張薇

［摘? 要］ 解析幾何復(fù)習(xí)備考階段，需要對其知識與方法進(jìn)行梳理，回歸教材基礎(chǔ)，歸納簡算方法，開展一題多解，總結(jié)二級結(jié)論. 研究者對解析幾何內(nèi)容進(jìn)行綜合分析，結(jié)合高考提出四點(diǎn)復(fù)習(xí)建議，以期對教師教學(xué)與學(xué)生備考有所幫助.

［關(guān)鍵詞］ 解析幾何；備考；教材；簡算；多解；結(jié)論

綜合分析

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識，在高考中有極為重要的地位，常作為壓軸題出現(xiàn)，考查學(xué)生的綜合能力. 小題中以基本概念和性質(zhì)為主，大題中則更關(guān)注其綜合性，如弦長問題、存在性問題、定值定點(diǎn)問題等. 備考探究中需要對解析幾何知識進(jìn)行整合，明確高考大綱及常規(guī)考查方式，下面為新課標(biāo)與高考大綱對解析幾何復(fù)習(xí)與考查的要點(diǎn)的整合.

（1）結(jié)合平面直角坐標(biāo)系，認(rèn)識直線、曲線的幾何特征，建立對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）運(yùn)用代數(shù)法認(rèn)識幾何圖形的性質(zhì)，了解直線與曲線之間的位置關(guān)系，運(yùn)用幾何法解決數(shù)學(xué)問題、實(shí)際問題，感悟其中的數(shù)形結(jié)合思想.

（3）根據(jù)幾何問題的圖形特點(diǎn)，利用代數(shù)語言將幾何問題代數(shù)化，通過分析幾何問題及其圖象，探索問題解決思路.

（4）運(yùn)用代數(shù)法分析幾何圖形，推導(dǎo)常用的結(jié)論，并對代數(shù)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行合理的幾何剖析，構(gòu)建幾何與代數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.

（5）探究并重視解析幾何中的數(shù)學(xué)思想，注重提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

復(fù)習(xí)建議

關(guān)于解析幾何的備考探究，要注重學(xué)生知識與能力的全面提升. 實(shí)際教學(xué)中要圍繞高考考點(diǎn)，梳理整合重點(diǎn)知識，明確教學(xué)目標(biāo). 總體上可細(xì)分為三大要點(diǎn)：一是直線的傾斜角、斜率及方程的整合；二是曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的整合；三是構(gòu)建直線與曲線的知識聯(lián)系，探求綜合性問題的破解方法. 下文圍繞解析幾何經(jīng)典問題，對解析幾何備考內(nèi)容進(jìn)行探索，提出相應(yīng)的備考建議.

1. 追本溯源，夯實(shí)基礎(chǔ)

高考經(jīng)典問題為復(fù)習(xí)備考提供了指向，考題實(shí)際上源于教材又高于教材，常以教材習(xí)題為背景而整合命制. 因此復(fù)習(xí)備考時可對考題進(jìn)行溯源探究，關(guān)注其命制過程，總結(jié)解析思路、破解方法.

例1 設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（3，0），若AF=BF，則AB=（? ）

溯源：本題為2022年高考全國乙卷理數(shù)第5題，為拋物線焦點(diǎn)問題. 實(shí)際上，本題與人教A版選擇性必修第一冊3.3.2中的例4相似. 本題解析的關(guān)鍵是將線段相等（AF=BF）轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B）間的距離.

備考建議：復(fù)習(xí)備考要引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，重視教材的核心價值；要認(rèn)真研究并立足教材中的例題和習(xí)題，但不能拘泥于教材；要適度開發(fā)教材，引領(lǐng)學(xué)生再理解例題和習(xí)題、知識內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想等，使學(xué)生從問題中突破，在解題中升華；要讓學(xué)生注意知識間的內(nèi)在關(guān)系，幫助學(xué)生完善知識體系.

2. 優(yōu)化過程，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算

“運(yùn)算過程煩瑣、復(fù)雜”是解析幾何的特征，對學(xué)生的運(yùn)算能力有較高要求. 學(xué)生在考場上需要快速確定解題思路，找到優(yōu)化過程的方法. 因此，復(fù)習(xí)備考要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建運(yùn)算過程，優(yōu)化運(yùn)算方法，總結(jié)運(yùn)算技巧，強(qiáng)化運(yùn)算訓(xùn)練，不斷提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，證明：直線MN過定點(diǎn).

解析 本題為一道解析幾何綜合題，第（2）問為核心之問，其證明過程中的運(yùn)算較為煩瑣，需要優(yōu)化運(yùn)算方法、關(guān)注簡算技巧.

①簡算技巧1——整體代入.

②簡算技巧2——因式分解.

（**）式為含參方程，需要對其進(jìn)行因式分解，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)之一.（**）式可先通分，再整理為4k2+8km+3m2-2m-1=0，將兩個參數(shù)中的一個視為未知量，另一個視為常數(shù)，然后對其進(jìn)行因式分解.

備考建議：“過程優(yōu)化，簡算推導(dǎo)”是解析幾何問題分析運(yùn)算的關(guān)鍵，有助于考場節(jié)約時間，提高解題效率. 解析幾何問題中的簡算技巧有很多，教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，充分掌握簡算技巧的精髓. 在此總結(jié)常用的四種：

（1）設(shè)而不求，整體代入. 該技巧常用于直線方程與曲線方程聯(lián)立推導(dǎo)中，如上述問題利用該技巧將向量積轉(zhuǎn)化為含參方程.

（2）活用定義，巧用性質(zhì). 對于部分解析幾何問題，要靈活運(yùn)用其定義和性質(zhì)，如涉及解析幾何焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題，可以嘗試直接運(yùn)用對應(yīng)定義轉(zhuǎn)化距離條件.

（3）借用幾何性質(zhì). 數(shù)形結(jié)合是研究解析幾何的重要方法，對于其中的運(yùn)算問題，必要時可以借用對應(yīng)的幾何性質(zhì)，直接推導(dǎo)結(jié)論. 如中位線的幾何意義、向量積為零的幾何意義等.

（4）主元設(shè)定，靈活轉(zhuǎn)換. 該技巧常用于含有兩個參數(shù)的方程的簡算，對于方程中的兩個未知數(shù)，可以設(shè)定主元，靈活轉(zhuǎn)換，對方程進(jìn)行因式分解. 如上述簡算技巧2中的因式分解，方便求解參數(shù)關(guān)系.

3. 一題多解，思路拓展

復(fù)習(xí)備考需要注意解析幾何問題的多解探索，幫助學(xué)生拓展思路. 既需要注重通性通法，還需要重視一題多解的探究. 一題多解的探究可以從兩個方面進(jìn)行：一是探究多解的方法；二是探究多解的思路構(gòu)建.

（1）求C的方程；

解析 本題是一道解析幾何綜合題，第（2）問為核心之問，求解兩直線的斜率之和，可采用不同的方法來設(shè)定直線的方程.

方法1：設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程.

方法2：設(shè)直線的斜截式方程.

方法3：設(shè)雙直線二次曲線系方程.

備考建議：開展一題多解的探究是復(fù)習(xí)備考的重要環(huán)節(jié). 在該環(huán)節(jié)中，要指導(dǎo)學(xué)生完成兩方面的內(nèi)容：一是總結(jié)類型題的常規(guī)解法，即通性通法；二是在此基礎(chǔ)上開展多解思路、多解視角、多解方法、多解技巧等的分析.

總結(jié)歸納，活用二級結(jié)論

面對圓錐曲線問題時，活用一些二級結(jié)論可以簡化解題過程，提高解題效果. 因此復(fù)習(xí)備考時應(yīng)整理一些關(guān)于圓錐曲線的二級結(jié)論，包括兩點(diǎn)：一是二級結(jié)論的內(nèi)容，二是二級結(jié)論的類型.

備考建議：圓錐曲線的二級結(jié)論較多，涉及眾多知識內(nèi)容，教學(xué)探究中需要引導(dǎo)學(xué)生注意兩點(diǎn)：一是總結(jié)歸納二級結(jié)論的類型；二是探索證明二級結(jié)論，挖掘其背后的性質(zhì)原理，深刻理解其內(nèi)涵.

圓錐曲線的二級結(jié)論類型豐富，包括與“焦點(diǎn)三角形”面積相關(guān)的二級結(jié)論，與“中心弦”性質(zhì)相關(guān)的二級結(jié)論，與“中點(diǎn)弦”性質(zhì)相關(guān)的二級結(jié)論，與“焦點(diǎn)弦”性質(zhì)相關(guān)的二級結(jié)論.

寫在最后

解析幾何的知識內(nèi)容較多，涉及眾多考點(diǎn)，復(fù)習(xí)備考階段需要對考點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行梳理. 教學(xué)中教師要圍繞高考大綱引導(dǎo)學(xué)生夯實(shí)知識基礎(chǔ)，總結(jié)歸納方法，拓展解題思維. 上文所提的四大備考建議是基于考向的總結(jié)，教學(xué)時可結(jié)合考題進(jìn)行強(qiáng)化，促進(jìn)學(xué)生知識與能力的全面提升.