朱燏，肖世宏，陳志同

(1.中國(guó)航空制造技術(shù)研究院，北京 100024；2.復(fù)雜構(gòu)件數(shù)控加工工藝及裝備北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100024；3.數(shù)字化制造技術(shù)航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100024；4.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191)

飛機(jī)的襟翼滑軌是一類重要零件，其加工工序繁雜、具有較大的尺寸與質(zhì)量，其導(dǎo)軌面與基準(zhǔn)之間必須保持相應(yīng)的位置關(guān)系。精加工前零件的基準(zhǔn)面已加工到位、導(dǎo)軌面已完成粗加工，因此，該零件在數(shù)控精加工前必須經(jīng)過反復(fù)地找正，并根據(jù)零件的狀態(tài)進(jìn)行加工坐標(biāo)系的調(diào)整[1]。

通過配準(zhǔn)的方式來(lái)提高零件的找正效率、分配合適的加工余量是幾何自適應(yīng)加工技術(shù)的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容。在配準(zhǔn)算法方面，主要算法有迭代最近點(diǎn)(iterative closest point, ICP)算法、魯棒點(diǎn)匹配(robust point matching, RPM)算法、核相關(guān)(kernel correlation, KC)算法、混合高斯模型(Gaussian mixture models, GMM)算法等[2]，用于解決點(diǎn)集之間的配準(zhǔn)問題。其中ICP 算法是一種較為有效且快速的算法，在ICP 算法的基礎(chǔ)上，Zhu 等[3]、Béarée 等[4]、Shi等[5]、Bergstr?m 等[6]分別提出不同的方法對(duì)ICP 算法的計(jì)算效率進(jìn)行提升，Zhou 等[7]、Du 等[8]針對(duì)ICP 算法進(jìn)行了改善，可解決帶有噪聲的數(shù)據(jù)點(diǎn)的匹配問題。傳統(tǒng)的ICP 算法是一類在全局坐標(biāo)系下計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣與平移矢量的配準(zhǔn)算法。

在應(yīng)用相關(guān)配準(zhǔn)算法時(shí)，需要根據(jù)工程背景增加相應(yīng)的約束[9-10]。為了將配準(zhǔn)算法與數(shù)控加工的應(yīng)用相結(jié)合，馮亞洲等[11]提出基于公差約束的配準(zhǔn)優(yōu)化算法，Chen 等[12]提出測(cè)量點(diǎn)向偏置面的配準(zhǔn)算法。此外，相關(guān)的配準(zhǔn)算法還可以用于機(jī)器人加工[13]、航空零部件的檢測(cè)[14]、零件修復(fù)[15]、整體葉盤的自適應(yīng)銑削[16]、整體葉盤的自適應(yīng)磨削[17]等多個(gè)與數(shù)字化制造相關(guān)的方向。

配準(zhǔn)技術(shù)通常用在零件的精加工工序中。在絕大多數(shù)的航空零部件的實(shí)際加工過程中，精加工前的零件并不是毛坯狀態(tài)。在絕大多數(shù)情況下，零件待加工面的配準(zhǔn)結(jié)果必須保證待加工面與基準(zhǔn)面或基準(zhǔn)孔的相對(duì)位置關(guān)系，從而確保某些關(guān)鍵的形位尺寸。這種情況下的配準(zhǔn)就需要保證幾何體的變換方式是沿某個(gè)特定方向的平移或繞某個(gè)特定軸的旋轉(zhuǎn)，并且配準(zhǔn)后的結(jié)果需要保證待加工面余量的波動(dòng)較小。這就需要根據(jù)特定的矢量或平面建立局部坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移變換，并將結(jié)果反算至全局坐標(biāo)系中。本文即針對(duì)復(fù)雜零件的數(shù)控精加工過程，提出面向基準(zhǔn)約束與余量約束的配準(zhǔn)算法，開發(fā)相應(yīng)的軟件模塊，用于實(shí)現(xiàn)零件精加工中的自適應(yīng)調(diào)整。

1 余量約束配準(zhǔn)與運(yùn)動(dòng)變換關(guān)系

1.1 面向余量約束的配準(zhǔn)算法

為了建立數(shù)學(xué)模型描述帶余量約束的配準(zhǔn)問題，首先定義2 種距離，絕對(duì)距離與有向距離。檢測(cè)點(diǎn)pi到理論點(diǎn)qi之間的絕對(duì)距離di如式(1)所示，該距離為絕對(duì)坐標(biāo)系下2 點(diǎn)之間的范數(shù)：

1.2 局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)、平移變換之間的數(shù)學(xué)關(guān)系

本文所提基于基準(zhǔn)約束的配準(zhǔn)算法最大的特點(diǎn)是不在全局坐標(biāo)系（OWCSxyz）內(nèi)進(jìn)行配準(zhǔn)，而是通過坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，將點(diǎn)轉(zhuǎn)換至局部坐標(biāo)系（Oe1e2e3）下，再進(jìn)行配準(zhǔn)，最后，根據(jù)局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系之間的關(guān)系計(jì)算出對(duì)應(yīng)的全局坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣R 與平移矢量T。因此，必須建立全局坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣 RWCS、平移矢量 TWCS與局部坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣 RLCS、平移矢量 TLCS之間的關(guān)系。

如圖1 所示，全局坐標(biāo)系下局部坐標(biāo)系的3 個(gè)方向矢量為e1、e2、e3，坐標(biāo)系原點(diǎn)為O，令矩陣M=[e1e2e3]，任意一點(diǎn)P 在局部坐標(biāo)系內(nèi)為 PLCS，在全局坐標(biāo)系內(nèi)為 PWCS。在局部坐標(biāo)系內(nèi)經(jīng)過運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)在全局坐標(biāo)系內(nèi)的位置如式(5)所示，而在全局坐標(biāo)系內(nèi)經(jīng)過運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的位置如式(6)所示。

若已知局部坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng) RLCS、TLCS，則全局坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng) RWCS、TWCS如式(7)所示，式(7)將用于算法中將局部坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)關(guān)系轉(zhuǎn)換至全局坐標(biāo)系。

2 面向基準(zhǔn)與余量約束的配準(zhǔn)算法

在實(shí)際加工過程中，精加工前的零件毛坯上通常已具有1 個(gè)或2 個(gè)基準(zhǔn)，在零件的自適應(yīng)加工中，必須保證待加工面與基準(zhǔn)面的相對(duì)位置關(guān)系，在此約束下的配準(zhǔn)稱為面向基準(zhǔn)約束的配準(zhǔn)。常用的基準(zhǔn)為平面基準(zhǔn)或圓柱面基準(zhǔn)，因此，本節(jié)將結(jié)合式（4）的余量約束條件，分別針對(duì)這2 種基準(zhǔn)約束建立相應(yīng)的配準(zhǔn)模型。

2.1 面向基準(zhǔn)平面約束的配準(zhǔn)算法

平面基準(zhǔn)是最常見的一類基準(zhǔn)，在滑軌精加工之前，其導(dǎo)軌面的下側(cè)面即為基準(zhǔn)平面。該基準(zhǔn)面在粗加工階段已完成加工，且與零件內(nèi)型面的位置直接相關(guān)。所提算法的基本思路是：首先，配準(zhǔn)基準(zhǔn)平面；其次，將所有點(diǎn)按平面配準(zhǔn)后得到的旋轉(zhuǎn)矩陣與平移矢量進(jìn)行變換；然后，在基準(zhǔn)平面上建立局部坐標(biāo)系（局部坐標(biāo)系的x 軸與y 軸平行于基準(zhǔn)平面）；再次，將待加工面上的檢測(cè)點(diǎn)在局部坐標(biāo)系下進(jìn)行配準(zhǔn)，配準(zhǔn)過程中檢測(cè)點(diǎn)僅能夠沿局部坐標(biāo)系的x 軸與y 軸平移與繞局部坐標(biāo)系的z 軸旋轉(zhuǎn)；最后，將局部坐標(biāo)系下的配準(zhǔn)結(jié)果轉(zhuǎn)換至全局坐標(biāo)系中。

式(8)為任意平面的數(shù)學(xué)表達(dá)，參數(shù)A、B、C 構(gòu)成垂直于該平面的單位法矢：

對(duì)于式(8)所示的平面，若基準(zhǔn)平面的檢測(cè)點(diǎn)為pDi(pDi1, pDi2, pDi3)，待加工面的檢測(cè)點(diǎn)為pi(pi1, pi2,pi3)?？臻g上的點(diǎn)pDi可向空間內(nèi)的任意平面求絕對(duì)距離如式(9)所示。通過式(10)求解點(diǎn)pDi到平面的最近距離的最小二乘解，可解得檢測(cè)點(diǎn)pDi對(duì)應(yīng)的平面為ΠDP: A1x+B1y+C1z+D1=0，相應(yīng)的理論基準(zhǔn)平面為Π: A0x+B0y+C0z+D0=0。

平面基準(zhǔn)約束下的帶余量的配準(zhǔn)優(yōu)化模型如式(18)所示，式(18)表示在平面基準(zhǔn)的約束下，經(jīng)過第一次變換測(cè)量點(diǎn)的平移方向需平行于基準(zhǔn)平面，測(cè)量點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軸平行于平面基準(zhǔn)的法矢。

式(18)計(jì)算完成后，通過式(7)求解全局坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣與平移矢量。

2.2 面向基準(zhǔn)圓柱面約束的配準(zhǔn)算法

基準(zhǔn)圓柱面是指在實(shí)際零件的加工中存在著一個(gè)基準(zhǔn)孔或基準(zhǔn)軸的情況。為了保證加工后的曲面相對(duì)于基準(zhǔn)孔或基準(zhǔn)軸的位置，需要在檢測(cè)基準(zhǔn)圓柱面的基礎(chǔ)上保證已加工的基準(zhǔn)圓柱面與理論基準(zhǔn)圓柱面同軸，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行待加工區(qū)域的配準(zhǔn)?？臻g內(nèi)任意圓柱面為

同樣利用式(15)將待加工面的檢測(cè)點(diǎn)pi進(jìn)行變換，并得到點(diǎn)，該變換在全局坐標(biāo)系下進(jìn)行。隨后，以圓柱基準(zhǔn)中心軸矢量e0與pCOL點(diǎn)為基礎(chǔ)建立局部坐標(biāo)系LCS，使用式(16)將全部第1 次變換后的檢測(cè)點(diǎn) p1i及對(duì)應(yīng)的理論點(diǎn) qi變換至局部坐標(biāo)系下。

式(18)可用于表示基準(zhǔn)圓柱面約束下帶余量的配準(zhǔn)優(yōu)化模型。此時(shí)，式(18)中矩陣 RLCS對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)同樣僅具有一個(gè)自由度，通常情況下為繞局部坐標(biāo)系的e3軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（此時(shí)e3與圓柱基準(zhǔn)中心軸矢量e0相同），矢量 TLCS對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)則改變?yōu)檠豦3軸的平移運(yùn)動(dòng)。式(18)變換模型說明，在圓柱面基準(zhǔn)的約束下，經(jīng)過變換的測(cè)量點(diǎn) pLiCS的平移方向與圓柱面中心軸平行，測(cè)量點(diǎn)可繞圓柱面中心軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，配準(zhǔn)后的毛坯姿態(tài)需滿足各測(cè)量點(diǎn)對(duì)應(yīng)的加工余量大于限定值。求解式(18)后，通過式(7)求解對(duì)應(yīng)的全局坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣與平移矢量。

2.3 面向基準(zhǔn)平面約束與基準(zhǔn)圓柱面約束的配準(zhǔn)算法

在某些零件的配準(zhǔn)過程中存在著同時(shí)使用基準(zhǔn)面與基準(zhǔn)孔進(jìn)行定位的情況，這種情況必須保證基準(zhǔn)平面與基準(zhǔn)孔互相垂直?；诨鶞?zhǔn)平面約束與基準(zhǔn)圓柱面約束的旋轉(zhuǎn)矩陣RG與平移矢量TG的求解流程如圖2 所示。

圖2 基于基準(zhǔn)約束下的變換矩陣與平移矢量求解流程Fig.2 Process of solving transformation matrix and translation vector based on datum constraints

首先，輸入基準(zhǔn)平面與基準(zhǔn)圓柱面的測(cè)量點(diǎn)與理論曲面；隨后，根據(jù)基準(zhǔn)平面的測(cè)量點(diǎn)擬合基準(zhǔn)平面，并根據(jù)式(13)與式(14)求解將擬合基準(zhǔn)平面變換至理論基準(zhǔn)平面的旋轉(zhuǎn)矩陣RG1與平移矢量TG1；根據(jù)式(15)將基準(zhǔn)圓柱面的測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行變換，并擬合基準(zhǔn)圓柱面；根據(jù)擬合基準(zhǔn)圓柱面的中心軸方向與擬合基準(zhǔn)平面的法矢方向，判斷基準(zhǔn)平面與基準(zhǔn)圓柱面是否滿足垂直度要求，若不滿足則判斷此基準(zhǔn)圓柱面需要在加工后進(jìn)行修整，若垂直度滿足要求則根據(jù)基準(zhǔn)圓柱面的底面圓心的理論值與實(shí)測(cè)值求解平移矢量TG2及其投影矢量TG3；隨后輸出旋轉(zhuǎn)矩陣RG與平移矢量TG用于變換待加工面上的檢測(cè)點(diǎn)pi。本過程始終在全局坐標(biāo)系下進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，處理過程中可對(duì)零件的狀態(tài)進(jìn)行過程檢測(cè)，避免關(guān)鍵尺寸在終檢中出現(xiàn)不合格再返修的情況。

同樣利用式(15)將待加工面的檢測(cè)點(diǎn)pi進(jìn)行變換，得到點(diǎn) p1i。以理論圓柱基準(zhǔn)中心軸與理論平面基準(zhǔn)Π 建立局部坐標(biāo)系LCS，使用式(16)將全部的檢測(cè)點(diǎn) p1i及對(duì)應(yīng)的理論點(diǎn) qi變換至局部坐標(biāo)系下。

在平面基準(zhǔn)與圓柱面基準(zhǔn)的雙重約束下帶余量的配準(zhǔn)模型如式(22)所示，矩陣 RLCS對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)僅具有一個(gè)自由度，通常情況下為繞局部坐標(biāo)系e3軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，無(wú)平移運(yùn)動(dòng)。

式(22)計(jì)算完成后，通過式(7)求解全局坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣與平移矢量。

2.4 面向基準(zhǔn)約束的配準(zhǔn)模型求解算法

通過在機(jī)測(cè)量技術(shù)得到基準(zhǔn)面上的檢測(cè)點(diǎn)與待加工面上的檢測(cè)點(diǎn)后，進(jìn)行面向基準(zhǔn)約束配準(zhǔn)模型的求解流程如圖3 所示。首先，將基準(zhǔn)面上的檢測(cè)點(diǎn)向基準(zhǔn)面進(jìn)行配準(zhǔn)，得到矩陣RG與矢量TG，并建立相應(yīng)的局部坐標(biāo)系；然后，對(duì)待加工面上的點(diǎn)進(jìn)行處理，將實(shí)測(cè)點(diǎn)與理論點(diǎn)變換至局部坐標(biāo)系下；根據(jù)零件的余量情況進(jìn)行帶余量、少自由度的配準(zhǔn)；最后，將局部坐標(biāo)系下計(jì)算得到的旋轉(zhuǎn)矩陣與平移矢量進(jìn)行處理，得到全局坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣R2與平移矢量T2，輸出使用的旋轉(zhuǎn)矩陣（R2R1）與平移矢量（R2T1+T2）。通過基準(zhǔn)約束降低了求解配準(zhǔn)模型過程中變量的數(shù)量，可以保證配準(zhǔn)后的零件基準(zhǔn)面滿足工藝需求。

圖3 面向基準(zhǔn)約束的配準(zhǔn)模型求解流程Fig.3 Process of solving registration model based on datum constraints

3 算例分析

通過vs2010 對(duì)本文所提算法進(jìn)行開發(fā)，并在此基礎(chǔ)上針對(duì)某典型零件“襟翼滑軌”的簡(jiǎn)化模型進(jìn)行計(jì)算仿真，該簡(jiǎn)化模型如圖4 所示。

圖4 具有典型特征的零件模型Fig.4 Design model with typical features

該零件在精加工階段最重要的加工工序是加工襟翼滑軌的導(dǎo)軌面，即圖4 中標(biāo)識(shí)的待加工面。待加工面在精加工前具有一定的加工余量，在完成加工后必須與圖4 中的基準(zhǔn)平面、基準(zhǔn)孔（即基準(zhǔn)圓柱面）之間保持較高的位置精度，且精加工前基準(zhǔn)平面已完成加工。

為了測(cè)試本文所提算法，可如圖5 所示規(guī)劃測(cè)量點(diǎn)，測(cè)量點(diǎn)分布在基準(zhǔn)平面、基準(zhǔn)圓柱面與待加工面上。使用基準(zhǔn)平面作為約束，進(jìn)行基于平面基準(zhǔn)約束與余量約束的配準(zhǔn)，解得旋轉(zhuǎn)矩陣與平移矢量后將實(shí)測(cè)點(diǎn)向理論點(diǎn)進(jìn)行變換，得到變換后的結(jié)果如圖6 所示。對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的誤差如圖7 所示，由圖7 可知，在平面基準(zhǔn)的約束下，可保證平面基準(zhǔn)上測(cè)量點(diǎn)誤差較小且平均，并保持待加工面具有較為平均的余量，但基準(zhǔn)孔存在較大的偏差，具體數(shù)據(jù)如表1 所示。其中，方法1 為基準(zhǔn)平面約束與余量約束下的配準(zhǔn)結(jié)果，方法2 為基準(zhǔn)平面、基準(zhǔn)孔與余量約束下的配準(zhǔn)結(jié)果，方法3 為僅余量約束下的配準(zhǔn)結(jié)果。所提算法適用于基準(zhǔn)面加工合格、基準(zhǔn)孔留有足夠余量的毛坯精加工，可在加工完待加工面后重制基準(zhǔn)孔，從而保證曲面相對(duì)于基準(zhǔn)的位置度。

圖5 零件表面檢測(cè)點(diǎn)分布Fig.5 Measuring points on surfaces of part

圖7 在基準(zhǔn)平面約束下配準(zhǔn)后偏差曲線Fig.7 Deviations of different points after applying registration method based on constraint of a plane

使用基準(zhǔn)平面與基準(zhǔn)圓柱面作為約束，并在余量約束下進(jìn)行加工面的配準(zhǔn)，得到變換后的結(jié)果如圖8 所示，相關(guān)點(diǎn)之間的誤差如圖9 所示。由圖9可知，在基準(zhǔn)平面與基準(zhǔn)孔的雙重約束下，可保證基準(zhǔn)平面與基準(zhǔn)孔上的測(cè)量點(diǎn)誤差較小且平均，并保持待加工面具有較為平均的余量，待加工面上余量的波動(dòng)小于0.03 mm，具體數(shù)據(jù)如表1 所示。所提算法適用于基準(zhǔn)面與基準(zhǔn)孔加工精度都合格的毛坯精加工，保證了滑軌面加工后相對(duì)于2 個(gè)基準(zhǔn)的位置度。

圖8 在基準(zhǔn)平面與基準(zhǔn)圓柱面約束下的配準(zhǔn)結(jié)果Fig.8 Registration result of method based on constraint of a plane and a cylinder

圖9 在基準(zhǔn)平面約束與基準(zhǔn)孔約束配準(zhǔn)后偏差曲線Fig.9 Deviations of different points after applying registration method based on constraint of a plane and a cylinder

表1 不同方法配準(zhǔn)結(jié)果比較Table 1 Comparison of different registration method

在無(wú)基準(zhǔn)約束的情況下，僅通過余量約束進(jìn)行加工面的配準(zhǔn)，得到變換后的結(jié)果如圖10 所示，相關(guān)點(diǎn)之間的誤差如圖11 所示。由圖10 可知，在無(wú)基準(zhǔn)約束的情況下，待加工面雖可以保持較為平均的余量分布，但基準(zhǔn)位置已出現(xiàn)偏差較大或偏差波動(dòng)較大的情況，具體數(shù)據(jù)如表1 所示。無(wú)基準(zhǔn)約束的情況下，為了保證滑軌面加工后相對(duì)于基準(zhǔn)的位置度，需在待加工面加工完成后重制基準(zhǔn)面與基準(zhǔn)孔。

圖10 余量約束下配準(zhǔn)結(jié)果Fig.10 Registration result of method based on allowance constraints

圖11 僅余量約束下配準(zhǔn)后偏差曲線Fig.11 Deviations of different points after applying registration method based on allowance constraints

由表1可知本文所提算法對(duì)保證零件待加工面的余量分布及加工后待加工面的位置精度有重要的意義。3 種方法的計(jì)算時(shí)間說明選用帶基準(zhǔn)約束的配準(zhǔn)算法計(jì)算時(shí)間要短于無(wú)基準(zhǔn)約束條件下的計(jì)算時(shí)間，方法1 的計(jì)算時(shí)間是方法3 計(jì)算時(shí)間的33.6%，偏差值波動(dòng)量也更小。

4 結(jié) 論

1) 本文提出一種基于基準(zhǔn)約束與余量約束的幾何自適應(yīng)配準(zhǔn)算法，進(jìn)行了相應(yīng)的軟件開發(fā)，并通過某滑軌零件的簡(jiǎn)化模型進(jìn)行驗(yàn)證。

2) 本文所提算法分別在全局坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系內(nèi)配準(zhǔn)基準(zhǔn)面和待加工面，可有效地保證待加工面相對(duì)于已加工基準(zhǔn)的位置精度，提高產(chǎn)品加工的合格率。

3) 對(duì)于該襟翼滑軌零件來(lái)說，當(dāng)同時(shí)使用基準(zhǔn)平面約束與余量約束的配準(zhǔn)方法時(shí)，得到的待加工面的余量最大、余量波動(dòng)最小。因此，對(duì)于襟翼滑軌零件來(lái)說，基準(zhǔn)平面加工完成、基準(zhǔn)孔留有余量的毛坯最適合用于精加工。

4) 使用基準(zhǔn)平面約束與余量約束的配準(zhǔn)方法時(shí)，程序的計(jì)算時(shí)間最短，其計(jì)算時(shí)間是僅基于余量約束配準(zhǔn)方法計(jì)算時(shí)間的33.6%。