徐竟耕，曾 力

（重慶交通大學(xué)機(jī)電與車(chē)輛工程學(xué)院，重慶 400074）

作為航空燃?xì)廨啓C(jī)的基本部件，壓氣機(jī)對(duì)空氣的流通運(yùn)送起著至關(guān)重要的作用，其功能為：先對(duì)空氣進(jìn)行減速增壓，再向燃燒室里不斷輸入高壓空氣，以提高氣流的膨脹功，使整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的熱效率得到增強(qiáng)[1-2]。流量系數(shù)不僅是衡量壓氣機(jī)空氣流通能力的重要指標(biāo)，也是直接影響燃?xì)廨啓C(jī)數(shù)字化建模精度的重要參數(shù)。當(dāng)計(jì)算流量系數(shù)時(shí)，需要根據(jù)已知的燃?xì)廨啓C(jī)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)建立插值模型，但實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的獲取成本卻較高。因此，如何利用有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，借助合適的建模方法構(gòu)造出高精度的插值模型便成為最值得研究的問(wèn)題之一[3-4]。

目前的壓氣機(jī)特性建模方法都存在對(duì)流量系數(shù)的預(yù)測(cè)精度不高的問(wèn)題[5-6]。為了優(yōu)化插值模型，提高預(yù)測(cè)精度：陳輝等在Kriging 插值法的基礎(chǔ)上，建立了符合壓氣機(jī)流量特性的插值模型，探索了相關(guān)模型和參數(shù)初值的選取對(duì)最終結(jié)果的影響[7]；尹大偉、李本威等根據(jù)壓氣機(jī)的流量特性和效率特性，在原有模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了重新構(gòu)造[8]；Ghorbanian K and Gholamrezaei M等通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，雖然BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)壓氣機(jī)特性的預(yù)測(cè)效果較好，但卻難以確定合適的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，最終導(dǎo)致出現(xiàn)“欠擬合”或“過(guò)擬合”的現(xiàn)象[9]；涂環(huán)、趙勇和李本威等選擇了QPSO 算法，在Kriging 相關(guān)模型的基礎(chǔ)上，在全局尋找最優(yōu)參數(shù)[10]，通過(guò)該方法，優(yōu)化了基于梯度的模式搜索法，使其不再須要考慮參數(shù)初始值。

上述方法雖都可提高計(jì)算壓氣機(jī)流量系數(shù)的模型精度，但卻未考慮到Kriging 插值模型的不足，即樣本庫(kù)里的換算轉(zhuǎn)速與待預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的換算轉(zhuǎn)速的數(shù)值相差較大時(shí)，是無(wú)法得到高精度計(jì)算結(jié)果的。另外，這些方法也未考慮在到利用設(shè)計(jì)空間中樣本點(diǎn)的分布與模型精度的關(guān)系來(lái)提高預(yù)測(cè)精度的同時(shí)節(jié)省樣本點(diǎn)。

因此，本文采用了1 種基于垂距的多點(diǎn)取樣算法。將垂距、預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差等參數(shù)作為篩選標(biāo)準(zhǔn)，再結(jié)合高斯函數(shù)，篩選出更具有代表性的樣本點(diǎn)，以此建立Kriging插值模型，該算法可以在全局和局部范圍內(nèi)提高模型精度。實(shí)際結(jié)果表明，使用該方法構(gòu)建模型時(shí)，需要的樣本點(diǎn)數(shù)減少近30%。待預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與樣本庫(kù)的換算轉(zhuǎn)速不同時(shí)，對(duì)比傳統(tǒng)Kriging 插值模型，精度提升近10%。

1 Kriging插值法

Kriging插值法是通過(guò)對(duì)樣本賦予權(quán)重，通過(guò)加權(quán)線(xiàn)性組合的辦法對(duì)目標(biāo)估值，同時(shí)滿(mǎn)足無(wú)偏估計(jì)要求，且滿(mǎn)足估計(jì)方差最小[11]。結(jié)合壓氣機(jī)特性，建立Kriging插值模型，首先定義輸入與輸出向量。

輸入的樣本向量如下：換算轉(zhuǎn)速為

增壓比為

輸出的樣本向量如下：

流量系數(shù)為

換算轉(zhuǎn)速和增壓比作為模型輸入，記為

對(duì)應(yīng)的模型輸出為流量系數(shù)，記為

模型的輸出與輸入變量可表示為[12]

式（6）中：fT(x)β是回歸模型，被稱(chēng)為定性漂移；fT(x)是p階線(xiàn)性多項(xiàng)式的回歸模型集合，f(x)=[f1(x)f2(x)…fp(x)]T；β是 回 歸 模 型 系 數(shù)，β= [β1β2…βq]|p×q。回歸模型的理論概念為在設(shè)計(jì)空間上的全局近似。多項(xiàng)式的階次大多數(shù)情況下選擇為0階（常數(shù)）模型[13]。

z(x)為一隨機(jī)函數(shù)，且滿(mǎn)足：

式（8）中：R代表相關(guān)系數(shù)矩陣；矩陣中的元素r是衡量2 個(gè)不同的樣本點(diǎn)之間距離的函數(shù)，它用來(lái)表征輸入變量之間的空間相關(guān)性，即：

式（9）中：N為輸入變量中元素的個(gè)數(shù)；xki、xkj分別是輸入向量xi、xj的第k個(gè)分量[14]，k＝1,2,…,N；Rk(θk,dk)為相關(guān)函數(shù)，常用的相關(guān)模型有球狀模型、指數(shù)模型、線(xiàn)性模型和高斯模型。本文選擇高斯函數(shù)來(lái)確定輸入變量之間的相關(guān)性，其形式如下[15]：

將式（6）代入式（5），所以模型輸出向量根據(jù)計(jì)算可以表示為：

式（11）記為：

設(shè)待估計(jì)點(diǎn)為xnew，則待估計(jì)的輸出點(diǎn)為：

c為樣本點(diǎn)的權(quán)重向量，由于無(wú)偏估計(jì)要求，所以E[y?(xnew)-y(xnew)]=0，通過(guò)構(gòu)造拉格朗日算子，代入式（14），可得估計(jì)值及回歸系數(shù)β*的表達(dá)式，即：

式（15）中，γ*=R-1(Y-Fβ*)。

估計(jì)值的方差為：

2 基于垂距的取樣算法

在選點(diǎn)的過(guò)程中，首先需要全局尋找不確定性較大的數(shù)據(jù)點(diǎn)[16]，還須要結(jié)合曲線(xiàn)特征，精確地反映曲線(xiàn)的曲率大小?；诖咕嗟亩帱c(diǎn)取樣算法便考慮到了以上2點(diǎn)[17]。選擇樣本曲線(xiàn)上的某1個(gè)單點(diǎn)，計(jì)算該點(diǎn)與相鄰2 點(diǎn)連線(xiàn)的垂距，通過(guò)判斷垂距大小的方式來(lái)完成初步選點(diǎn)，再結(jié)合預(yù)測(cè)不確定性的思想，進(jìn)行第2次篩選。在換算轉(zhuǎn)速相同的情況下，每1 個(gè)增壓比都會(huì)存在1 個(gè)與之對(duì)應(yīng)的流量系數(shù)，即它們之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以，在保持換算轉(zhuǎn)速不變的情況下，可以只根據(jù)增壓比和流量系數(shù)來(lái)計(jì)算垂距，進(jìn)而將原本的三維樣本空間簡(jiǎn)化為二維樣本空間。在計(jì)算之前，要根據(jù)現(xiàn)有的樣本數(shù)據(jù)建立初始樣本點(diǎn)集{ }O和基礎(chǔ)點(diǎn)集{M}，建立Kriging 插值模型來(lái)判斷點(diǎn)集{O}是否滿(mǎn)足目標(biāo)精度，然后再使用取樣算法對(duì){M}進(jìn)行選點(diǎn)，篩選出的樣本點(diǎn)組成1個(gè)新的樣本點(diǎn)集{ }A，將點(diǎn)集{ }A加入到初始樣本點(diǎn)集{ }O中。重復(fù)以上步驟，一直往初始樣本點(diǎn)集{ }O中加點(diǎn)，直到Kriging 插值模型能達(dá)到預(yù)期的精度要求。基本流程圖，如圖1所示。

Synthesis, properties and industrial applications of amino acid surfactants 12 5

圖1 基于垂距的多點(diǎn)采樣算法流程Fig.1 Flow chart of multipoint sampling algorithm based on vertical distance

步驟1：在某一相同的換算轉(zhuǎn)速nm下，壓氣機(jī)增壓比和流量系數(shù)之間的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的，即有

其中，t表示在這一換算轉(zhuǎn)速下，流量系數(shù)與增壓比的樣本數(shù)量。m為換算轉(zhuǎn)速的樣本數(shù)量。建立初始樣本點(diǎn)集{ }O，則剩余的樣本點(diǎn)組成點(diǎn)集i=0,1,2,…}。使用當(dāng)前的點(diǎn)集來(lái)建立Kriging 插值模型，提取出誤差最小的點(diǎn)Mk。集合M的式子為：

步驟2：依次檢測(cè)當(dāng)前換算轉(zhuǎn)速下的樣本點(diǎn)的數(shù)量是否大于等于3。如果是，則當(dāng)前換算轉(zhuǎn)速下的所有樣本點(diǎn)進(jìn)行步驟3；如果否，則對(duì)下一個(gè)換算轉(zhuǎn)速下的樣本點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行檢測(cè)。

步驟3：連接Mi-1，Mi+1，計(jì)算點(diǎn)Mi到Mi-1Mi+1連線(xiàn)的距離D。式（19）為D的計(jì)算公式：

D值的高低能夠準(zhǔn)確地體現(xiàn)曲線(xiàn)在這一點(diǎn)的彎曲程度，找到合適的垂距閾值d，檢測(cè)D與d的大小關(guān)系。如果D＆gt;d，進(jìn)行步驟4；如果D＆lt;d，進(jìn)行步驟5。

步驟4：將Mi以及該換算轉(zhuǎn)速下的首尾2 點(diǎn)提取到另一新建空點(diǎn)集{N}，進(jìn)行第5步。

步驟5：將Mi在點(diǎn)列中后移1個(gè)點(diǎn)，進(jìn)行步驟3。

圖2中：a）為基礎(chǔ)點(diǎn)集{M}組成的圖形；b）代表以垂距作為判斷標(biāo)準(zhǔn)的選點(diǎn)；最后被選取的點(diǎn)組成的點(diǎn)集{N}，如c）所示。將c）與a）進(jìn)行比較，可以看出留下的樣本點(diǎn)大部分都是能夠反映原始曲線(xiàn)特征的樣本點(diǎn)。

圖2 基于垂距的曲線(xiàn)采樣方法示意圖Fig.2 Schematic diagram of curve sampling method based on vertical distance

閾值d的選擇沒(méi)有明確的計(jì)算公式，也與樣本點(diǎn)集無(wú)關(guān)[18]。所以,本文在考慮閾值的取值時(shí)，采用迭代法來(lái)尋找最佳閾值。

首先，根據(jù)樣本點(diǎn)的垂距判斷閾值的取值范圍。

然后，再取多個(gè)合適的初始閾值，并設(shè)置一定的間隔，間隔的取值范圍取決于不同樣本點(diǎn)的垂距之差。判斷每一次迭代的選點(diǎn)數(shù)以及最后計(jì)算結(jié)果的精度：如果在選點(diǎn)數(shù)為“0”的情況下依然沒(méi)有達(dá)到目標(biāo)精度，則須更換初始閾值或者閾值間隔，以進(jìn)行下一次迭代；如果達(dá)到目標(biāo)精度，則記錄計(jì)算結(jié)果并進(jìn)行下一次迭代。

最后，將得到的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，以篩選出最佳閾值。

根據(jù)上述流程，篩選出了能夠體現(xiàn)原始曲線(xiàn)圖形特征的樣本點(diǎn)。為了預(yù)測(cè)不確定性，須使用Kriging插值模型計(jì)算點(diǎn)集{N}中各點(diǎn)處預(yù)測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差，將標(biāo)準(zhǔn)差按式（20）進(jìn)行再次篩選，篩選后得出的點(diǎn)便構(gòu)成了候選點(diǎn)集{P}。

把先前所計(jì)算出的誤差最小點(diǎn)Mk加入到{ }P里，接下來(lái)尋找{M}中與{P}相關(guān)的點(diǎn)并將它們?nèi)コ瞬襟E需要使用高斯相關(guān)函數(shù)。選取合適的判斷標(biāo)準(zhǔn)值，根據(jù)計(jì)算出的相關(guān)函數(shù)R與標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比較，以此判斷是否相關(guān)。刪去{M}中與{P}相關(guān)的點(diǎn)以后，將剩余的點(diǎn)提取到1個(gè)新的樣本集{A}中，加上初始樣本{O}，最終樣本點(diǎn)集為{A+O}。

3 仿真驗(yàn)證

將換算轉(zhuǎn)速相同的樣本點(diǎn)記為1 組樣本，現(xiàn)有某型燃?xì)廨啓C(jī)壓氣機(jī)流量系數(shù)樣本共15組[19]，每組有10個(gè)樣本點(diǎn)，一共150個(gè)樣本點(diǎn)。

隨機(jī)選取1組樣本為待驗(yàn)證樣本，剩下的14組作為訓(xùn)練樣本，進(jìn)行隨機(jī)抽取3 次。分別將原始樣本點(diǎn)和基于垂距的多點(diǎn)取樣算法篩選后的樣本點(diǎn)作為Kriging插值模型的輸入。待驗(yàn)證的3組樣本點(diǎn)，如表1所示。

表1 待驗(yàn)證樣本點(diǎn)Tab.1 Sample points to be validated

首先，從14組訓(xùn)練樣本中的每組隨機(jī)抽取1個(gè)樣本點(diǎn)（除首尾2 點(diǎn)），建立初始樣本點(diǎn)集{O}。剩余的126 個(gè)樣本點(diǎn)則組成基礎(chǔ)樣本點(diǎn)集{M}，在此初始基礎(chǔ)樣本點(diǎn)集{M}中搜索誤差最小解，得到點(diǎn)Mk。

只有在同一換算轉(zhuǎn)速下且樣本點(diǎn)滿(mǎn)足數(shù)量大于等于3 的條件時(shí)，才計(jì)算垂距。這樣便降低了原本樣本空間的維度，可以簡(jiǎn)化計(jì)算公式，提升計(jì)算效率。依次檢測(cè)給定換算轉(zhuǎn)速下的樣本點(diǎn)的數(shù)量，并設(shè)置好垂距閾值d、相關(guān)函數(shù)R等初始參數(shù)。

開(kāi)始對(duì)待驗(yàn)證樣本點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，表2 是對(duì)3 組待驗(yàn)證樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)過(guò)程與結(jié)果。

預(yù)測(cè)第1 組待驗(yàn)證樣本點(diǎn)，選取換算轉(zhuǎn)速等于0.331 5 的樣本點(diǎn)組，根據(jù)垂距的大小，選取的垂距閾值d依次為0.001 和0.001 5，b取值為0.1 和0.2，相關(guān)函數(shù)R判斷標(biāo)準(zhǔn)分別為0.000 1 和0.000 1，加點(diǎn)次數(shù)為2次，加點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為76和11。

預(yù)測(cè)第2 組待驗(yàn)證樣本點(diǎn)，選取換算轉(zhuǎn)速等于0.529 2 的樣本點(diǎn)組，根據(jù)垂距的大小，選取的垂距閾值d依次為0.001和0.002，b取值為0.35和0.45，相關(guān)函數(shù)R判斷標(biāo)準(zhǔn)分別為0.1和0.2，加點(diǎn)次數(shù)為2次，加點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為75和35。

預(yù)測(cè)第3 組待驗(yàn)證樣本點(diǎn)，選取換算轉(zhuǎn)速等于0.847 8 的樣本點(diǎn)組，根據(jù)垂距的大小，選取的垂距閾值d依次為0.001、0.001 5、0.002 和0.002 5，b取值分別為0.1、0.2、0.3 和0.4，相關(guān)函數(shù)R判斷標(biāo)準(zhǔn)分別為0.000 1、0.000 12、0.000 14 和0.000 16，加點(diǎn)次數(shù)為4次，加點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為74、10、4和3。

最后，驗(yàn)證選點(diǎn)后的模型精度，并與選點(diǎn)前的Kriging 插值模型進(jìn)行比較。用均方根誤差（Root mean square error，RMSE）和最大絕對(duì)誤差（Max absolute error，MAE）這2 項(xiàng)指標(biāo)來(lái)驗(yàn)證，判斷全局精度和局部精度，均方根誤差公式為[20]：

式（21）中：m為1 組驗(yàn)證樣本（1 條等換算轉(zhuǎn)速曲線(xiàn)）中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；y?為預(yù)測(cè)值；yi為實(shí)際值。

圖3 為流量系數(shù)插值示意圖，黑色曲線(xiàn)為流量系數(shù)的實(shí)際值?？梢钥闯?，相比選點(diǎn)前的Kriging模型的插值精度，選點(diǎn)后的Kriging模型預(yù)測(cè)值的紅色點(diǎn)更靠近代表實(shí)際值的黑色曲線(xiàn)。表3是2種方法結(jié)果的精度檢驗(yàn)。可以看出，對(duì)3組樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)后，使用本方法的RMSE和MAE，都有明顯降低。

圖3 流量系數(shù)插值示意圖Fig.3 Schematic diagram of flow coefficient interpolation

表3 誤差比較Tab.3 Comparison of errors

當(dāng)換算轉(zhuǎn)速為0.847 8時(shí)，選點(diǎn)后的模型相較于選點(diǎn)前的模型精度有較大提高。造成這種結(jié)果的原因是該換算轉(zhuǎn)速下的樣本點(diǎn)過(guò)于冗雜，在對(duì)曲率較小的曲線(xiàn)部分進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)容易受到其他多余樣本點(diǎn)干擾。而選點(diǎn)后的模型使用的樣本點(diǎn)都具有代表性，這便淡化了多余樣本點(diǎn)帶來(lái)的負(fù)面影響，有效解決了此類(lèi)問(wèn)題。

4 結(jié)論

為了提高航空燃?xì)廨啓C(jī)流量系數(shù)的插值建模精度，同時(shí)也為了減少使用樣本的數(shù)量，在傳統(tǒng)Kriging代理模型的基礎(chǔ)上，采用了基于垂距的多點(diǎn)取樣算法。首先，根據(jù)垂距來(lái)刪除多余冗雜的樣本點(diǎn)；然后，使用預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差與高斯相關(guān)函數(shù)來(lái)判斷樣本點(diǎn)的相關(guān)性；最后，只篩選出具有代表性的樣本點(diǎn)，以此來(lái)提高Kriging插值模型精度。仿真表明，該選點(diǎn)方式有效可行，且具有以下特點(diǎn)：

1）采用該取樣算法選點(diǎn)后，Kriging 模型針對(duì)單目標(biāo)點(diǎn)的插值精度得到了明顯的提高；

2）該算法能夠選出最優(yōu)點(diǎn)，并刪除與之相關(guān)的點(diǎn)，節(jié)省了構(gòu)建模型時(shí)所需要使用的訓(xùn)練樣本數(shù)量；

3）選出的點(diǎn)能夠與原始曲線(xiàn)形狀相適應(yīng)，提高了全局精度和局部精度，進(jìn)而提高了計(jì)算效率。