蔣 梅，張 斌

（重慶市南岸區(qū)教師進修學(xué)院；重慶市教育科學(xué)研究院）

“圖形的變化”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要組成部分，是在研究了圖形的性質(zhì)之后對圖形的變化規(guī)律進行的研究.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）對“圖形的變化”部分的學(xué)業(yè)要求是：理解軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移這三類基本的圖形運動，知道這三類運動的基本特征，會用圖形的運動認識、理解和表達現(xiàn)實世界中相應(yīng)的現(xiàn)象；理解幾何圖形的對稱性，感悟現(xiàn)實世界中的對稱美，知道可以用數(shù)學(xué)的語言表達對稱；知道直角三角形的邊角關(guān)系，理解銳角三角函數(shù)，能用銳角三角函數(shù)解決簡單的實際問題；了解圖形相似的意義，會判斷簡單的相似三角形；經(jīng)歷從不同角度觀察立體圖形的過程，知道簡單立體圖形的側(cè)面展開圖.

一、考查內(nèi)容分析

1.考查內(nèi)容

從2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中抽取118份，對這些試卷進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)“圖形的變化”內(nèi)容考查的題型包括選擇題、填空題、操作題和解答題等.其中，有的試題需要直接用概念或性質(zhì)進行識別或判斷；有的試題把圖形的變化置入數(shù)學(xué)情境、生活情境或科學(xué)情境中，考查學(xué)生分析和解決問題的能力及數(shù)學(xué)思維品質(zhì).通過設(shè)置不同層次的試題，考查學(xué)生的抽象能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、運算能力等，在解決實際問題的過程中考查學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

2.分布和分值

在抽取的118份試卷中包含18份統(tǒng)考卷，對其中的“圖形的變化”相關(guān)試題按圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似和投影進行分類統(tǒng)計，并計算這部分分值與該地區(qū)試卷總分的分值占比，統(tǒng)計結(jié)果如表1所示.由表1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出，在抽取的18份統(tǒng)考卷中，“圖形的變化”試題在各份試卷中所占分值與全卷總分的比值在6%～29.2%.其中，分值比達到或超過10%的試卷有16份，占抽樣總數(shù)的88.9%.這說明全國各地區(qū)中考都比較重視對“圖形的變化”專題內(nèi)容的考查.圖形的相似內(nèi)容在各份試卷中出現(xiàn)的頻率和分值占比都比較高，其次是旋轉(zhuǎn)和軸對稱.

表1 “圖形的變化”試題在18份試卷中的分值占比

二、命題特點分析

從命題思路角度分析，2022年中考“圖形的變化”試題依標扣本，內(nèi)容覆蓋面廣，通過對平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變化過程中圖形變化規(guī)律的認識，感悟圖形變化中的不變規(guī)律，并要求學(xué)生應(yīng)用這些規(guī)律解決簡單的問題.利用相似、三角函數(shù)等有關(guān)知識解決生活中的一些實際問題，體現(xiàn)了應(yīng)用意識.試題呈現(xiàn)有梯度，考查平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變化等內(nèi)容，或獨立命題，或與其他知識綜合進行命題.除直接考查外，更多的是綜合性、應(yīng)用性較強且具有創(chuàng)新性的試題.

1.直接識別，簡單應(yīng)用

《標準》中“圖形的變化”這部分包含的內(nèi)容比較多，要求也根據(jù)具體內(nèi)容分為認識、了解、利用、會畫、掌握、能使用等層次.根據(jù)不同層次的要求，所設(shè)計的試題難度各異.直接識別，聚焦于理解平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的基本性質(zhì)，知道直角三角形的邊角關(guān)系，了解圖形的相似與投影在形狀不變大小改變后，相應(yīng)元素變化或不變的關(guān)系，考查學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

（1）識別基本圖形.

例1（福建卷）美術(shù)老師布置同學(xué)們設(shè)計窗花，下列作品為軸對稱圖形的是（ ）.

答案：A.

考查目標：認識現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形，考查學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

命題意圖：此題以窗花為載體，讓學(xué)生在多個窗花的圖形中識別軸對稱圖形.《標準》要求認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱、中心對稱、平移變化.此題是對這一要求的具體呈現(xiàn).

命題評價：此題考查的是日常生活中常見的基礎(chǔ)知識，以容易題的形式出現(xiàn).類似地，天津卷第4題對漢字軸對稱進行辨別，山西卷第2題、青海卷第1題對軸對稱和中心對稱進行辨別，廣西北部灣經(jīng)濟區(qū)卷第2題對平移變化進行識別，北京卷第7題則要求判斷基本圖形的對稱軸條數(shù).

例2（吉林卷）吉林松花石有“石中之寶”的美譽，用它制作的硯臺叫松花硯，能與中國四大名硯媲美.圖1是一款松花硯的示意圖，其俯視圖為（ ）.

圖1

答案：C.

考查目標：判斷空心圓柱的俯視圖，考查學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：此題以吉林的松花硯為背景，體現(xiàn)了“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”這一素養(yǎng).同時融入地方文化，激發(fā)學(xué)生以家鄉(xiāng)資源為傲的家國情懷.

命題評價：2022年多個地區(qū)的中考試卷中都出現(xiàn)了識別幾何體三視圖的試題.例如，天津卷第5題、江西卷第5題、海南卷第4題、福建卷第2題、安徽卷第3題要求直接判斷幾何體的三視圖，云南卷第7題、青海卷第13題、新疆卷第2題、河南卷第2題則是要求根據(jù)三視圖或展開圖推斷出幾何體.用這種方式考查生活中的數(shù)學(xué)常識.例2屬于容易題.

（2）直接運用性質(zhì).

例3（重慶A卷）如圖2，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，相似比為2∶3.若△ABC的周長為4，則△DEF的周長是（ ）.

圖2

（A）4 （B）6 （C）9 （D）16

答案：B.

考查目標：了解位似圖形，知道位似圖形的周長比等于相似比，考查學(xué)生的幾何直觀和推理能力.

命題意圖：位似是特殊的相似，是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)和進入社會生活必備的基礎(chǔ)知識.此題以三角形為背景，考查位似圖形的周長比等于相似比這一性質(zhì).

命題評價：在2022年全國各地區(qū)中考試卷中，或直接給出兩個相似三角形的相似比，或給出對應(yīng)邊的長要求學(xué)生求這兩個三角形的面積之比、對應(yīng)線段之比，或要求學(xué)生直接寫出特殊角的三角函數(shù)值，等等.例如，云南卷第5題要求求出中位線分成的兩個三角形的面積比.例3直接用位似的性質(zhì)即可完成求解，屬于容易題.

例4（河北卷）如圖3，將△ABC折疊，使邊AC落在邊AB上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（ ）.

圖3

（A）中線 （B）中位線

（C）高線 （D）角平分線

答案：D.

考查目標：理解軸對稱的概念，考查學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：以折疊為背景，把折疊轉(zhuǎn)化為軸對稱，結(jié)合三角形的角平分線，考查學(xué)生綜合應(yīng)用角平分線和軸對稱知識的能力.

命題評價：此題結(jié)合圖形考查軸對稱的性質(zhì).把圖形的變化與其他知識融合進行考查是全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中經(jīng)常出現(xiàn)的試題類型.例如，吉林卷第11題把旋轉(zhuǎn)與正六邊形的角度問題融合在一起；福建卷第10題考查三角形平移前后所圍成的四邊形的面積.此題直接用軸對稱和三角形的角平分線性質(zhì)即可得出結(jié)論，屬于容易題.

2.利用變化，關(guān)注思維品質(zhì)

圖形的變化部分強調(diào)的是變化.但是在變化過程中，我們首先應(yīng)該分析變化的類型，在變化過程中找到不變的關(guān)系、變化的規(guī)律，以及不變的數(shù)學(xué)本質(zhì).

（1）在變化中找到不變的關(guān)系.

例5（海南卷）如圖4，點A（0，3），B（1，0），將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，則點D的坐標是（ ）.

圖4

（A）(7，2) （B）(7，5)

（C）(5，6) （D）(6，5)

答案：D.

考查目標：認識平移，理解平移的性質(zhì)，考查學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：在線段平移的過程中，不變的關(guān)系是CD=AB，∠ABC=90°.此題把平移的性質(zhì)與相似三角形、勾股定理和平面直角坐標系相融合.過點D作y軸的垂線，構(gòu)造三角形相似，利用BC=2AB建立等式即可求解.

命題評價：此題把圖形的變化與平面直角坐標系相結(jié)合，與此題類似的還有河南卷第9題、云南卷第14題.除此之外，也有把圖形的變化與求特殊圖形陰影部分面積相結(jié)合進行考查的，如福建卷第10題；還有要求畫出平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱圖形的，如陜西卷第19題和安徽卷第16題.這些試題體現(xiàn)了中考考查知識的覆蓋面和對重點知識的考查情況.

例6（寧夏卷）如圖5，點B的坐標是（0，3），將△OAB沿x軸向右平移至△CDE，點B的對應(yīng)點E恰好落在直線y=2x-3上，則點A移動的距離是_______.

圖5

答案：3.

考查目標：認識平移，理解平移的性質(zhì)，考查學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：在把△ABO向右平移的過程中，每個點的縱坐標保持不變，每個點向右移動的距離相等，即BE=AD.點B平移后對應(yīng)點E的縱坐標在直線y=2x-3上，可求出點E的坐標，得點B平移的距離，即得到點A平移的距離.在此題的條件下，還可以求出點C的坐標.如果此題已知點A的坐標，也可以求出點D的坐標.

命題評價：此題涉及的知識點比較多，需要結(jié)合圖形厘清圖形變化前后不變的關(guān)系是對應(yīng)點的連線相等.此題把平移的性質(zhì)、點的坐標、一次函數(shù)等知識進行綜合考查，給出的數(shù)據(jù)簡單，屬于容易題.

（2）在變化中探尋規(guī)律.

例7（河南卷）如圖6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP=1，將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為點Q，連接AQ，DQ.當∠ADQ=90°時，AQ的長為______.

圖6

考查目標：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，把文字、符號轉(zhuǎn)化為圖形，考查學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，不變的條件是CQ=1.當∠ADQ=90°時，點Q在直線CD上，且點Q可以在△ABC內(nèi)，也可以在△ABC外，分兩種情況考慮，在Rt△ADQ中，用勾股定理求解.

命題評價：此題把旋轉(zhuǎn)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識進行綜合考查，需要考慮兩種不同的情形，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴謹性，有一定的難度.

例8（江西卷）綜合與實踐

問題提出：

某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板PEF（∠P=90°，∠F=60°）的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

操作發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖7（a），若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當OF與OB重合時，重疊部分的面積為_____；當OF與BC垂直時，重疊部分的面積為______；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為_____.

類比探究：

（2）若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE，OP分別與正方形的邊相交于點M，N.

①如圖7（b），當BM=CN時，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；

②如圖7（c），當CM=CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號）.

圖7

拓展應(yīng)用：

（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設(shè)∠GOH=α），將∠GOH繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，試直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含α的式子表示）.（參考數(shù)據(jù)：

考查目標：此題考查旋轉(zhuǎn)過程中與正方形的性質(zhì)相關(guān)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律，以及學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和推理能力.

命題意圖：此題把一個三角板的不同頂點與正方形的中心O重合，當與點O重合的是一個直角時，重合部分面積通過割補可得始終等于正方形面積的當與點O重合的是一個60°的銳角時，可以類比割補的方法，完成對重合部分三角形形狀的判別及四邊形面積的求解，體會重合部分面積的大小會隨著旋轉(zhuǎn)而發(fā)生變化，并通過推理得到重合部分面積最大、最小時的位置.當與點O重合的是任意一個銳角時，可以遷移已有的問題解決策略，猜想、歸納出重疊部分面積最大和最小時的位置，并通過推理得到結(jié)論.此題需要根據(jù)條件準確畫出圖形，結(jié)合猜想，運用所學(xué)知識進行推理論證，體現(xiàn)了對學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力的考查.

命題評價：此題以正方形為命題背景，從熟悉的直角頂點繞著正方形中心旋轉(zhuǎn)過渡到特殊的60°角或一般角（多種版本的教材中都安排了把三角板直角頂點繞著正方形中心旋轉(zhuǎn)的情境），滲透了從特殊到一般的探究思路，體現(xiàn)了“探究—歸納—應(yīng)用”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.這個過程中既有合情推理，又有演繹推理，具有較高的思維含量，屬于較難題.與此題類似的有四川成都卷第26題、湖南湘潭卷第25題、湖南岳陽卷第23題等.

（3）在變化中歸納不變的本質(zhì).

例9（天津卷）如圖8，在△ABC中，AB=AC，若M是邊BC上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點M的對應(yīng)點為點N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）.

圖8

（A）AB=AN （B）AB∥NC

（C）∠AMN=∠ACN （D）MN⊥AC

答案：C.

考查目標：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圖形的相關(guān)性質(zhì)，考查學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：在旋轉(zhuǎn)過程中，始終有△ABM≌△ACN，且對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，這是變化中不變的本質(zhì).找到旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，并由邊角的關(guān)系得到其他結(jié)論，考查學(xué)生對圖形相關(guān)知識的儲備.數(shù)學(xué)知識不是孤立的，在復(fù)習(xí)時，教師要注重幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系.

命題評價：在變化的過程中找到不變的本質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵.

例10（河南卷）綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

（1）操作判斷.

操作1：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

操作2：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM.

根據(jù)以上操作，當點M在EF上時，寫出圖9（a）中一個30°的角：_______.

（2）遷移探究.

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ.

①如圖9（b），當點M在EF上時，∠MBQ的度數(shù)為______，∠CBQ的度數(shù)為_______；

②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖9（c），判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖9

（3）拓展應(yīng)用.

在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ=1cm時，直接寫出AP的長.

答案：（1）∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC.

（2）①15°，15°；②∠MBQ=∠CBQ，理由略.

考查目標：理解軸對稱的概念與基本特征，考查學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和推理能力.

命題意圖：第（1）小題要求學(xué)生直接寫出結(jié)論即可，圖形中的30°角不唯一，為了降低難度，只要求寫出其中的一個即可.當EF是AB，CD中點的連線時，利用軸對稱性質(zhì)可得當點M在線段EF上時，一定存在“BE=AE=”，這是解決問題的關(guān)鍵，即抓住變化中不變的本質(zhì).對于第（2）小題，當紙片是正方形時，在移動點M的過程中，根據(jù)軸對稱性，始終有△BPA≌△BPM，△BMQ≌△BCQ，因此可以得到∠MBQ=∠CBQ.設(shè)置的第（3）小題能夠較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)嚴謹性，點Q可能在線段DF上，也可能在線段CF上，體現(xiàn)的是對學(xué)生空間觀念和思維的完備性的考查，要求較高.畫出圖形后，要根據(jù)線段的對應(yīng)關(guān)系，在Rt△PDQ中利用勾股定理求出線段的長.

命題評價：此題以折紙為背景，考查軸對稱（翻折）性質(zhì)，矩形、正方形性質(zhì)，直角三角形全等，以及勾股定理的綜合應(yīng)用.從矩形到正方形，體現(xiàn)的是從一般到特殊，將圖形不斷特殊化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常用的一種思維路徑.此題設(shè)有3道小題，從易到難，分層設(shè)計，充分考慮了學(xué)生的個性化需求，實現(xiàn)了對學(xué)生進行分層考查的目標.這種有操作、分多個層次的試題命制方式是近年來多地中考壓軸題經(jīng)常采用的.

3.解決問題，滲透學(xué)科素養(yǎng)

數(shù)學(xué)試題常與情境相聯(lián)系，在圖形變化的數(shù)學(xué)情境中滲透幾何直觀，在生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，在科學(xué)情境中培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

（1）在數(shù)學(xué)情境中滲透幾何直觀.

例11（上海卷）如圖10，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，的值為______.

圖10

考查目標：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)隱藏在文字中，體現(xiàn)了文字、符號與圖形的相互轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和推理能力.

命題意圖：若點D是AB的中點，點E在線段AC上，當成立時，點E可能是AC的中點.點E一定是AC的中點嗎？如圖11，以點D為圓心、DE為半徑畫弧，發(fā)現(xiàn)還存在點E′.結(jié)合條件分析，可得△DEE′是等邊三角形.此題要找出所有滿足條件的點E，需要結(jié)合已知條件進行推理，考查學(xué)生思維的嚴謹性.

圖11

命題評價：此題文字簡潔、圖形簡單，但綜合了特殊直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的中位線等知識，綜合性較強.要正確解答此題，需要根據(jù)題意準確畫出不同情況的圖形，這對學(xué)生來說是有一定難度的.

例12（浙江·寧波卷）【基礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖12（a），在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于點G，求證：DG=EG.

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖12（b），在（1）的條件下，連接CD，CG.若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求的值.

【拓展提高】

（3）如圖12（c），在?ABCD中，∠ADC=45°，AC與BD交于點O，E為AO上一點，EG∥BD交AD于點G，EF⊥EG交BC于點F.若∠EGF=40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G=10，求BF的長.

圖12

考查目標：在數(shù)學(xué)情境中，綜合運用多種圖形的性質(zhì)和變化來解決問題，考查學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理，以及綜合分析問題的能力.

命題意圖：以平行線分線段成比例為背景，不斷強化條件，得到結(jié)論.在DE∥BC的條件下，若BF=CF，則DG=EG；若CG⊥DE，則CD=CE.在第（3）小題中，如圖13，利用已發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，延長GE交AB于點H，連接HF.可得HF=GF.由∠EGF=40°，可推出∠BFH=30°.在△BHF中，∠FBH=45°，∠BFH=30°，HF=10，問題變成解含特殊角的三角形.此題應(yīng)用的知識主要有平行線分線段成比例定理、線段的垂直平分線和三角函數(shù).

圖13

命題評價：此題綜合了多個知識點，很好地體現(xiàn)了知識之間的縱橫聯(lián)系.因知識點多、綜合性強，為了正確解答，要注意把條件不斷標注在圖形中，結(jié)合圖形進行分析和思考.這是解答這類試題的一個重要方式.

（2）在生活情境中滲透數(shù)學(xué)抽象.

例13（安徽卷）如圖14，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上.求A，B兩點間的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.）

圖14

答案：96米.

考查目標：運用銳角三角函數(shù)解決簡單的實際問題，考查學(xué)生的抽象能力、幾何直觀和推理能力.

命題意圖：此題根據(jù)實際問題抽象出數(shù)學(xué)問題.由題意可得△ACD是直角三角形，根據(jù)已知條件可求出AC的長，再證明△BCD是直角三角形，求出BC的長，根據(jù)AB=AC-BC可得結(jié)論.此題綜合應(yīng)用了方位角、銳角三角函數(shù)等知識.

命題評價：因為解直角三角形很容易與實際問題聯(lián)系起來，所以此類試題在全國各地區(qū)中考試卷中出現(xiàn)的頻率很高.山西卷第22題、上海卷第22題、河北卷第24題、天津卷第22題與此類似，主要考查學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，并對數(shù)學(xué)問題進行解答的能力.在教學(xué)中，要重視培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力.

例14（重慶A卷）如圖15，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.經(jīng)測量，點C在點A的正東方向，AC=200米.點E在點A的正北方向.點B，D在點C的正北方向，BD=100米.點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°.

圖15

（1）求步道DE的長度（精確到個位）；

（2）點D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點B到達點D，也可以經(jīng)過點E到達點D.試計算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：≈ 1.414，≈1.732.）

答案：（1）283米；（2）經(jīng)過點B到達點D較近.

考查目標：用銳角三角形函數(shù)解決簡單的實際問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀、邏輯推理和運算能力.

命題意圖：此題把解直角三角形和方位角融入實際生活情境中.第（1）小題是學(xué)生比較熟悉的，根據(jù)已知條件可求出DE=第（2）小題設(shè)計了兩條路線，需比較兩條路線的長短.路線A—B—D，需要先求AB的長；路線A—E—D，需要先求AE的長.要正確解答，首先需要讀懂題意，即從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，知道方位角的含義，然后再把要求的線段放進直角三角形中求解.

命題評價：相比學(xué)生熟悉的與實際生活問題相結(jié)合的求物體的高，或在海面上是否有觸礁的危險等情境，例14的情境看起來更加真實.同時，對學(xué)生而言，這種情境在平時練習(xí)中較少出現(xiàn)，在一定程度上體現(xiàn)了公平性.兩道小題有區(qū)分度，體現(xiàn)了對學(xué)生個性化的考查.

（3）在科學(xué)情境中滲透創(chuàng)新意識.

例15（四川·涼山州卷）如圖16，CD是平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)CD上點O反射后照射到點B，若入射角為α，反射角為 β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且AC=3，BD=6，CD=12，則tanα的值為________.

圖16

考查目標：能用銳角三角函數(shù)解決簡單的實際問題，考查學(xué)生的抽象能力和幾何直觀素養(yǎng).

命題意圖：首先，根據(jù)已知條件和光學(xué)知識，判斷△ACO∽△BDO；然后，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立等式，求出CO的長；最后，用三角函數(shù)的定義求出結(jié)果.物理中的光學(xué)知識在此題中主要是數(shù)學(xué)中的軸對稱性質(zhì).

命題評價：為了避免對物理知識掌握的差異影響學(xué)生對此題的解答情況，試題題干中特別用括號的方式備注了物理知識，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科知識考查的公平性.《標準》提倡跨學(xué)科融合，整合數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟、金融、地理、藝術(shù)等學(xué)科領(lǐng)域的知識和思想方法.如何通過創(chuàng)設(shè)科學(xué)的情境考查學(xué)生的認知水平和生活經(jīng)驗，是今后中考命題努力探索的方向.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

1.建構(gòu)體系，形成網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主要任務(wù)之一就是幫助學(xué)生把已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識形成結(jié)構(gòu)化的體系.復(fù)習(xí)時，回歸教材，從一個知識點出發(fā)，不斷把這個知識點和與之相近的知識聯(lián)系起來形成知識網(wǎng)絡(luò)，是一種有效的復(fù)習(xí)方式.

（1）在同一主題內(nèi)形成鏈式結(jié)構(gòu).

“圖形的變化”專題內(nèi)容的學(xué)習(xí)，需要在掌握圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對圖形變化前后對應(yīng)元素的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系進行研究，把這種變化置入平面直角坐標系內(nèi)是一種重要的方式，即圖形與坐標.這是“圖形與幾何”這一領(lǐng)域的鏈式結(jié)構(gòu).在“圖形的變化”這一主題下，包含有圖形的軸對稱、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的平移、圖形的相似、圖形的投影等內(nèi)容.不同版本的教材在安排這幾部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的順序時有微小的區(qū)別，可能是“平移—軸對稱—旋轉(zhuǎn)”，也可能是“軸對稱—平移—旋轉(zhuǎn)”，但旋轉(zhuǎn)一定安排在平移和軸對稱之后.學(xué)習(xí)了這三大變化后，再學(xué)習(xí)圖形的相似和圖形的投影，這是“圖形的變化”部分的鏈式結(jié)構(gòu).形成知識的鏈式結(jié)構(gòu)，可以讓學(xué)生了解知識的來龍去脈.

（2）在同一領(lǐng)域內(nèi)形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu).

初中階段，主要要求學(xué)生對線段、角、相交線與平行線、三角形及特殊平行四邊形的性質(zhì)、變化、坐標進行網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的研究.如果在復(fù)習(xí)時能通過不斷改變一道習(xí)題的條件，把這些知識前瞻后聯(lián)、上串下聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生把知識形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力將會起到極大的促進作用.

（3）在不同領(lǐng)域內(nèi)形成立體體系.

為了實現(xiàn)有效的復(fù)習(xí)，僅僅在“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)對圖形進行研究是不夠的，還需要在解決問題的過程中把這部分知識與其他數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來，以及與其他學(xué)科的知識聯(lián)系起來.例如，勾股定理是溝通圖形的變化和“數(shù)與代數(shù)”的橋梁；相似往往可以與物理學(xué)科中的光學(xué)相聯(lián)系；等等.為了實現(xiàn)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界的核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標，讓學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識形成立體的知識體系是非常有必要的.

2.解題教學(xué)，重在反思

“圖形的變化”專題內(nèi)容在全國各地區(qū)的中考試卷中都占有相當?shù)谋戎?，理解概念的本質(zhì)和各類變化的特征很重要.在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生理解題意、厘清思路、寫出解答，教師都做得很好，但解題教學(xué)的最后一個環(huán)節(jié)——回顧與反思，是各位教師最容易忽視的.數(shù)學(xué)解題的目的是引導(dǎo)學(xué)生獲得“四基”，提升“四能”，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神.通過回顧與反思，進而讓學(xué)生自己梳理學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，思考解題過程中有效的思維路徑，感悟數(shù)學(xué)思想，對解題中出現(xiàn)的經(jīng)驗進行總結(jié)歸納，可以提升復(fù)習(xí)的有效性.針對“圖形的變化”部分解題教學(xué)的回顧與反思環(huán)節(jié)，可以通過一題多變、一題多解、多題一解等方式來提升復(fù)習(xí)的有效性.

（1）一題多變，拓寬思維.

一題多變，對“圖形的變化”這部分內(nèi)容特別適用.在復(fù)習(xí)時，可以找一道典型的題目，這道題目可以來源于教材，也可以是中考試題、競賽題等.對這道題目進行改編，可以把它的已知條件與結(jié)論互換，可以把它的已知條件換一種說法推導(dǎo)相同的結(jié)論，可以在已知條件不變的情況下推導(dǎo)其他的結(jié)論，等等.例如，原題是平移，可以把平移改成軸對稱，或把平移改成旋轉(zhuǎn)，通過這種方式，能實現(xiàn)舉一反三、觸類旁通.

（2）一題多解，尋找規(guī)律.

對于同一道題，結(jié)合已知條件，從不同的角度思考，可以得到不同的解法.教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析這道題目多種解法之間的聯(lián)系，進而發(fā)現(xiàn)這些解法中隱藏的規(guī)律，并把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表達出來.當然，需要引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和歸納規(guī)律，這也是提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力的重要方式.

（3）多題一解，提煉方法.

為了不讓學(xué)生淹沒在茫茫題海中，教師需要先進入“題海”，精選例題和習(xí)題，讓學(xué)生在求解教師精選的例題和習(xí)題的過程中發(fā)現(xiàn)并提煉出這些習(xí)題共同的解答方法，從而實現(xiàn)“會一題，通一類”.在這個過程中，除了能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，更能培養(yǎng)學(xué)生的分類、歸納能力，這是創(chuàng)新能力培養(yǎng)的有效方式之一，也能在一定程度上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力.

在分析2022年全國各地區(qū)中考“圖形的變化”試題的過程中，發(fā)現(xiàn)很多試題可以在教材習(xí)題中找到影子，如前述例3、例8、例10、例13、例15等.因此，復(fù)習(xí)時回歸教材，并把教材上的經(jīng)典題目承載的數(shù)學(xué)思想和育人價值充分挖掘出來，是在復(fù)習(xí)過程中值得做且具有重要意義的事情.

四、典型模擬題

1.如圖17，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，若OB=3OB′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為_______.

圖17

（A）1∶3 （B）1∶4

（C）1∶5 （D）1∶9

答案：D.

2.如圖18，∠BAC=45°，AB=5 cm，D為AC上一點，AD=2 cm，DE∥AB，交BC于點E，點F為直線DE上一點，則FA+FB的最小值為_______.

圖18

3.如圖19，在一條平坦的道路盡頭，有一個塔CD，在點A處測得D的仰角為α，行走s m到達點B處，測得D的仰角為β，BC處是一條小溪，不能穿過去.

圖19

（1）如果 α=30°，β=60°，s=50 m，則塔CD高是多少？

（2）試用含α，β，s的代數(shù)式表示塔CD的高度.

4.已知△ABC是等腰三角形，BA=BC.

（1）如圖20（a），D是△ABC的內(nèi)一點，∠ABC=60°，DA=3，DB=4，DC=5，求∠ADB的度數(shù).

（2）如圖20（b），∠ABC=90°，DA=1，DB=2，DC=3，求∠ADB的度數(shù)和△ABC的面積.

圖20

5.已知△ABC和△ADE，∠BAC=∠DAE.

發(fā)現(xiàn)解決問題：

（1）如圖21（a），AB=AC，AD=AE，可得到BD=CE；如圖21（b），當A，D，E三點在同一直線上，AB=AC=5，AD=AE=∠BAC=∠DAE=90°時，求CE的長；

類比探究拓展：

（2）如圖21（c），若△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE.

（3）如圖21（d），D是△ABC內(nèi)一點，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=3，AC=，求AD的長.

圖21