董欣心，岳振江，王志，劉莉

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

Abstract： In order to analyze the influence of uncertainty on the thermal stability of the launch vehicle fairing cone shell sandwich structure and to guide the lightweight design of the structure, a model of the fairing front cone section sandwich shell is established and a temperature field model is built, based on which the thermal stability analysis of the cone shell is carried out and the critical axial pressure under the combined force-thermal load is derived.For the primary uncertainty factors, interval uncertainty optimization models and sensitivity analyses are also produced.The interval probability approach is then used to convert these models into deterministic optimization problems, which are then resolved using the genetic algorithm-collocation interval analysis method (GA-CIAM)method.The calculation results show that considering the influence of aerodynamic/thermal load and material parameter uncertainty, the optimization design of the front cone section of the fairing can effectively realize the structural lightweight on the premise of meeting the design requirements.

Keywords： cone shell of fairing；sandwich structure；thermal stability analysis；interval uncertainty optimization；lightweight design

隨著航天技術(shù)不斷進(jìn)步，火箭的飛行速度也在不斷提高，這對(duì)整流罩的綜合性能提出了更高要求?；鸺咚亠w行時(shí)，整流罩表面駐點(diǎn)溫度近似正比于飛行速度的平方[1]，摩擦帶來(lái)的氣動(dòng)熱引起整流罩壁的快速升溫，由于外部環(huán)境對(duì)結(jié)構(gòu)的約束及各部分之間的相互作用，結(jié)構(gòu)不能完全自由的熱脹冷縮，引起很高的熱應(yīng)力。

針對(duì)這一問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者開(kāi)展了圓柱殼及圓錐殼的熱穩(wěn)定性分析相關(guān)研究。Meyers 等[2]分析了對(duì)稱(chēng)鋪層復(fù)合材料平板的熱屈曲響應(yīng)，并討論了不同方向鋪層及不同邊界條件下的熱屈曲情況。此后，許多國(guó)外學(xué)者基于一階剪應(yīng)變理論對(duì)功能分級(jí)材料(functionally gradient materials, FGM)開(kāi)展了一系列研究[3-6]，對(duì)不同防熱材料、不同加筋形式的圓柱殼、圓錐殼結(jié)構(gòu)在力載荷作用下的屈曲臨界載荷及在溫度載荷作用下的屈曲臨界溫度進(jìn)行分析，推導(dǎo)得到了其理論解。

在國(guó)內(nèi)，也有許多學(xué)者針對(duì)薄殼的熱穩(wěn)定性問(wèn)題開(kāi)展研究。張東等[7]對(duì)軸壓和溫度載荷作用下圓柱加筋殼的熱屈曲問(wèn)題進(jìn)行分析，通過(guò)推導(dǎo)給出了臨界屈曲載荷和臨界溫度載荷的解析表達(dá)。整流罩多采用復(fù)合材料，復(fù)合材料能夠有效提升結(jié)構(gòu)的隔熱性能及熱載荷承受能力，針對(duì)復(fù)合材料的熱穩(wěn)定性問(wèn)題，唐統(tǒng)帥[8]分析了復(fù)合材料格柵加筋結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力分布規(guī)律，并對(duì)加筋板結(jié)構(gòu)尺寸開(kāi)展設(shè)計(jì)以提升其散熱性能和承載性能。徐騰飛等[9]基于經(jīng)典薄板理論，利用分離變量法對(duì)柔性支撐FGM矩形薄板的熱屈曲進(jìn)行分析，推導(dǎo)得到了其閉式解。

整流罩錐段需要同時(shí)承受軸壓載荷和氣動(dòng)熱引起的熱載荷，對(duì)于圓錐殼在力熱聯(lián)合載荷作用下的屈曲分析，相關(guān)研究依然較少。并且，飛行過(guò)程中所受載荷及結(jié)構(gòu)材料的力學(xué)性能參數(shù)、熱物性參數(shù)均存在一定的不確定性?，F(xiàn)有的分析及基于此開(kāi)展的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)并未充分考慮參數(shù)不確定引起的結(jié)構(gòu)承載能力不確定性，給定的安全系數(shù)通常存在較大冗余。近年來(lái)，不確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)[10-11]的概念逐漸在設(shè)計(jì)領(lǐng)域受到重視，其前提是不確定性量化(uncertainty quantification, UQ)，主要思想是在設(shè)計(jì)過(guò)程中通過(guò)對(duì)模型輸出響應(yīng)的不確定性定量描述提升模型的可信度。不確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)可以通過(guò)定量分析承載能力波動(dòng)范圍，使設(shè)計(jì)結(jié)果更加精確，在降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量的同時(shí)保證可靠性。

不確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)方法旨在通過(guò)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)獲取可行域內(nèi)對(duì)于設(shè)計(jì)變量變化不敏感的最優(yōu)值，按處理方法可以分為概率方法、非概率方法和概率-非概率混合方法。通常，如果不確定性因素的概率分布已知可以采用概率方法，若分布未知而變化范圍已知可以采用區(qū)間方法，若部分參數(shù)分布已知而部分只能確定變化區(qū)間則可以采用混合方法。其中區(qū)間方法對(duì)于數(shù)據(jù)的要求較低，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，因此在工程上使用更加廣泛。

本文考慮整流罩部分承受較強(qiáng)的氣動(dòng)加熱，存在熱應(yīng)力，建立整流罩錐段的夾層結(jié)構(gòu)模型，分析軸壓載荷和氣動(dòng)熱載荷聯(lián)合作用下錐殼的載荷承受能力。建立區(qū)間不確定性?xún)?yōu)化模型，采用遺傳算法嵌套區(qū)間分析方法求解，對(duì)整流罩前錐段夾層結(jié)構(gòu)開(kāi)展結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)，并對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 圓錐殼熱穩(wěn)定性分析方法

1.1 整流罩前錐段圓錐殼模型建立

整流罩前錐段常采用復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，由上下2 層面板及中間的夾心芯子組成，還包括一些加強(qiáng)框、加強(qiáng)板及支撐桁、爆炸螺栓等連接和加強(qiáng)結(jié)構(gòu)。為對(duì)其進(jìn)行參數(shù)化表征，作出一定假設(shè)，認(rèn)為前錐段為完整的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，不考慮局部連接和加強(qiáng)結(jié)構(gòu)，建立參數(shù)化模型如圖1 所示。沿殼長(zhǎng)度方向?yàn)閤 方向，x 方向的位移為u，垂直于x 方向?yàn)闅さ暮穸确较騴 方向，z 方向的位移為 w。

圖1 前錐段夾層結(jié)構(gòu)參數(shù)化模型Fig.1 Parameterized model of sandwich structure of the front cone section

為計(jì)算熱穩(wěn)定性，需對(duì)面板及芯子的材料性能參數(shù)進(jìn)行定義。性能參數(shù)主要包括材料的彈性模量、泊松比，以及描述物體在溫度改變時(shí)膨脹收縮能力的熱膨脹系數(shù)。熱膨脹系數(shù)的定義為在等壓條件下，單位溫度變化所導(dǎo)致的體積變化。本文為簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)面板和芯子泊松比相等。

錐殼所受熱應(yīng)力與結(jié)構(gòu)內(nèi)部溫度分布相關(guān)，因此，需要建立溫度場(chǎng)模型，分析在熱流作用下結(jié)構(gòu)內(nèi)部溫度分布情況。壁面厚度方向的尺寸遠(yuǎn)小于另外2 個(gè)方向，此時(shí)可以把箭體壁面近似視為平板進(jìn)行考慮。在壁面內(nèi)，可以假設(shè)熱傳導(dǎo)只沿壁厚方向進(jìn)行，將原本的三維傳熱問(wèn)題簡(jiǎn)化為一維傳熱問(wèn)題[12]。

傳熱邊界條件為：結(jié)構(gòu)層外表面凈吸收熱流密度為常值 q0，內(nèi)壁為絕熱條件。初始時(shí)刻，結(jié)構(gòu)層沿厚度方向不存在溫差，即 t =0時(shí) 刻有T0=Tn=Tinit。由此初始條件計(jì)算一段時(shí)間后結(jié)構(gòu)層沿厚度方向的溫度分布，采用有限差分法，將結(jié)構(gòu)層分為 N層，以每層中點(diǎn)處的溫度代表該層溫度，如圖2 所示，通過(guò)熱傳導(dǎo)傅里葉方程描述溫度空間分布隨時(shí)間變化。

圖2 沿壁厚方向溫度分布Fig.2 Temperature distribution along thickness direction

1.2 溫度場(chǎng)模型建立

1.3 圓錐殼熱穩(wěn)定性分析

依據(jù)文獻(xiàn)[5]，將應(yīng)力-應(yīng)變方程進(jìn)行整合并在殼體厚度方向積分取矩，可以得到錐殼的力、力矩合力及橫向力合力表達(dá)式為

由此，屈曲狀態(tài)下的力和力矩的合力也可表示為平衡狀態(tài)量加擾動(dòng)量：

圖3 圓錐殼邊界條件Fig.3 Boundary conditions of conical shell

2 區(qū)間不確定性?xún)?yōu)化方法

2.1 區(qū)間不確定性?xún)?yōu)化模型

在處理不確定性約束時(shí)，引入?yún)^(qū)間可能度方法[14]，定量比較區(qū)間兩區(qū)間大小關(guān)系。認(rèn)為區(qū)間數(shù)A 和B 在區(qū)間內(nèi)均勻分布，區(qū)間A 和B 所有可能的相對(duì)關(guān)系可分為以下6 種，如圖4 所示。

圖4 區(qū)間A 與區(qū)間B 可能的相對(duì)關(guān)系Fig.4 Possible relationship between interval A and B

對(duì)應(yīng)不同相對(duì)關(guān)系，基于概率方法給出區(qū)間可能度模型：

2.2 區(qū)間分析方法

傳統(tǒng)的區(qū)間不確定性?xún)?yōu)化常采用遺傳算法等智能優(yōu)化算法確定目標(biāo)及約束函數(shù)的上下界，結(jié)合外層的設(shè)計(jì)變量尋優(yōu)，雙層嵌套優(yōu)化導(dǎo)致計(jì)算量巨大。采用區(qū)間分析方法取代內(nèi)層優(yōu)化可以有效提升計(jì)算效率，常用的區(qū)間分析方法包括基于Taylor展開(kāi)的區(qū)間分析方法(Taylor interval analysis method, TIAM)和由此發(fā)展出來(lái)的配點(diǎn)型區(qū)間分析方法(collocation interval analysis method, CIAM)[15]。配點(diǎn)型區(qū)間分析方法由基于Taylor 展開(kāi)的區(qū)間分析方法發(fā)展而來(lái)，具有更高的計(jì)算精度，其思想為采用第1 類(lèi)Chebyshev 多項(xiàng)式逼近響應(yīng)函數(shù)，獲得響應(yīng)函數(shù)的區(qū)間上下界。項(xiàng)式：

當(dāng)優(yōu)化模型中有多個(gè)約束時(shí)，對(duì)每個(gè)約束依次計(jì)算上下界，然后采用區(qū)間可能度方法計(jì)算。

2.3 不確定性?xún)?yōu)化流程

采用遺傳算法-區(qū)間分析方法(GA-CIAM)求解不確定性?xún)?yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化流程如圖5 所示。

圖5 不確定性?xún)?yōu)化流程Fig.5 Flow diagram of uncertainty optimization

3 優(yōu)化模型建立及結(jié)果分析

3.1 優(yōu)化模型建立

由于在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段，整體外形尺寸往往已經(jīng)由總體設(shè)計(jì)確定，因此，給定其整體外形參數(shù)，僅對(duì)夾層結(jié)構(gòu)厚度展開(kāi)不確定性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)。錐殼錐角為17°，殼長(zhǎng)4.2 m，小端半徑為0.63 m，大端半徑為1.85 m。面板、芯子泊松比均為0.3，玻璃板熱膨脹系數(shù)為7.1×10-6(1/℃)，泡沫芯子熱膨脹系數(shù)為8×10-5(1/℃)，結(jié)構(gòu)初始溫度為均勻分布的20 ℃，凈吸收熱流密度為20 kW/m2，作用時(shí)間150 s。為計(jì)算結(jié)構(gòu)質(zhì)量，需給定材料密度，玻璃板密度為1.8×10-6kg/mm3，泡沫夾層密度為3×10-7kg/mm3。設(shè)計(jì)變量為面板及芯子厚度，設(shè)計(jì)空間上下界和初始值如表1 所示。不確定性變量為需用軸壓、熱流參數(shù)及材料的力熱性能參數(shù)。不確定性變量上下界如表2 所示。

表1 設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)空間及初值Table 1 Design space and initial value of design variables

表2 不確定性變量上下界Table 2 upper and lower bounds of uncertainty variables

為描述不同因素對(duì)響應(yīng)不確定性的影響程度，通常進(jìn)行靈敏度分析，方差靈敏度分析法又稱(chēng)為Sobol 方法，通過(guò)輸入變量的方差在系統(tǒng)響應(yīng)中的貢獻(xiàn)度來(lái)衡量該變量的重要程度，能充分表征變量對(duì)響應(yīng)的影響程度，因此，采用Sobol 法分析靈敏度，Sobol 指數(shù)的取值在 [0,1]之間，取值越大說(shuō)明響應(yīng)對(duì)輸入的變化更加靈敏。本文對(duì)熱流參數(shù)，分別是凈吸收熱流 q0和 熱流作用時(shí)間t，以及材料熱物性參數(shù)，分別是玻璃板比熱容、泡沫夾層比熱容、玻璃板導(dǎo)熱率、泡沫夾層導(dǎo)熱率進(jìn)行靈敏度分析。結(jié)果如圖6 和圖7 所示。

圖6 熱流不確定性因素Sobol 靈敏度指數(shù)Fig.6 Sobol sensitivity index of heat flux uncertainties

圖7 材料不確定性因素Sobol 靈敏度指數(shù)Fig.7 Sobol sensitivity index of material uncertainties

從靈敏度分析結(jié)果圖6、圖7 可知，熱流不確定性對(duì)溫度分布影響較大，其中凈吸收熱流密度主要影響外壁及近外壁界面溫度，內(nèi)壁及近內(nèi)壁界面溫度對(duì)熱流作用時(shí)間更敏感。材料不確定性因素對(duì)響應(yīng)影響差別較大，泡沫層比熱容和玻璃板導(dǎo)熱率對(duì)響應(yīng)靈敏度很小，玻璃板比熱容對(duì)各層的影響相似，泡沫夾層導(dǎo)熱率對(duì)外壁溫度基本無(wú)影響，對(duì)內(nèi)壁溫度起主要主用。

以結(jié)構(gòu)質(zhì)量作為目標(biāo)函數(shù)，約束為結(jié)構(gòu)不失穩(wěn)且內(nèi)壁溫度滿(mǎn)足溫度限制。結(jié)構(gòu)質(zhì)量為結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)的函數(shù)，表示為

約束條件首先考慮結(jié)構(gòu)在力熱聯(lián)合條件下的穩(wěn)定性問(wèn)題，要求結(jié)構(gòu)在軸壓和熱應(yīng)力作用下失穩(wěn)臨界軸壓不大于需用軸壓載荷，同時(shí)，要求結(jié)構(gòu)內(nèi)壁溫度低于臨界溫度，本算例設(shè)定為 Tcr= 40 ℃。計(jì)算過(guò)程中，對(duì)某一設(shè)計(jì)點(diǎn)，需首先由熱傳導(dǎo)求得帶有不確定性的結(jié)構(gòu)內(nèi)外溫度上下邊界，再將溫度及材料參數(shù)的不確定性共同作為穩(wěn)定性分析的輸入，求得結(jié)構(gòu)臨界軸壓載荷的上下邊界。由此可以得到前錐段夾層結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的不確定性?xún)?yōu)化模型為

3.2 優(yōu)化結(jié)果及分析

優(yōu)化方法選用GA-CIAM 方法，外層采用GA對(duì)設(shè)計(jì)變量尋優(yōu)，內(nèi)層通過(guò)CIAM 方法確定約束上下界。本問(wèn)題僅有2 個(gè)設(shè)計(jì)變量，故將遺傳算法的種群規(guī)模設(shè)為25，最大代數(shù)100，交叉概率0.8，變異概率0.1，罰函數(shù)法的初始罰函數(shù)為10，罰因子為100。CIAM 方法多項(xiàng)式階數(shù)為5 階，高斯積分點(diǎn)數(shù)為10，將不同約束的區(qū)間可能度都選為0.8 進(jìn)行優(yōu)化。得到設(shè)計(jì)結(jié)果為面板厚度 ts=1.600 mm，芯子厚度 tc=16.500 mm，最終結(jié)構(gòu)質(zhì)量為352.674 kg。

將所得優(yōu)化結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)及約束的性能參數(shù)與優(yōu)化前進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3 所示。

表3 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of optimization results

從結(jié)果表3 可以看出，優(yōu)化后相比優(yōu)化前失穩(wěn)臨界軸壓有一定下降，滿(mǎn)足穩(wěn)定性約束，優(yōu)化后面板及芯子厚度變薄，內(nèi)外壁溫差增大，結(jié)構(gòu)質(zhì)量減輕了14.86%。本算例中，優(yōu)化前后結(jié)果均滿(mǎn)足內(nèi)壁溫度約束，如果作用在結(jié)構(gòu)上的熱流增大或加熱時(shí)間變長(zhǎng)，該約束可能會(huì)變?yōu)槠鹱饔眉s束，因此，需要對(duì)其進(jìn)行限制。

保持其余參數(shù)不變，分別將區(qū)間可能度水平改變?yōu)?.2、0.5、1.0 重新進(jìn)行優(yōu)化，將所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表4 所示。

表4 不同可能度水平下不確定性?xún)?yōu)化結(jié)果Table 4 Uncertainty optimization results under different possibility levels

當(dāng)可能度水平取為0.2 時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量相比優(yōu)化前減重19.05%；當(dāng)可能度水平取為1.0 時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量相比優(yōu)化前減重12.04%。可能度水平由1.0 減小至0.2，質(zhì)量下降約7.97%，可以看出對(duì)本問(wèn)題而言，在需用載荷變化范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)重量變化不大，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)馁|(zhì)量代價(jià)追求更高的設(shè)計(jì)可靠性。

4 結(jié) 論

1）建立了火箭整流罩圓錐殼夾層結(jié)構(gòu)參數(shù)化模型，建立一維熱傳導(dǎo)模型獲取熱流作用下結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)，推導(dǎo)了考慮熱應(yīng)力情況下圓錐殼的穩(wěn)定性平衡方程，采用伽遼金法求解方程，給出了失穩(wěn)臨界軸壓的表達(dá)式。

2）建立了區(qū)間不確定性?xún)?yōu)化模型，采用區(qū)間可能度方法將不確定性?xún)?yōu)化模型轉(zhuǎn)換為確定性?xún)?yōu)化模型，采用GA-CIAM 方法代替原本的GA 嵌套尋優(yōu)方法，降低了計(jì)算量。

3）對(duì)整流罩前錐段夾層結(jié)構(gòu)圓錐殼開(kāi)展了考慮氣動(dòng)力/熱載荷及材料參數(shù)不確定性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得了滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求且質(zhì)量更輕的設(shè)計(jì)結(jié)果，研究了改變可能度水平對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果的影響，為不同可靠性要求的設(shè)計(jì)過(guò)程提供指導(dǎo)。

附錄A: