劉蓉暉 劉錦坤 章君達(dá) 孫改平

基于雙曲余切變換的Halbach陣列表貼式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場解析模型

劉蓉暉1劉錦坤1章君達(dá)2孫改平1

（1. 上海電力大學(xué)電氣工程學(xué)院 上海 200090 2. 上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院 上海 200072）

精確計(jì)算氣隙磁場是設(shè)計(jì)和分析永磁電機(jī)的關(guān)鍵。Halbach陣列永磁電機(jī)具有良好的轉(zhuǎn)矩輸出特性。轉(zhuǎn)子偏心會(huì)對(duì)永磁電機(jī)產(chǎn)生不良影響，準(zhǔn)確獲得其偏心氣隙磁場分布具有重要意義。采用雙曲余切變換解析計(jì)算Halbach陣列表貼式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場。該文建立了Halbach陣列定子開槽、轉(zhuǎn)子偏心永磁電機(jī)二維模型。將同心解析模型分為三類子區(qū)域，利用各區(qū)域邊界條件求解拉普拉斯方程和泊松方程，通過矢量磁位求得同心氣隙磁場，利用相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)對(duì)其進(jìn)行修正，從而獲得偏心空載氣隙磁場，對(duì)其進(jìn)行研究，并利用回歸評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估。不同偏心率下氣隙磁通密度、不平衡磁拉力、齒槽轉(zhuǎn)矩的解析結(jié)果同有限元結(jié)果吻合，驗(yàn)證了該文解析模型的有效性和正確性。

Halbach陣列永磁電機(jī) 雙曲余切變換 轉(zhuǎn)子偏心 矢量磁位 空載氣隙磁場

0 引言

永磁電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、平均效率高、體積小、質(zhì)量輕等優(yōu)勢，在風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)、電動(dòng)汽車、航空航天等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-5]。傳統(tǒng)永磁電機(jī)磁極多為平行或徑向充磁，該充磁方式簡單但氣隙磁場正弦度差，含有大量高次諧波，造成電機(jī)損耗增大。在20世紀(jì)80年代，美國學(xué)者K. Halbach提出了Halbach永磁體陣列[6]，此陣列在永磁體一側(cè)有著良好的聚磁效果，另一側(cè)磁通較小，產(chǎn)生的氣隙磁場有較好的正弦度。因此，Halbach陣列永磁電機(jī)具有輸出轉(zhuǎn)矩平穩(wěn)、電機(jī)效率高等優(yōu)點(diǎn)。在制造、裝配及運(yùn)行過程中永磁電機(jī)會(huì)出現(xiàn)軸承公差及氣隙不均勻等故障，這通常是由轉(zhuǎn)子偏心造成的[7]。這種故障會(huì)引起噪聲、轉(zhuǎn)子損耗和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)[8]，對(duì)電動(dòng)機(jī)性能產(chǎn)生影響，因此對(duì)Halbach陣列偏心永磁電機(jī)進(jìn)行氣隙磁場求解和分析具有重要意義。

對(duì)電機(jī)的二維模型進(jìn)行氣隙磁場分析時(shí)，主要采用有限元法和解析法。有限元法有較強(qiáng)的適應(yīng)性、精度高，但建模較復(fù)雜、仿真速度緩慢、時(shí)間成本較高[9-10]，在計(jì)算電磁轉(zhuǎn)矩時(shí)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)需重新將網(wǎng)格剖分，不適用于電機(jī)設(shè)計(jì)初期的大量方案優(yōu)化篩選。解析法模型簡單、仿真速度快、計(jì)算量小、參數(shù)更改方便[11-14]，且轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)無需網(wǎng)格剖分。因此，解析法更適合電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

永磁電機(jī)定轉(zhuǎn)子同心氣隙磁場研究中，對(duì)于永磁體徑向充磁模型，直接解析法[15]、卡特因子[16]、劃分精確子域[17]等方法對(duì)永磁電機(jī)氣隙磁場進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[18-19]采用全局解析法將模型劃分3個(gè)解析區(qū)域，采用矢量磁位計(jì)算同心式磁力齒輪氣隙磁場。對(duì)于Halbach陣列充磁模型，文獻(xiàn)[20]采用矢量磁位計(jì)算Halbach磁力變速永磁無刷電機(jī)，將電機(jī)分部件構(gòu)建了解析模型。文獻(xiàn)[21]提出兩種用于永磁無刷電機(jī)的雙層分段Halbach陣列，分別求得內(nèi)外層Halbach永磁體在氣隙中的磁場，并進(jìn)行疊加。文獻(xiàn)[22]通過二維全局解析法，采用矢量磁位獲取了Halbach陣列半閉口槽外轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)氣隙磁場。文獻(xiàn)[23]采用標(biāo)量磁位推導(dǎo)出帶有調(diào)磁環(huán)時(shí)的復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)，對(duì)一種內(nèi)轉(zhuǎn)子不均勻的Halbach陣列磁性齒輪氣隙磁場進(jìn)行解析計(jì)算。

永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場的研究中，對(duì)于永磁體徑向充磁，文獻(xiàn)[24-25]利用邊界攝動(dòng)理論來計(jì)算永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心對(duì)氣隙磁場帶來的影響，然而該方法在建立數(shù)學(xué)模型及推導(dǎo)計(jì)算氣隙磁通密度表達(dá)式的過程中忽略高階無窮小量，若偏心率大則有明顯的截?cái)嗾`差。文獻(xiàn)[26]通過引入氣隙磁導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)用矢量磁位解析計(jì)算電機(jī)偏心狀態(tài)下開槽的氣隙磁場。文獻(xiàn)[27]利用改進(jìn)的保角變換法，采用標(biāo)量磁位，利用復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)對(duì)有槽物理域氣隙磁場進(jìn)行調(diào)制，但非線性復(fù)磁導(dǎo)率推導(dǎo)求解計(jì)算較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[28]采用改進(jìn)的等效面電流法對(duì)永磁體進(jìn)行等效處理，結(jié)合子域模型以及矢量磁位疊加的方法對(duì)永磁電機(jī)氣隙磁場進(jìn)行解析計(jì)算，但其研究模型為磁極偏心。對(duì)于Halbach陣列充磁模型，文獻(xiàn)[29]提出了一種線性分析模型，求解和優(yōu)化Halbach表貼式偏心永磁電機(jī)氣隙磁場，將偏心磁極進(jìn)行上下分段處理，最后進(jìn)行疊加計(jì)算，但其偏心模型為磁極偏心。目前，基于雙曲余切變換求解Halbach陣列永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場的研究較少。

本文基于雙曲余切變換，構(gòu)建了Halbach陣列定子開槽、轉(zhuǎn)子偏心表貼式永磁電機(jī)二維模型。首先，應(yīng)用雙曲余切變換，將平面轉(zhuǎn)子偏心區(qū)域變換到平面，得到代表等位線和磁力線的兩組正交偏心圓簇，推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子偏心氣隙相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)。然后，將同心解析模型分為Halbach永磁體、氣隙和槽三類子區(qū)域，利用各區(qū)域邊界條件，求解拉普拉斯方程和泊松方程，通過矢量磁位求得定轉(zhuǎn)子同心時(shí)的氣隙磁場。最后，利用相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)修正同心氣隙磁場，從而獲得偏心空載氣隙磁場。對(duì)偏心空載氣隙磁場進(jìn)行研究，利用回歸評(píng)估指標(biāo)對(duì)氣隙磁場進(jìn)行評(píng)估。應(yīng)用麥克斯韋張量法計(jì)算不平衡磁拉力及齒槽轉(zhuǎn)矩。將氣隙磁通密度、不平衡磁拉力、齒槽轉(zhuǎn)矩解析結(jié)果與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文解析模型的準(zhǔn)確性與有效性。

1 解析模型

1.1 Halbach陣列永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心結(jié)構(gòu)

Halbach陣列表貼式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心二維模型如圖1所示。它由開槽定子、偏心轉(zhuǎn)子及Halbach陣列永磁體組成。

圖1中，s、r分別為定子圓心與轉(zhuǎn)子圓心，為偏心距離，r1、r2分別為轉(zhuǎn)子鐵心內(nèi)徑和外徑，m為永磁體外徑，sy為槽底面半徑，s1、s2分別為定子鐵心內(nèi)徑和外徑。永磁體上箭頭方向表示每塊永磁體的充磁方向。

圖1 轉(zhuǎn)子偏心二維模型

1.2 Halbach陣列永磁體數(shù)學(xué)模型

Halbach永磁體由一組大小相同、磁化方向按一定順序排列的永磁體組成。以8模塊結(jié)構(gòu)為例，其等效二維模型如圖2所示。永磁體高度為，寬度為d。

圖2 8模塊Halbach永磁體陣列

Halbach陣列每極由塊永磁體構(gòu)成，假設(shè)極對(duì)數(shù)為，則每塊所占的角度為

若起始?jí)K中心線位于軸并且極化方向?yàn)樗椒较?，則永磁體磁化方向表達(dá)式為

式中，為塊中的第塊。

平面坐標(biāo)系下，永磁體磁化強(qiáng)度為

其中

式中，為氣隙磁場與永磁體磁場的計(jì)算諧波次數(shù)；0為磁鋼與最初設(shè)定角度間的偏移度數(shù)。

Halbach永磁體磁化強(qiáng)度傅里葉展開式為

式中，r為相對(duì)磁導(dǎo)率；0為真空磁導(dǎo)率。

2 雙曲余切變換

2.1 坐標(biāo)變換

在坐標(biāo)系下的平面和在坐標(biāo)系下的平面進(jìn)行的變換，有

式（8）可變換為

式中，為與電機(jī)轉(zhuǎn)子、定子半徑和定轉(zhuǎn)子中心相對(duì)偏移距離有關(guān)的一個(gè)大于零的常數(shù)。這種變換被稱為雙曲余切變換。

將式（8）代入式（9）中整理得出另一種表達(dá)形式，并寫成實(shí)部、虛部分別為

將式（10）和式（11）聯(lián)立，并對(duì)進(jìn)行消元可得

平面中曲線坐標(biāo)和如圖3所示，兩簇相互正交的圓可分別代表電磁場中無旋場等位線和磁力線。通過合適的值，找到兩個(gè)半徑為s與r的圓，分別對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子外徑r2和定子內(nèi)徑s1，其圓心分別為（s, 0）、（r, 0）。因此，可以得出

圖3 z平面中曲線坐標(biāo)u和v

轉(zhuǎn)子圓心與定子圓心間的距離為

聯(lián)立式（13）～式（15）得

2.2 相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)

在2.1節(jié)建立的新坐標(biāo)系下，定義氣隙磁位ecc(,)，設(shè)轉(zhuǎn)子邊界磁位為1，定子邊界磁位為0，則ecc(,)可由定轉(zhuǎn)子邊界條件求得。因此，ecc(,)可以表示為

氣隙區(qū)域中點(diǎn)的極坐標(biāo)如圖4所示，極坐標(biāo)下平面中的氣隙區(qū)域任一點(diǎn)可表示為

式中，為轉(zhuǎn)子圓心（s, 0）到點(diǎn)的距離。

圖4 氣隙區(qū)域中點(diǎn)的極坐標(biāo)

將式（8）、式（17）和式（18）聯(lián)立得到極坐標(biāo)下的磁位表達(dá)式為

徑向磁通密度為

在轉(zhuǎn)子不偏心時(shí)，根據(jù)氣隙區(qū)域內(nèi)拉普拉斯方程及邊界條件，可得氣隙磁位表達(dá)式[30]為

其徑向磁通密度表達(dá)式為

由式（20）和式（22）可求得徑向相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)r為

3 偏心空載氣隙磁場計(jì)算

3.1 定轉(zhuǎn)子同心解析區(qū)域劃分

Halbach陣列同心永磁電機(jī)解析區(qū)域劃分如圖5所示。圖中，以圓心為原點(diǎn)建立二維極坐標(biāo)系，為第個(gè)槽，為槽口角度，為第個(gè)槽的初始角度。求解區(qū)域劃分為Halbach永磁體區(qū)域Ⅰ、氣隙區(qū)域Ⅱ以及槽區(qū)域S，設(shè)模型開槽總數(shù)為。

圖5 Halbach陣列同心永磁電機(jī)解析區(qū)域分布

為了便于分析作如下假設(shè)：①計(jì)算區(qū)域?yàn)槎S極坐標(biāo)系區(qū)域，忽略端部效應(yīng)；②定、轉(zhuǎn)子鐵心磁導(dǎo)率無窮大；③永磁體Halbach充磁且相對(duì)磁導(dǎo)率r=1；④定子槽為扇形直口槽，槽中無電流。

3.2 同心氣隙及永磁體區(qū)域矢量磁位表達(dá)式

二維極坐標(biāo)下，定子開槽情況下Halbach永磁體區(qū)域Ⅰ及氣隙區(qū)域Ⅱ所滿足的矢量磁位方程為

根據(jù)分離變量法可得到式（25）通解為

式（25）為泊松方程，其解需要在通解的基礎(chǔ)上加上一個(gè)由形式一致原則得到的特解，因此永磁體區(qū)域Ⅰ矢量表達(dá)式為

根據(jù)電磁場理論，有

因此，根據(jù)式（26）～式（28）可解得電機(jī)定轉(zhuǎn)子同心時(shí)Halbach永磁體區(qū)域及氣隙區(qū)域的磁通密度表達(dá)式為

3.3 槽區(qū)域矢量磁位表達(dá)式

第個(gè)槽區(qū)域矢量磁位si在空載下的拉普拉斯方程為

由分離變量法解得

在式（34）中有

因此，根據(jù)式（33）得同心時(shí)槽區(qū)域切向磁通密度分量為

其中

3.4 各區(qū)域邊界條件及系數(shù)求解

Halbach永磁體區(qū)域Ⅰ及氣隙區(qū)域Ⅱ交界面邊界條件為

氣隙區(qū)域Ⅱ與槽區(qū)域S交界面邊界條件為

3.5 偏心氣隙磁場

利用相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)r，修正Halbach陣列永磁電機(jī)同心氣隙磁場，得到偏心氣隙磁場為

轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場關(guān)系如圖6所示。根據(jù)圖6中的幾何關(guān)系及式（31）和式（32），Halbach表貼式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心時(shí)，其氣隙磁場徑向磁通密度r和切向磁通密度q可分別表示為

圖6 轉(zhuǎn)子偏心氣隙磁場關(guān)系

4 不平衡磁拉力、齒槽轉(zhuǎn)矩及評(píng)估指標(biāo)

4.1 不平衡磁拉力

應(yīng)用麥克斯韋張量法，經(jīng)過坐標(biāo)變換，氣隙內(nèi)徑向和切向電磁力表達(dá)式分別為

式中，ef為電機(jī)的軸向長度；g為積分半徑。

由此可得到和方向上轉(zhuǎn)子所受到的不平衡磁拉力為

4.2 齒槽轉(zhuǎn)矩

由麥克斯韋應(yīng)力張量法，電磁轉(zhuǎn)矩在氣隙內(nèi)沿圓周積分即可，所得結(jié)果與積分路徑無關(guān)。在空載狀態(tài)下，所計(jì)算的電磁轉(zhuǎn)矩便為電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩，其計(jì)算式為

4.3 評(píng)估指標(biāo)

為了評(píng)估雙曲余切法計(jì)算求得磁場的精度，本文采用回歸評(píng)估指標(biāo)，選取3個(gè)指標(biāo)來評(píng)判[31]，分別是方均根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）、平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error, MAE）和決定系數(shù)2。RMSE和MAE用于計(jì)算解析解與有限元解的整體偏差程度，當(dāng)被評(píng)估值在0附近時(shí)對(duì)評(píng)估指標(biāo)影響較小，而2受0附近被評(píng)估值影響大，因此應(yīng)用2作為輔助評(píng)估指標(biāo)，三種指標(biāo)公式分別為

5 計(jì)算模型與驗(yàn)證比較

5.1 計(jì)算模型

為了驗(yàn)證解析方法的合理性，本文以一臺(tái)8極12槽的Halbach陣列轉(zhuǎn)子偏心永磁電機(jī)為模型，利用Ansoft有限元軟件搭建了仿真模型。將第3、4節(jié)中各場量的表達(dá)式用Matlab語言編程，得到其解析解，并與有限元解進(jìn)行比較，分別對(duì)比了氣隙磁通密度、不平衡磁拉力和齒槽轉(zhuǎn)矩。模型參數(shù)見表1。

表1 模型參數(shù)

Tab.1 Prototype parameters

5.2 偏心空載氣隙磁通密度波形

永磁電機(jī)的偏心率為0.8時(shí)，磁力線分布如圖7所示。圖8為偏心率為0.2時(shí)，空載氣隙磁通密度波形比較。以定子原點(diǎn)為圓心，選取氣隙內(nèi)計(jì)算半徑g=163.5 mm，磁鋼偏移角度0=0°，根據(jù)式（42）和式（43）求解出空載氣隙磁場解析解并與對(duì)應(yīng)的有限元解比較。有限元解和解析解吻合較好，證明本文所用方法的準(zhǔn)確性。

圖7 e=0.8，磁力線分布

圖8 e=0.2空載氣隙磁通密度波形比較

永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子不偏心的情況下，由式（31）和式（32）可知，氣隙磁場存在的空間諧波次數(shù)=，本模型中=4。當(dāng)轉(zhuǎn)子發(fā)生偏心時(shí)，氣隙中會(huì)產(chǎn)生±1次的諧波[32]，其中=1, 2, 3,…。

對(duì)圖8中空載氣隙磁場進(jìn)行傅里葉分析，得到結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯觯D(zhuǎn)子偏心時(shí)產(chǎn)生的空間諧波次數(shù)為=3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13,…。各階次空間諧波分量解析解與有限元解基本吻合，同樣驗(yàn)證了本文所用方法的準(zhǔn)確性。

以定子原點(diǎn)為圓心，氣隙內(nèi)計(jì)算半徑g= 163.5 mm，磁鋼偏移角度0=0°，將偏心率分別為0.2、0.4、0.6、0.8時(shí)的空載氣隙磁場解析解與對(duì)應(yīng)的有限元解比較，不同偏心率下空載氣隙磁場波形如圖10所示。可以看出，隨著偏心率的增加，空載氣隙磁場畸變率也越大。不同偏心率下，有限元解和解析解吻合較好。

圖9 e=0.2空載氣隙磁場傅里葉分析結(jié)果

表2為圖10中的空載氣隙磁場計(jì)算精度評(píng)估，可以看出，RMSE、MAE的值接近0，決定系數(shù)2接近1，由此評(píng)估了本文解析方法的準(zhǔn)確性。不同偏心率下評(píng)估值基本一致，本文解析模型適用于大偏心率下的偏心氣隙磁場。

表2 計(jì)算精度評(píng)估指標(biāo)

Tab.2 Computational accuracy evaluation metrics

圖11為在偏心率=0.9情況下，選取氣隙內(nèi)計(jì)算半徑g=163.5 mm處，邊界攝動(dòng)法與雙曲余切法計(jì)算出的氣隙徑向磁通密度同有限元法的比較。

表3為兩種方法評(píng)估指標(biāo)的比較?？梢钥闯?，雙曲余切法的MAE、RMSE的值更加接近0；決定系數(shù)2達(dá)到0.983 3相比于邊界攝動(dòng)法的0.971 1更加接近1，因此，在大偏心率情況下，雙曲余切法相比邊界攝動(dòng)法具有更高的精度。

5.3 不平衡磁拉力和齒槽轉(zhuǎn)矩波形

在一個(gè)機(jī)械周期內(nèi)，當(dāng)偏心率分別為0.2、0.4、0.6、0.8時(shí)，不平衡磁拉力在和方向上大小相等，相位相差90 °。在此只繪制方向上的不平衡磁拉力F，其解析解與有限元解對(duì)比如圖12所示?？梢钥闯?，隨著偏心率的增加即偏心距離的增大，不平衡磁拉力也隨之增大。因?yàn)槠穆试龃髸r(shí)氣隙中磁場的畸變程度增加，轉(zhuǎn)子所受到的磁拉力越不平衡。兩種計(jì)算值波形吻合較好。

圖11 徑向磁通密度比較

表3 評(píng)估指標(biāo)比較

Tab.3 Comparison of evaluation indicators

圖12 不平衡磁拉力比較

圖13為偏心率為0.2、0.4、0.6、0.8時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩解析解和有限元解的比較。齒槽轉(zhuǎn)矩呈周期性變換，取一個(gè)周期進(jìn)行分析?？梢钥闯觯蛰d時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩很小，隨著偏心率增加，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值不斷增大。

圖13 齒槽轉(zhuǎn)矩比較

6 結(jié)論

本文采用雙曲余切變換方法，利用相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)，通過矢量磁位解析計(jì)算Halbach陣列表貼式定子開槽、轉(zhuǎn)子偏心永磁電機(jī)的空載氣隙磁場。對(duì)偏心空載氣隙磁場進(jìn)行研究，利用回歸評(píng)估指標(biāo)對(duì)不同偏心率下的氣隙磁場進(jìn)行評(píng)估。將氣隙磁通密度、不平衡磁拉力、齒槽轉(zhuǎn)矩的解析解和有限元解比較，得到以下結(jié)論：

1）在不同偏心率下，空載氣隙磁通密度評(píng)估結(jié)果較好，驗(yàn)證了本文方法的正確性和有效性。解析模型適用于大偏心率下的偏心氣隙磁場。偏心時(shí)空載氣隙磁場存在次和±1次諧波。隨著偏心率的增加，氣隙磁場的畸變程度增大。

2）Halbach陣列永磁體采用分塊設(shè)計(jì)，分塊數(shù)可調(diào)整，便于快速建模分析，對(duì)于其他Halbach陣列永磁電機(jī)模型有一定的普適性。

3）采用矢量磁位計(jì)算氣隙磁場，為后續(xù)求解電樞電流、電樞反應(yīng)磁場等提供了基礎(chǔ)。不同偏心率下不平衡磁拉力和齒槽轉(zhuǎn)矩解析解近似有限元解，隨著偏心距離增加，不平衡磁拉力及齒槽轉(zhuǎn)矩也隨之增大。

附 錄

重要積分表達(dá)式如下。

為槽口磁通密度傅里葉分解周期，=2p。求解系數(shù)時(shí)需要分兩種情況討論。

求解系數(shù)矩陣

其中

其中

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Analytical Model for Air-Gap Magnetic Field in Halbach Arrays Surface-Mounted Permanent Magnet Motor with Rotor Eccentricity Based on Hyperbolic Cotangent Transformation

1121

（1. School of Electrical Engineering Shanghai University of Electric Power 200090 China 2. School of Mechatronic Engineering and Automation Shanghai University 200072 China）

Accurate calculation of air-gap magnetic field is the key to design and analyse the permanent magnet (PM) motors. The Halbach arrays PM motor has outstanding torque output performance. Rotor eccentricity will cause the noise, rotor loss and torque ripple, which will have adverse effects on the PM motors. Therefore, it is of great significance to solve and analyse the air-gap magnetic field of the Halbach arrays surface-mounted (HASM) PM motor with rotor eccentricity.

This paper combines the hyperbolic cotangent transformation and the relative permeance function, the air-gap magnetic field of the HASM PM motor with rotor eccentricity is analytically calculated.A two-dimensional model of the HASM PM motor with rotor eccentricity is established. As shown in Fig.A1, two groups of orthogonal circles representing the equipotential and magnetic force lines in theplane are obtained by using the above transformation for the rotor eccentricity region in theplane.

The hyperbolic cotangent transformation can be expressed as follows:

whereis a constant related to the rotor radius, the stator radius and the relative deviation distance between the stator and the rotor center.

The radial magnetic flux density of the eccentric magnetic field when the magnetic potential difference is 1 is calculated in theplane, and the radial air-gap relative permeance function can be obtained. The radial air-gap relative permeance functionrcan be expressed as

The concentric analytical model is divided into three sub-regions: Halbach PMs, air-gap and slots. The Laplace equations and the Poisson equations are solved by using the boundary conditions of each region, and the air-gap magnetic field when the stator and the rotor are concentric is obtained by the vector magnetic potential.

By modifying the concentric air-gap magnetic field with the relative permeance function, the eccentric no-load air-gap magnetic field of the HASM PM motor is obtained.

Fig.A1 Curves coordinatesandin theplane

When the ratio of the eccentricity is 0.2, the comparison between the analytical solutions and the finite element (FE) solutions of no-load air-gap magnetic field is shown in Fig.A2.randqrepresent the radial and the tangential components of air-gap magnetic flux densities, respectively.

Fig.A2 Comparison of no-load air-gap magnetic flux density waveforms,=0.2

It can be seen that the analytical solutions are consistent with the FE solutions, which proves the effectiveness and the correctness of the proposed analytical model.

In addition, the air-gap magnetic flux densities, unbalanced magnetic forces and cogging torque at different eccentricities are calculated and compared with the FE solutions, and the regression evaluation indicators are used for evaluation. The analytical method is compared with the boundary perturbation method, which is verified that the analytical model is suitable for the eccentric air-gap magnetic field with large eccentricity. The proposed method can be used for the design and the optimization of the HASM PM motor with rotor eccentricity.

Halbach arrays permanent magnet motor, hyperbolic cotangent transformation, rotor eccentricity, magnetic vector potential, no-load air-gap magnetic field

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.221813

TM351

2022-09-25

2022-10-25

劉蓉暉 女，1975年生，博士，副教授，研究方向?yàn)殡姍C(jī)設(shè)計(jì)與電機(jī)電磁場解析計(jì)算。E-mail: liuronghuiyzy@126.com（通信作者）

劉錦坤 男，1999年生，碩士研究生，研究方向?yàn)殡姍C(jī)電磁場解析計(jì)算。E-mail: a1229805586@qq.com

（編輯 崔文靜）