盧平

［摘? 要］ 在圓錐曲線綜合題探究中，需要關(guān)注問(wèn)題類型，整合條件突破過(guò)程，總結(jié)類型題的求解策略. 同時(shí)要精選問(wèn)題開(kāi)展應(yīng)用探究，幫助學(xué)生內(nèi)化吸收，提升學(xué)生的解題思維. 文章圍繞一道圓錐曲線綜合題展開(kāi)解題探究，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；存在性；定值；面積

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識(shí)，涉及函數(shù)、直線、解析幾何等相關(guān)知識(shí). 研究位置關(guān)系，聯(lián)立方程簡(jiǎn)化問(wèn)題、轉(zhuǎn)化條件，使用對(duì)應(yīng)技巧整合條件、構(gòu)建思路是常規(guī)解題策略. 下面結(jié)合實(shí)例深入探究.

引例探究

1. 問(wèn)題呈現(xiàn)

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2. 思路分析

題設(shè)兩問(wèn)，第（1）問(wèn)根據(jù)上述核心條件即可求解；第（2）問(wèn)整體上可視為存在性問(wèn)題，涉及定值分析，面積最值求解，綜合性極強(qiáng)，需要采用“聯(lián)立方程—整合韋達(dá)定理—構(gòu)建面積模型”的策略. 具體求解時(shí)建議采用分步突破轉(zhuǎn)化的方式.

3. 過(guò)程突破

（2）探究存在性問(wèn)題，采用分步突破轉(zhuǎn)化的方式.

第一步，聯(lián)立方程，整合韋達(dá)定理.

第二步，利用向量，轉(zhuǎn)化定值條件.

第三步，構(gòu)建模型，分析面積最值.

解后反思

上述針對(duì)一道圓錐曲線綜合題展開(kāi)解題探究，涉及圓錐曲線、解析幾何、代數(shù)方程、不等式等相關(guān)知識(shí). 題設(shè)兩問(wèn)，第（1）問(wèn)為常規(guī)的求圓錐曲線的方程，第（2）問(wèn)則是綜合性極強(qiáng)的應(yīng)用題. 下面進(jìn)一步思考，探索求解方法，總結(jié)求解策略.

1. 探索求解方法

上述求解圓錐曲線的兩問(wèn)采用的是常規(guī)方法，第（1）問(wèn)構(gòu)建模型轉(zhuǎn)化面積條件，推導(dǎo)其中的特征參數(shù)；第（2）問(wèn)則是聯(lián)立構(gòu)建，重點(diǎn)轉(zhuǎn)化分析向量運(yùn)算. 實(shí)際上對(duì)于上述兩問(wèn)，還可以采用不同的解法，下面具體探究.

2. 總結(jié)求解策略

上述第（2）問(wèn)有極強(qiáng)的綜合性，實(shí)際上屬于圓錐曲線的常見(jiàn)類型題，下面總結(jié)對(duì)應(yīng)的求解策略.

（1）存在性問(wèn)題的求解策略.

特殊值（點(diǎn)）法：對(duì)于一些復(fù)雜的題目，可通過(guò)探究其中的特殊情況，得到所求要素的必要條件，然后再證明所求要素也可使得其他情況均成立.

核心變量的選?。河捎诮鉀Q存在性問(wèn)題的核心為求出未知要素，因此通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要時(shí)再消去.

核心變量的求法：

①直接法：利用條件與輔助變量直接表示所求要素，并求解.

②間接法：若無(wú)法直接求解要素，則可將核心變量整合到條件中，列出關(guān)于核心變量與輔助變量的方程（組），利用方程思想求解.

（2）定值問(wèn)題的求解策略.

①確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余變量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示.

②所求表達(dá)式用核心變量來(lái)表示（有的甚至就是核心變量），然后化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù).

（3）問(wèn)題的求解策略.

①直接求解：尋底找高，需要確定兩條線段的長(zhǎng)度，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，通常優(yōu)先選擇坐標(biāo)法，即用坐標(biāo)來(lái)表示底（或高）.

②分割法：將不規(guī)則多邊形分割成若干個(gè)面積易于計(jì)算的三角形.

應(yīng)用拓展

問(wèn)題2 已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最短距離為2，且橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3. 設(shè)A，F(xiàn)分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線AM，AN分別與直線l：x=－3交于點(diǎn)P，Q.

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明：直線FP和直線FQ的斜率之積為定值；

（3）求△AFP與△AFQ面積之和的最小值.

評(píng)析 上述圓錐曲線問(wèn)題設(shè)計(jì)了三個(gè)小問(wèn)，其中后兩個(gè)小問(wèn)為核心之問(wèn)，分別是：證明斜率之積為定值，求解面積之和的最小值. 證明斜率之積為定值，先將斜率之積用核心變量表示出來(lái)，然后化簡(jiǎn)求出常數(shù)（定值）. 求解面積之和的最小值，則尋底找高直接構(gòu)建模型，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于核心變量的函數(shù)，再利用不等式的性質(zhì)求解.

教學(xué)建議

上述對(duì)圓錐曲線綜合題進(jìn)行探究解析，總結(jié)方法策略，并強(qiáng)化應(yīng)用，其探究思路有一定的參考價(jià)值. 下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)一步思考，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

1. 挖掘知識(shí)考點(diǎn)，透視問(wèn)題本質(zhì)

圓錐曲線問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的核心問(wèn)題，需要學(xué)生歸納題型，掌握對(duì)應(yīng)的解法. 解題教學(xué)的初始階段，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題特征，挖掘其中的知識(shí)點(diǎn)，透視問(wèn)題本質(zhì). 可從以下三方面進(jìn)行：一是讀題審題，結(jié)合圖形理解題意；二是重點(diǎn)關(guān)注其中的核心條件和問(wèn)題，挖掘其中的知識(shí)點(diǎn)，明確問(wèn)題考查的內(nèi)容；三是聯(lián)系教材，深入思考問(wèn)題，透視問(wèn)題本質(zhì)，明晰問(wèn)題考查的重點(diǎn)知識(shí)、方法，為后續(xù)解題思路的探索做鋪墊.

2. 過(guò)程解析探究，整合方法思路

圓錐曲線問(wèn)題的綜合性較強(qiáng)，探究時(shí)建議采用過(guò)程解析、方法思路整合的策略. 即圍繞類型問(wèn)題，總結(jié)破解方法和策略. 以問(wèn)題1的第（2）問(wèn)為例，采用的是分步突破轉(zhuǎn)化方式，即先分步拆分解題過(guò)程，然后針對(duì)問(wèn)題（存在性問(wèn)題、定值問(wèn)題、面積問(wèn)題）總結(jié)求解策略. 教學(xué)中建議采用這種方式，設(shè)置例題引導(dǎo)學(xué)生分步拆分解題過(guò)程，然后圍繞核心問(wèn)題總結(jié)方法策略，讓學(xué)生明晰類型問(wèn)題的探究思路.

3. 強(qiáng)化解法應(yīng)用，拓展解題思維

在解題教學(xué)中，要注意完成方法思路整合后，精選問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，強(qiáng)化解法應(yīng)用. 應(yīng)用探究可分為三個(gè)環(huán)節(jié)：第一，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，定位問(wèn)題，思考求解方法；第二，構(gòu)建解題思路，探索過(guò)程，求解問(wèn)題；第三，反思解題過(guò)程，思考解題使用的方法和策略，完善解法. 教師要關(guān)注學(xué)生的思維變化，適度引導(dǎo)，拓展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生內(nèi)化吸收，形成自我的求解策略.

寫在最后

圓錐曲線綜合題涉及眾多知識(shí)點(diǎn)，解題探究中要關(guān)注核心之問(wèn)，明晰類型問(wèn)題，總結(jié)破解方法和策略. 在教學(xué)中，教師要注意課堂引導(dǎo)，給學(xué)生留足思考時(shí)間，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維；合理滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).