來 崢|浙江省杭州市安吉路教育集團新天地實驗學校

在解決包含字母的數(shù)學問題時，初中生往往存在較強的畏懼心理，通常這是由數(shù)學符號意識缺失造成的.因此，教師應(yīng)盡可能地利用各種知識載體，促使學生積累數(shù)學符號應(yīng)用的活動經(jīng)驗，并感悟其中所蘊含的數(shù)學思想.下面，筆者以浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學》（以下簡稱“浙教版教材”）的教學為例，從情境化、專題化、多元化三個方面，談?wù)勗诮虒W中滲透數(shù)學符號意識的一些理解與思考.

一、導入情境化，激發(fā)符號學習的興趣

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“《課程標準》”）提出：能夠從實際情境問題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系，并能夠用數(shù)學符號予以表達.相對于“數(shù)”，用符號表達和運算比較抽象，學生不易理解，如果只是讓學生機械地進行練習和記憶，會造成學生對符號的恐懼和排斥.因此，教師要盡可能地在實際的問題情境中幫助學生理解符號及表達式、關(guān)系式的意義，在解決實際問題的過程中培養(yǎng)學生的符號感.在課堂教學中，教師要還原知識產(chǎn)生的情境，引導學生適應(yīng)知識真實的樣態(tài).枯燥、單一、乏味的符號，只有真正融合到生活情境，才會被賦予豐富的內(nèi)涵，才能活力四射、靈性十足［1］.

（一）感受符號表達之簡

浙教版教材七年級上冊第4 章第1 節(jié)《用字母表示數(shù)》是學生初次體驗用字母表示數(shù)的意義，如何讓學生接納這個新事物很關(guān)鍵.教材提供了兩個實際背景——兒歌和單價問題，筆者認為它們不足以吸引學生的注意力，因此借助游戲《我知你心》引入.

學生在心中默想一個數(shù)字，把這個數(shù)加上2，再把它們的和乘以3，減去一開始默想的數(shù)，最后減去6，只要學生報出結(jié)果，教師就能猜到學生心中的數(shù).

在筆者連續(xù)猜中幾個學生的答案后，學生大呼神奇，非常好奇筆者是怎么做到的.于是，筆者揭秘游戲過程其實可以用代數(shù)式（a+2）×3-a-6＝2a來表示，讓學生感受這里的a可以代替一切數(shù)，體會字母代表數(shù)的意義，激發(fā)學生學習符號的興趣.接著列舉“日歷中的秘密”“商場里的秘密”等生活中的情境，讓學生嘗試用字母去表示規(guī)律，發(fā)現(xiàn)生活中處處有符號，并體會符號的簡潔和魅力.

（二）體現(xiàn)符號表達之美

在浙教版教材九年級上冊第4 章第1 節(jié)《比例線段》的教學中，筆者先讓學生欣賞相關(guān)圖片，然后從“雷峰塔位于南山路水岸線與蘇堤間的黃金分割點”導入，啟發(fā)學生通過設(shè)元解一元二次方程計算黃金比，得到0.618 這個美妙的結(jié)論.又如數(shù)軸作為特定的幾何圖形，本質(zhì)上也是一種數(shù)學符號，學生認識了數(shù)軸后，就可以將正數(shù)、零、負數(shù)區(qū)別開來，理解數(shù)形統(tǒng)一，感知數(shù)學符號的統(tǒng)一美［2］.

（三）凸顯符號表達之優(yōu)

學習方程的初始階段，部分優(yōu)等生仍喜歡采用小學的算術(shù)方法，他們認為用算術(shù)法解題快，并且可以避免設(shè)元這個環(huán)節(jié).如何讓學生主動并且喜愛用方程思想來解題呢？筆者挑選了一些用算術(shù)方法有障礙的題，如把“雞兔同籠”問題進行改編：“雞兔同籠，有20 個頭，兔腳比雞腳多32 只，問雞和兔各有幾只？”選擇假設(shè)法的學生往往得出錯誤的答案，而采用方程思想的學生則順利解出正確答案.二者一對比，就凸顯出方程思想的直觀易懂、列式方便等優(yōu)點，使學生體會到用代數(shù)方法解決問題的優(yōu)越性，從而自然地接納符號意識.

二、學習專題化，體會符號學習的意義

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022 年版）解讀》指出：初中階段應(yīng)進一步發(fā)展符號意識，理解代數(shù)是算術(shù)的一般化，能用代數(shù)方法解決問題；理解字母符號的各種意義與使用規(guī)則；能夠利用字母系數(shù)表示一般的方程與不等式，并給出一類方程的一般解［3］.由于初中的課程內(nèi)容不以培養(yǎng)學生符號意識為教學目標，因此教師容易忽視符號意識教學，或者教學流于形式，只是讓學生單純模仿，使其不能感知、嘗試和經(jīng)歷符號化過程，也沒有機會仔細思考符號表示的真正意義和價值.筆者認為，在“方程”“不等式”“函數(shù)”這些代數(shù)內(nèi)容相對集中的章節(jié)，可以安排專題課，以培養(yǎng)符號意識作為教學目標，把含字母系數(shù)的問題集中在一起進行類比學習.

例如學習浙教版教材七年級下冊第2 章《二元一次方程組》時，雖然《課程標準》對含有字母系數(shù)的方程組不作要求，但用字母表示未知數(shù)、用方程表述數(shù)量關(guān)系的過程，能幫助學生建立符號意識，培養(yǎng)學生的數(shù)學理解和抽象能力，而含字母系數(shù)的方程則對學生的抽象能力和推理能力等素養(yǎng)提出了更高的要求，同時為后續(xù)函數(shù)學習奠定基礎(chǔ).因此，筆者安排“含字母系數(shù)的二元一次方程組”專題復習課，從數(shù)字系數(shù)的方程組入手，讓學生經(jīng)歷觀察、類比，概括出含字母系數(shù)的方程組.筆者為學生留出思考的空間，并利用層進的問題串突破學生的認知障礙，為學生自發(fā)使用符號創(chuàng)造可能，讓學生悅納字母，培養(yǎng)和發(fā)展學生的符號意識，鍛煉學生抽象的思維方式和歸納推理的能力.以下為此節(jié)專題課的4個環(huán)節(jié)和設(shè)計意圖.

（一）特殊到一般：培養(yǎng)符號表達意識

【環(huán)節(jié)1】解二元一次方程組

得到方程組的解為：

設(shè)計意圖：考慮到學生對含字母系數(shù)的方程組不易理解，并且方程組中突然出現(xiàn)字母系數(shù)會顯得突兀生硬，因此筆者讓學生先解同一系列的數(shù)字系數(shù)方程組，通過觀察、歸納，概括出它們的共同屬性，并用字母表示規(guī)律，讓學生真實感悟字母代替數(shù)的簡潔性.借助歸納推理，從數(shù)字系數(shù)方程順利過渡到含字母系數(shù)的方程，既能凸顯字母的優(yōu)勢，又能通過類比的方法讓學生了解并掌握含字母系數(shù)方程組的解法，培養(yǎng)學生的符號意識、運算和推理能力.

（二）復雜到單一：體會符號表達之形

【環(huán)節(jié)2】解二元一次方程組

解法有兩種：一類學生分別求解兩個方程組得到解，另一類學生直接使用上一環(huán)節(jié)結(jié)論代入求解.通過對比，學生感受到解題速度的巨大差異，體會可以代替所有具有這種規(guī)律的數(shù)學方程組.

設(shè)計意圖：這一環(huán)節(jié)把直接使用結(jié)果和重新解方程組兩種方法進行對比，讓學生體驗使用字母代表數(shù)的優(yōu)勢，發(fā)現(xiàn)字母可以表示“一類數(shù)”，即含字母的結(jié)論具有一般性.這利于簡化計算，使學生主動接受字母及含字母系數(shù)的方程.

（三）一般到特殊：辨析符號表達之變

【環(huán)節(jié)3】已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，求當a＝5，-2時方程組的解.

此時，大部分學生會用含a的代數(shù)式表示方程組的解，只有極少數(shù)學生選擇把這三個數(shù)代入方程組分別求出三個方程組的解.兩類解法在時間上的差異又一次使學生明白：a可以代表任何實數(shù)，a每取一個數(shù)，a的值就確定，并可以看成“常數(shù)”（會變化的常數(shù)）來表示x，y的值，而這個含字母a的解可以表示這樣形式的所有方程組的解.

設(shè)計意圖：這一環(huán)節(jié)主要解決含字母系數(shù)的方程組，經(jīng)過上兩個環(huán)節(jié)的鋪墊，可能仍有少數(shù)學生未掌握用字母表示數(shù)及含字母系數(shù)方程組的解法，因此筆者追加設(shè)計，讓學生再次感受用字母表示數(shù)的必要性和優(yōu)越性，提升學生的符號意識.

（四）常規(guī)到特例：感悟符號表達之本

【環(huán)節(jié)4】已知，求當n＝2，，－6時m和k的值.

求解此題需先分析哪些字母應(yīng)看作常數(shù)，哪些字母應(yīng)看作未知數(shù).部分學生從方程的位置角度，認為應(yīng)將m和n看作未知數(shù)、k看作常數(shù)；部分學生認為n取了四個值，因此應(yīng)將m和k看作未知數(shù)，n看作常數(shù).筆者適時小結(jié)：可根據(jù)題目的字母特點來分析，當一個字母可以取不同數(shù)時，往往代表這個字母可以看作常數(shù)，用它表示剩下兩個未知數(shù)的值比較合適.

設(shè)計意圖：經(jīng)過前三個環(huán)節(jié)的學習，學生已經(jīng)有了一定基礎(chǔ)，此時應(yīng)作能力提升設(shè)計.題目呈現(xiàn)的不是常規(guī)字母x和y，因此學生分辨不清未知數(shù)和字母系數(shù).通過此題的訓練，可使學生掌握區(qū)分的方法，明白不同字母背后的含義.這能培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)換的數(shù)學思想以及運用符號進行運算和推理的能力，為后續(xù)函數(shù)、三元一次方程組的學習作鋪墊.

三、應(yīng)用多元化，發(fā)展符號抽象能力

數(shù)學課程內(nèi)容主要分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四大板塊，每個板塊都與數(shù)學符號的表達與應(yīng)用相關(guān)聯(lián).這使隨時隨地滲透符號意識，讓學生感知符號并應(yīng)用符號解決問題成為可能.

（一）數(shù)到代數(shù)：從具體到一般

數(shù)與代數(shù)板塊中涉及的“代數(shù)式”“方程”“不等式”“函數(shù)”等內(nèi)容都是表達數(shù)量關(guān)系的過程，因此都離不開字母，對符號意識的要求比較高，需要教師精心設(shè)計，有意識地去培養(yǎng)學生的這個能力.前面已介紹了“代數(shù)式”和“方程”的部分設(shè)計，而“不等式”和“方程”本質(zhì)基本相同，因此教學策略類似.“函數(shù)”其實也算是“方程”的延續(xù)，但函數(shù)圖象和性質(zhì)這塊內(nèi)容難度增大、要求更高，因此更需要研究字母對函數(shù)圖象和性質(zhì)的影響，使學生從本質(zhì)上了解符號的作用和意義.

例如教學浙教版教材八年級下冊第6 章《反比例函數(shù)》時，教師可借助列表描點的方法讓學生直觀感受圖象的特征，但由于圖象是雙曲線，描點難以繪制全貌，因此還可借助函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，用代數(shù)知識進行分析.比如繪制的函數(shù)圖象，由分母x≠0，得到圖象與x軸沒有交點，由y≠0 得到圖象與y軸也沒有交點；因為xy=1＞0，得到圖象在一、三象限；x＞0 時，由x越大則y越小，得到圖象越來越接近x軸；同理，x越接近0，則y越大，得到圖象越來越接近y軸；假設(shè)（a，b）是圖象上的一個點，則（-a，-b）在圖象上，可得圖象關(guān)于原點對稱，而（b，a）也在圖象上，則圖象還關(guān)于直線y＝x對稱［4］.

筆者從代數(shù)的視角去解析幾何圖象及函數(shù)性質(zhì)，讓學生發(fā)現(xiàn)這些字母操縱著函數(shù)的圖象和性質(zhì)，借機突出字母的意義及一般化的特點，強化符號的作用和價值.

（二）形象到抽象：從幾何到推理

幾何教學有不同的表達方式，包括圖形、文字和符號三種，在這三種語言中，符號語言最難掌握，是學生樹立正確數(shù)學思維邏輯的重要基礎(chǔ)［5］，也是培養(yǎng)符號意識的重要方式.因此從七年級上學期學習“圖形的初步認識”開始，教師就要引導學生用這三種語言規(guī)范表達，下面以“中點”的描述為例說明.

文字語言：點C把線段AB分成相等的兩條線段AC與BC，點C叫作線段AB的中點.

圖形語言：

符號語言：∵點C為AB中點，∴AC＝BC＝，AB＝2AC＝2BC.

教師要引導學生通過中點的定義并結(jié)合圖象，厘清線段之間的關(guān)系，并寫出符號語言，讓學生理解這三種語言之間的關(guān)聯(lián).同時，教師需規(guī)范學生的說理過程，引導學生使用合理的符號語言，并且每一塊幾何知識都需要落實.在這一過程中，學生由一開始看教師示范來仿寫，過渡到獨立書寫.由此，教師既能幫助學生提升思維邏輯和表達能力，又對符號意識進行了培養(yǎng)和滲透.這是一個循序漸進的過程，需要學生進行鞏固和強化，因此在單元復習時，教師可有意識地引導學生進行三種語言的歸納整理.

（三）統(tǒng)計到概率：從模糊到精準

統(tǒng)計與概率中的“平均數(shù)”“方差”“概率”等也是用符號來表征相關(guān)公式，而其他內(nèi)容的教學若可用符號來簡化分析過程，教師也要抓住契機，將符號意識滲透其中.

例如教學浙教版教材九年級上冊第2 章第1節(jié)《事件的可能性》時，需要用樹狀圖來分析事件發(fā)生的可能性.

例題：一個箱子有1個黑球和2個藍球，它們除顏色外其余都相同，從箱子里摸出一個球，放回，搖均勻后再摸出1個球，這樣先后摸得的兩球有幾種不同的可能？

某學生先用文字樹狀圖示分析，再用字母代替文字分析，經(jīng)過比較，學生發(fā)現(xiàn)用字母a，b來表示黑球和藍球，書寫過程簡潔明了，由此體會到符號的便捷性.這利于學生養(yǎng)成主動使用符號的意識和習慣.

綜上，教師需精心設(shè)計問題，讓學生經(jīng)歷用字母表示數(shù)的過程，啟發(fā)學生思考，系統(tǒng)全面探究使用符號的便捷和必要性.同時，學生符號意識的發(fā)展不是一朝一夕就可以完成的，而是貫穿于學生數(shù)學學習的全過程，伴隨著學生數(shù)學思維層次的提高而逐步發(fā)展的［6］，因此教師還要注意適時引導、強化，使學生在符號學習的過程中提升數(shù)學核心素養(yǎng).