呂巖，曹菲

(1.火箭軍工程大學(xué) 核工程學(xué)院，西安 710025；2.中國(guó)人民解放軍96746 部隊(duì)，庫(kù)爾勒 841000)

陣列信號(hào)處理作為一種空間濾波技術(shù)，可通過(guò)調(diào)整陣元權(quán)值控制波束形成，使其高增益主瓣波束指向期望信號(hào)(signal of interest, SOI)，同時(shí)將干擾信號(hào)方向的增益置零，與波達(dá)方向估計(jì)[1](direction of arrival, DOA)配合達(dá)到接收SOI 和抑制干擾的目的[2]。目前，波束形成已被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、地震波監(jiān)測(cè)、現(xiàn)代通訊和醫(yī)學(xué)成像等諸多領(lǐng)域[3-5]。

波束形成效果與DOA 的估計(jì)精度密不可分，因此，當(dāng)DOA 估計(jì)出現(xiàn)偏差時(shí)，波束形成算法性能會(huì)嚴(yán)重下降[6-7]。對(duì)此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量的研究工作，提出了許多穩(wěn)健波束形成的算法，主要包含線性約束最小方差[8](linearly constrained minimum variance, LCMV)算法、對(duì)角加載算法[9]和最差性能優(yōu)化波束形成算法[10]等。其中對(duì)角加載算法通過(guò)設(shè)置懲罰權(quán)值作為加載因子，有效提高了波束形成的穩(wěn)健性，但加載因子的選取目前并不存在嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)，使算法的應(yīng)用受到限制。最差性能優(yōu)化算法通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題確定加載因子大小，與對(duì)角加載算法相比具備一定優(yōu)勢(shì)，但在信噪比[11](signal noise ratio, SNR)較高時(shí)，性能會(huì)有明顯的下降。廣義旁瓣相消(generalized sidelobe canceller, GSC)算法是LCMV 的一種等效實(shí)現(xiàn)算法[12-13]，能夠?qū)CMV 轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，GSC 模型分為兩支路，其中主支路允許期望信號(hào)通過(guò)，輔助支路允許干擾信號(hào)和噪聲通過(guò)，并利用兩支路所含信號(hào)的差異進(jìn)行自適應(yīng)相消。

本文基于LCMV 算法，分別以平面陣列天線和均勻線陣為對(duì)象，針對(duì)平面陣俯仰角DOA 估計(jì)偏差，采用在SOI 方向附近增加線性約束的算法提高波束形成穩(wěn)健性；而后，針對(duì)文獻(xiàn)[7]以損失算法自由度為代價(jià)的不足，通過(guò)添加阻塞矩陣預(yù)選環(huán)節(jié)改進(jìn)了GSC 模型，避免了在SOI 方向附近添加線性約束，因此，所提算法可在提升波束形成穩(wěn)健性的同時(shí)使其保持原有的自由度。

1 信號(hào)模型

1.1 均勻線陣

假設(shè) W個(gè)具有任意方向性的陣元沿直線均勻排列，間距為窄帶入射信號(hào)半波長(zhǎng)。對(duì)于 K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)入射信號(hào)，則第i個(gè)陣元的輸出為

1.2 矩形平面陣

平面陣列是線性陣列的一種推廣，假設(shè) M行N 列的均勻矩形平面陣列，陣元總數(shù)為 Q=MN，如圖1 所示。

圖1 平面陣列Fig.1 Planar array

2 波束形成算法

2.1 LCMV 算法

LCMV 算法通過(guò)最小化輸出功率，同時(shí)滿足若干線性約束條件，從而確定陣元的權(quán)值矢量，問(wèn)題的表達(dá)式為

2.2 GSC 算法

如圖2 所示，GSC 算法的權(quán)值矢量分為 wq和wa兩部分，分別代表主支路權(quán)向量和輔助支路權(quán)向量。

圖2 GSC 模型Fig.2 Model of GSC

圖2 中阻塞矩陣 B 為 Q×(Q-J-1)維，起阻塞SOI 的作用，滿足 BHC=0。GSC 的權(quán)向量可表示為

式中：

2.3 平面陣穩(wěn)健波束形成算法和改進(jìn)GSC 模型

2.3.1 平面陣穩(wěn)健波束形成算法

假定 (θs,φs)為平面陣列SOI 的DOA 估計(jì)值，此時(shí)為保證SOI 損失最小，設(shè)置 C=[a(θs,φs)]和約束向量 f =1，可得

采用式(17)作為約束矩陣相當(dāng)于在期望方向附近添加了一組“字典”，真實(shí)DOA 可利用該字典進(jìn)行穩(wěn)健匹配，示意如圖3 所示。

圖3 字典示意圖Fig.3 Sign for dictionary

采用 f 為全1 向量進(jìn)行約束會(huì)產(chǎn)生過(guò)約束現(xiàn)象，導(dǎo)致波束形成產(chǎn)生畸變，取：

式中：λ1,λ2,···,λk為拉格朗日乘子，令式(20)導(dǎo)數(shù)為0 并求解，可得

2.3.2 改進(jìn)GSC 模型

文獻(xiàn)[7]通過(guò)添加線性約束的方式提高了LCMV 算法的穩(wěn)健程度，但以消耗算法自由度為代價(jià)，且僅利用了GSC 算法的主支路權(quán)向量，未充分利用輔助支路。GSC 算法主支路和輔助支路的主要區(qū)別在于是否含有SOI，理想情況下主支路中SOI 含量較高，輔助支路不含SOI，所以兩支路信號(hào)的相關(guān)程度代表著阻塞矩陣的阻塞效果。當(dāng)主支路和輔助支路相關(guān)程度較高時(shí)，表示阻塞矩陣效果降低，DOA 的真實(shí)值和估計(jì)值之間存在誤差；反之，相關(guān)程度較低時(shí)，表示阻塞效果較好，基于該項(xiàng)性質(zhì)，本文在GSC 模型中添加阻塞矩陣預(yù)選環(huán)節(jié)，如圖4 所示。

根據(jù)圖4，在SOI 方向附近選取不同角度計(jì)算阻塞矩陣，利用不同阻塞矩陣計(jì)算兩支路 yc和 z的互相關(guān)向量，并計(jì)算互相關(guān)向量的 l1范數(shù)，選擇較小范數(shù)時(shí)的阻塞矩陣作為最佳矩陣。所提算法即為對(duì)阻塞矩陣進(jìn)行預(yù)選擇，未在SOI 的DOA 附近添加額外約束，因此未對(duì)算法自由度產(chǎn)生影響，改進(jìn)GSC 算法的流程如下：

圖4 改進(jìn)GSC 模型Fig.4 Model of improved GSC

步驟 1 選取SOI 的DOA 附近角度計(jì)算阻塞矩陣。

步驟 3 計(jì)算 yc和 z的互相關(guān)向量，并計(jì)算相關(guān)向量的 l1范數(shù)。

步驟 3 執(zhí)行 ζ次步驟2，選擇最小 l1范數(shù)時(shí)的阻塞矩陣作為 Bbest。

步驟 4 利用 Bbest計(jì) 算權(quán)值 w。

可知，改進(jìn)GSC 算法和原算法的主要差別在于矩陣預(yù)選部分，經(jīng)算法復(fù)雜度分析可得

式中：W 和 ζ分別為天線陣元數(shù)量和預(yù)選阻塞矩陣次數(shù)。

3 仿真分析

3.1 平面陣穩(wěn)健波束形成算法仿真

仿真基于8×8 的矩形平面陣，為便于比較俯仰角出現(xiàn)DOA 失配時(shí)對(duì)波束形成性能的影響，先將方位角設(shè)定為統(tǒng)一值，設(shè)置SOI 的DOA 為(θs,φs)=(15°,10°)，2 個(gè)干擾的DOA 分別為 (15°,-40°)和 (15°,25°)，信噪比為0 dB，干噪比(interference to noise ratio, INR)為10 dB。

圖5～圖7 分別為采用LCMV 算法生成的空間增益三維圖、等高線圖和方位角等于15o時(shí)俯仰角與波束增益的截面圖，可知SOI 方向波束增益為峰值，2 個(gè)干擾均被有效抑制。

圖5 波束增益Fig.5 Pattern synthesis

圖6 等高線Fig.6 Contour plot

圖7 方位角15o 波束截面Fig.7 Sectional drawing of 15o

假設(shè)SOI 方向出現(xiàn)DOA 失配，實(shí)際俯仰方向波達(dá)角為11o，此時(shí)俯仰角和增益的截面圖如圖8所示?？芍狣OA 失配時(shí)，波束圖出現(xiàn)較大畸變，無(wú)法在SOI 方向形成高增益波束，干擾抑制能力也隨之變差，算法性能?chē)?yán)重下降。

圖8 波束畸變Fig.8 Pattern synthesis distortion

設(shè)置角度增量 δφ=1°，在SOI 方向附近額外添加2 個(gè)約束，則可得

此時(shí)俯仰角和波束增益的截面圖如圖9 所示，可知SOI 方向波束未發(fā)生畸變，雖然對(duì)2 個(gè)干擾的抑制能力略有下降，但仍能達(dá)到良好的抑制效果。

圖9 DOA 失配增益Fig.9 Pattern synthesis of DOA mismatch

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提算法的性能，將方位角設(shè)置為不同數(shù)值，SOI 的DOA 設(shè)置為 (θs,φs)=(15°,10°)，2 個(gè)干擾信號(hào)的DOA 分別設(shè)置為 (10°,-40°)和 (20°,25°)，實(shí)際波達(dá)角仍為( θs,φs)=(15°,11°)，此時(shí)陣列的空間增益和等高線如圖10 和圖11 所示。

圖10 平面陣波束增益Fig.10 Pattern synthesis of planar array

圖11 平面陣等高線Fig.11 Contour plot of planar array

為進(jìn)一步表明測(cè)試結(jié)果，分別生成方位角為15o、10o和20o時(shí)的俯仰角與波束增益的截面如圖12 所示。根據(jù)圖12 可知，主瓣波束未發(fā)生畸變，干擾抑制效果良好，添加約束取得了提升波束形成穩(wěn)健性的作用。

圖12 不同方位角的波束截面Fig.12 Sectional drawings of pattern syntheses for different azimuths

3.2 改進(jìn)GSC 模型仿真

仿真基于16 陣元的均勻線陣，設(shè)置SOI 的DOA 為30o，3 個(gè)干擾DOA 分別為40o、-25o和-60o，INR 為30 dB。假設(shè)信號(hào)實(shí)際的DOA 為31o，為驗(yàn)證改進(jìn)GSC 模型的有效性，分別選取29o、30o、31o這3 個(gè)DOA 生成阻塞矩陣，并計(jì)算 yc和 z互相關(guān)向量的 l1范 數(shù)，圖13(a)為 l1范數(shù)隨SNR 從-20～20 dB之間的變化趨勢(shì)（已歸一化），圖13(a)中藍(lán)、綠和紅色曲線分別對(duì)應(yīng)31o、30o和29o。進(jìn)一步令I(lǐng)NR 與隨機(jī)數(shù)rand 相乘，即INR 處于0～30 dB 之間隨機(jī)變化。圖13(b)為該狀態(tài)下200 次蒙特卡羅[14-15]實(shí)驗(yàn)的 l1范數(shù)平均值隨SNR 的變化趨勢(shì)，可知藍(lán)色曲線的l1范數(shù)最小，說(shuō)明其更接近真實(shí)DOA，應(yīng)選擇31o進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。

圖13 范數(shù)變化趨勢(shì)Fig.13 Trends of norms

選定DOA 為31o構(gòu)造阻塞矩陣，并求取權(quán)值w，圖14 為SNR 分別為-10 dB 和10 dB 時(shí)，改進(jìn)GSC模型和文獻(xiàn)[7]算法的波束形成對(duì)比，從圖14 可知2 種算法對(duì)-25o方向干擾的抑制能力相近，但改進(jìn)GSC 模型在40o和-60o方向上的增益要比文獻(xiàn)[7]更低，干擾抑制效果更優(yōu)。

圖14 改進(jìn)GSC 和文獻(xiàn)[7]波束形成對(duì)比Fig.14 Comparison of pattern synthesis between improved GSC and Ref.[7]

圖15(a)為干擾方向不變(40o、-25o和-60o)，SOI的實(shí)際DOA 不同時(shí)，l1范數(shù)隨SNR 從-20～20 dB之間的變化趨勢(shì)（已歸一化的200 次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)平均值）。圖15(b)為實(shí)際DOA 不變，干擾信號(hào)方向不同時(shí)，l1范數(shù)隨SNR 從-20～20 dB 之間的變化趨勢(shì)。從圖15 中可以看出，與實(shí)際DOA 偏差越大，則 l1范 數(shù)越大，表示 yc和 z之間的相關(guān)程度較高，阻塞矩陣對(duì)于SOI 的阻塞效果不理想。隨著與實(shí)際DOA 偏差的逐漸降低，yc和 z之間的相關(guān)程度降低，阻塞矩陣對(duì)于SOI 的阻塞效果逐步提升。

圖15 不同參數(shù)時(shí)的范數(shù)變化趨勢(shì)Fig.15 Trends of norms under different parameters

表1 和圖16 為GSC、文獻(xiàn)[7]和改進(jìn)GSC 算法運(yùn)行耗時(shí)的對(duì)比，仿真平臺(tái)為MATLAB2014，CPU3.40 GHz、RAM16 GB。根據(jù)結(jié)果可知當(dāng)陣元數(shù)量較少時(shí)，3 種算法運(yùn)行耗時(shí)相差不大。隨著陣元數(shù)量增多，3 種算法的運(yùn)行時(shí)間逐漸增加，其中改進(jìn)GSC 算法增加的最快，當(dāng)陣元數(shù)量為100 時(shí)，改進(jìn)GSC 算法約比文獻(xiàn)[7]算法耗時(shí)多2.4 倍。

表1 不同陣元數(shù)量耗時(shí)Table 1 Time consumed versus different elements

4 結(jié) 論

1）本文針對(duì)平面陣列天線波束形成過(guò)程中的DOA 估計(jì)失配問(wèn)題，以俯仰角存在誤差為例，采用在參考方向附近生成“字典”，增加線性約束的算法，起到增強(qiáng)波束形成穩(wěn)健性的作用。

2）針對(duì)增加線性約束會(huì)導(dǎo)致算法自由度降低的問(wèn)題，采用增加阻塞矩陣預(yù)選環(huán)節(jié)改進(jìn)了GSC算法，通過(guò) l1范數(shù)平均值變化趨勢(shì)、波束形成增益和算法運(yùn)行時(shí)間三方面的對(duì)比，驗(yàn)證了改進(jìn)GSC 算法雖然會(huì)增加運(yùn)行時(shí)間，但可以在干擾方向產(chǎn)生更深的零陷，并可使算法保持原有自由度；

下一步將研究平面陣俯仰、方位角雙失配時(shí)的線性約束添加算法和將改進(jìn)GSC 算法應(yīng)用于平面陣。