求[{an}]的通項公式；

（II）若[bn=nan]，求[{an}]的前[n]項和[Sn].

由[Sn]與[an]的關(guān)系求數(shù)列的通項公式時，應(yīng)注意：（1）要重視分類討論思想的應(yīng)用，分[n=1]和[n≥2]兩種情況討論；（2）要注意[Sn]與[an]互化的雙向性，既可由[an]求[Sn]，又可由[Sn]求[an].

以上四種方法都比較常用，運用每種方法解題，都需靈活運用轉(zhuǎn)化思想，對遞推關(guān)系式進(jìn)行合理的變形，將問題轉(zhuǎn)化為簡單、易于計算的問題，這樣才能化難為易，化繁為簡.