趙睿琦

（中國(guó)葛洲壩集團(tuán)股份有限公司，湖北武漢 430034）

0 引言

渦旋壓縮機(jī)具有微振低噪、高效節(jié)能、結(jié)構(gòu)緊湊且運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)等特點(diǎn)[1]，目前被廣泛應(yīng)用于各類氣體壓縮、空調(diào)及制冷設(shè)備中，并在渦旋增壓器、渦旋泵和渦旋膨脹機(jī)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，具有廣闊的應(yīng)用前景和市場(chǎng)[2]。

渦旋盤是渦旋壓縮機(jī)的主要零件，對(duì)渦旋機(jī)械的性能有決定性影響[3]，如何得到綜合性能更好的渦旋盤型線已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)[4]。Gravesen等人[5]基于微分幾何理論，研究了平面曲線特征方程，為優(yōu)化研究奠定了基礎(chǔ)；An等人[6]對(duì)渦旋盤結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，提高了壓縮機(jī)性能；Liu等人[7]基于協(xié)同優(yōu)化方法成功提高了渦旋盤的能效比；陳進(jìn)等人[8]利用共享小生境技術(shù)的非劣優(yōu)選遺傳算法對(duì)渦旋盤進(jìn)行了優(yōu)化；王立存等人[9]利用泛函對(duì)變壁厚通用渦旋型線理論及形狀優(yōu)化做了研究；劉濤等人[10]利用Matlab遺傳算法工具箱對(duì)變截面組合型線的連接點(diǎn)進(jìn)行了優(yōu)化。

由上述文獻(xiàn)可知，目前變截面渦旋盤的優(yōu)化設(shè)計(jì)大多是基于遺傳算法，以壓縮比和面積利用系數(shù)這兩個(gè)幾何指標(biāo)為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計(jì)。然而，遺傳算法存在過早收斂和后期搜索遲鈍的問題，容易陷入局部最優(yōu)解[11]。此外，僅以壓縮比和面積利用系數(shù)最大為優(yōu)化目標(biāo)設(shè)計(jì)的變截面渦旋型線在齒頭部分較薄弱，工作過程中承受較大的氣體力，導(dǎo)致渦旋盤的力學(xué)性能變差[12]。為了使變截面渦旋盤兼具良好的幾何性能和力學(xué)性能，本文提出在變截面渦旋盤的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，引入齒頭修正部分優(yōu)化，以動(dòng)渦旋盤所受軸向氣體力最小和壓縮比最大作為設(shè)計(jì)目標(biāo)，采用改進(jìn)多目標(biāo)遺傳算法，尋求由基圓漸開線-高次曲線組成的變截面渦旋盤多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto非劣解集，將優(yōu)化結(jié)果與傳統(tǒng)的變截面渦旋盤進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的可行性及優(yōu)越性。

1 變截面渦旋盤優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

1.1 渦旋盤型線的表達(dá)

本文以基圓漸開線-高次曲線組成的組合型線變截面型線為研究對(duì)象，此類型線具有較短的泄漏線長(zhǎng)度，減少了能量的損耗，符合綠色設(shè)計(jì)理念。該組合型線的各段基線方程可以表示為：

圓漸開線基線方程為：

高次曲線基線方程為：

非工作段方程為：

式中：（xci，yci）為對(duì)應(yīng)段基線的曲率中心。

為了滿足基線的連續(xù)性和光滑性條件，根據(jù)共軛曲線的嚙合原理將曲率半徑ρ以泛函的形式表征為：

式中：φ為型線展角；φ1為圓漸開線最大展角；φ2為型線最大展角；a為基圓半徑；b0、b1、b2、b3為高次曲線控制參數(shù)。

利用法向等距線法[13]生成的組合型線示意圖如圖1所示。圖中從內(nèi)向外依次為第一工作腔、第二工作腔和第三工作腔。

圖1 組合型線示意圖

1.2 目標(biāo)函數(shù)

為了能同時(shí)提高渦旋盤的力學(xué)性能和幾何性能，將能反映渦旋盤力學(xué)性能的軸向氣體力和能反映渦旋盤幾何性能的壓縮比作為設(shè)計(jì)目標(biāo)。

1.2.1 軸向氣體力的計(jì)算

軸向氣體力過大，則動(dòng)靜渦旋盤會(huì)發(fā)生脫離，從而使徑向泄漏量增加，故軸向氣體力越小，越有利于提高渦旋壓縮機(jī)的力學(xué)性能。因此，將軸向氣體力倒數(shù)最大作為第一子目標(biāo)函數(shù)，其表現(xiàn)形式為：

其中軸向氣體力Fa的計(jì)算公式為：

p3、p2和p1分別為對(duì)應(yīng)工作腔的壓力，其計(jì)算公式為：

式中：θ*為開始排氣角；ps為吸氣壓力，取ps=0.101 3 MPa；Vi為對(duì)應(yīng)工作腔容積；κ為氣體的等熵指數(shù)，取κ=1.19。

根據(jù)法向等距線及母線理論計(jì)算工作腔容積，本文構(gòu)建的組合型線的工作腔容積計(jì)算如下：

（1）i=4，完全由高次曲線組成的吸氣腔容積為：

（2）i=3，由高次曲線和圓漸開線組成的第一工作腔容積為：

（3）i=2，由圓漸開線和修正圓弧組成的第二工作腔容積為：

（4）i=1，完全由修正圓弧組成第三工作腔容積為：

式中：θ為曲軸轉(zhuǎn)角；h為渦旋齒的齒高；Ror為回轉(zhuǎn)半徑；取φ2=4.5π，φ1=2.5π；Lh為高次曲線對(duì)應(yīng)的基線的弧長(zhǎng)；Lc為圓漸開線對(duì)應(yīng)的基線的弧長(zhǎng)；α為漸開線發(fā)生角；φ為雙圓弧修正展角；λ為修正圓弧中心角；R為修正大圓弧半徑；r為修正小圓弧半徑；Am為修正齒頭軸向投影面積。

1.2.2 壓縮比的計(jì)算

壓縮比是衡量渦旋盤性能的指標(biāo)之一，壓縮比越大，則證明渦旋盤的幾何性能越優(yōu)良。因此將壓縮比最大作為第二子目標(biāo)函數(shù)，其表現(xiàn)形式為：

其中壓縮比γ的計(jì)算公式為：

1.2.3 目標(biāo)函數(shù)的確定

采用權(quán)重系數(shù)法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，故目標(biāo)函數(shù)的表現(xiàn)形式為：

式中：ωi為權(quán)重系數(shù)；fi（X）為子目標(biāo)函數(shù)。

1.3 設(shè)計(jì)變量和約束函數(shù)

通過對(duì)上述型線及目標(biāo)函數(shù)的解析構(gòu)成形式進(jìn)行分析，確定設(shè)計(jì)變量為：

考慮到渦旋壓縮機(jī)應(yīng)用于轎車、空調(diào)等有限空間，限定渦旋盤最大嚙合半徑D的范圍為：

根據(jù)式（20）引入控制參數(shù)的約束函數(shù)為：

考慮到渦旋盤的剛度、強(qiáng)度和密封性要求，需將壁厚t限定在約束范圍內(nèi)，渦旋盤壁厚t的范圍為：

根據(jù)式（22）引入回轉(zhuǎn)半徑Ror的約束函數(shù)為：

考慮到齒頭處的強(qiáng)度要求以及避免刀具干涉，引入修正圓弧中心角λ的約束函數(shù)為：

2 優(yōu)化算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法

標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法是一種通過模擬自然進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解的方法，直接對(duì)結(jié)構(gòu)對(duì)象進(jìn)行操作，具有內(nèi)在的隱并行性和良好的全局尋優(yōu)能力。但由于存在著容易過早收斂和后期搜索遲鈍的缺點(diǎn)，往往得不到理想的最優(yōu)解[14]。

2.2 改進(jìn)遺傳算法

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的缺點(diǎn)，本文通過引入自適應(yīng)交叉和變異算子、采用精英保留策略和引入自適應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)等3種方法來改善。

對(duì)于自適應(yīng)交叉和變異算子，其表現(xiàn)形式為：

式中：Pc為交叉算子，Pc1=0.9，Pc2=0.6；Fmax為當(dāng)代種群中最大適應(yīng)度值；Fave為當(dāng)代種群的平均適應(yīng)度值；Fc為要交叉的兩個(gè)個(gè)體間較大的適應(yīng)度值。

式中：Pm為變異算子，Pm1=0.01，Pm2=0.001；Fm為當(dāng)前要變異的個(gè)體的適應(yīng)度值。

從式（25）和（26）可以看出，本文引入的交叉和變異算子會(huì)隨著種群的當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行自我調(diào)節(jié)。針對(duì)交叉算子，當(dāng)要交叉的兩個(gè)個(gè)體中較大的適應(yīng)度值大于當(dāng)代種群平均適應(yīng)度值時(shí)，則會(huì)適當(dāng)減小交叉概率，從而保證了個(gè)體具有較高的概率將優(yōu)秀基因遺傳給下一代。當(dāng)要交叉的兩個(gè)個(gè)體中較大的適應(yīng)度值小于當(dāng)代種群平均適應(yīng)度值時(shí)，則提高交叉概率，減小了個(gè)體將不良基因遺傳給下一代的概率。

針對(duì)變異算子，當(dāng)個(gè)體的適應(yīng)度值大于種群平均適應(yīng)度值時(shí)，適當(dāng)減小變異概率，保存優(yōu)良基因。當(dāng)個(gè)體的適應(yīng)度值小于種群平均適應(yīng)度值時(shí)，則增加不良基因變異的概率。采用上述自適應(yīng)交叉和變異算子，在保存優(yōu)良基因的前提下，不僅改善了不良基因，同時(shí)也增加了種群的多樣性，提高了算法的效率，避免了早熟。

標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法后期搜索遲鈍是由于在搜索后期，種群中個(gè)體的適應(yīng)度值趨于一致，不易區(qū)分。因此引入自適應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)，表現(xiàn)形式為：

式中：N為種群大小。

隨著遺傳代數(shù)的不斷增加，通過式（28）可以對(duì)適應(yīng)度值進(jìn)行一定的拉伸，增大個(gè)體適應(yīng)度值的區(qū)分度，使遺傳算法中的選擇更有擇優(yōu)的效果。改進(jìn)多目標(biāo)遺傳算法設(shè)計(jì)流程如圖2所示。

圖2 流程圖

3 實(shí)例分析

采用Matlab軟件編制程序，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)求解。取初始T0=4，種群規(guī)模為100，每個(gè)染色體的長(zhǎng)度為32位（二進(jìn)制），終止遺傳代數(shù)為500代，迭代過程如圖3所示。

圖3 進(jìn)化過程

圖中標(biāo)準(zhǔn)GA算法過早陷入局部最優(yōu)解，而改進(jìn)GA算法早期在不斷進(jìn)化，在進(jìn)化的后期目標(biāo)函數(shù)也有小幅提升，且經(jīng)過多次測(cè)試，目標(biāo)函數(shù)值均收斂于4.3附近，從而證實(shí)了本文引入的改進(jìn)方法確實(shí)改善了標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法容易早熟和后期搜索遲鈍等缺點(diǎn)。部分全局Pareto非劣解如表1所示。

取表1中第3組數(shù)據(jù)構(gòu)建優(yōu)化型渦旋盤，繪制其動(dòng)靜渦旋型線的嚙合圖，如圖4所示。從中可以看出，本文優(yōu)化設(shè)計(jì)的渦旋型線完美嚙合且具有良好的形態(tài)性能。

圖4 動(dòng)靜渦旋型線共軛嚙合圖

表1 型線優(yōu)化結(jié)果數(shù)據(jù)表

將優(yōu)化設(shè)計(jì)后的變截面渦旋盤與文獻(xiàn)[15]中傳統(tǒng)型進(jìn)行性能對(duì)比，如表2和圖5所示。從表2可以看出，優(yōu)化后的渦旋盤相比傳統(tǒng)變截面渦旋盤，最大軸向氣體力減少了25.53%，壓縮比和面積利用系數(shù)分別提高了4.36%和9.44%。圖5所示為渦旋盤所受軸向氣體力隨主軸轉(zhuǎn)角的變化歷程，優(yōu)化后的渦旋盤軸向氣體力在所有時(shí)刻均小于傳統(tǒng)變截面渦旋盤。

圖5 軸向氣體力變化圖

表2 變截面渦旋盤性能對(duì)比表

4 結(jié)論

（1）本文基于改進(jìn)多目標(biāo)遺傳算法，提出了綜合考慮力學(xué)性能和幾何性能的渦旋盤多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，成功求解出變截面渦旋盤多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto非劣解集。

（2）將Pareto非劣解集中的渦旋盤和傳統(tǒng)變截面渦旋盤的性能指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，其最大軸向氣體力減少了25.53%，壓縮比和面積利用系數(shù)分別提高了4.36%和9.44%，表明了本文的優(yōu)化方法可以設(shè)計(jì)出力學(xué)性能和幾何性能均比傳統(tǒng)變截面渦旋盤有所提高的新渦旋盤。