鄧昌濱，顧廣林

（江蘇省興化市教師發(fā)展中心；江蘇省泰州市九龍實驗學(xué)校）

“數(shù)學(xué)活動”指對于蘊含數(shù)學(xué)模型的真實情境或者似真情境，學(xué)生通過操作、探索等活動經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程，進而獲得“四基”、發(fā)展“四能”、培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度的學(xué)習(xí)活動.將“數(shù)學(xué)活動”界定為數(shù)學(xué)應(yīng)用活動，是對常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)的補充，這樣的“數(shù)學(xué)活動”的教學(xué)內(nèi)容和形式更加豐富和鮮活，使學(xué)生有更廣闊的發(fā)展空間.按照活動內(nèi)容的特征，可以將“數(shù)學(xué)活動”分為設(shè)計、測量、調(diào)查和實驗四類.其中，設(shè)計類“數(shù)學(xué)活動”不只是簡單的操作，而是需要通過作品展示、交流評價等活動進行理性思考，優(yōu)化原有的設(shè)計方案.這種實踐和思維活動能夠促進學(xué)生的計劃能力、審美能力、創(chuàng)新意識與理性精神等素養(yǎng)的提升，彰顯設(shè)計類“數(shù)學(xué)活動”的育人價值.本文以蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊第一章“一元二次方程”中的“數(shù)學(xué)活動 矩形綠地中的花圃設(shè)計”的教學(xué)為例，簡要敘述設(shè)計類“數(shù)學(xué)活動”的教學(xué)結(jié)構(gòu).

一、設(shè)計類“數(shù)學(xué)活動”的教學(xué)結(jié)構(gòu)

課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)是教學(xué)過程中教師、學(xué)生、時間等各教學(xué)要素在同時空內(nèi)的有序組合.設(shè)計類“數(shù)學(xué)活動”是一種體驗式學(xué)習(xí)，需要學(xué)生動手操作、交流展示、思維碰撞、理性概括和邏輯驗證，不斷優(yōu)化設(shè)計方案.其教學(xué)思路一般是通過似真情境引導(dǎo)學(xué)生提出問題，然后設(shè)計出合適的解決問題的方案，最后拓展與延伸，據(jù)此歸納出如圖1所示的教學(xué)結(jié)構(gòu)圖.

圖1

二、設(shè)計類“數(shù)學(xué)活動”的教學(xué)實踐

“數(shù)學(xué)活動 矩形綠地中的花圃設(shè)計”是在學(xué)生已有的幾何與方程相關(guān)知識的基礎(chǔ)上展開的，要求學(xué)生對限定條件的花圃圖案進行開放性設(shè)計，以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維和審美情趣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.本節(jié)課的主要活動過程如下.

1.問題情境，激發(fā)興趣

導(dǎo)入：我們在生活中會看到很多奇特、漂亮的建筑物、廣場、花圃等，它們是設(shè)計師們的創(chuàng)新設(shè)計，傾注著設(shè)計師們的辛勤付出，是時代特征和文化的一種體現(xiàn).下面，讓我們一起去領(lǐng)略一下設(shè)計師們的作品.

教師通過多媒體呈現(xiàn)如圖2～4所示的一系列相關(guān)圖片.

圖2

圖3

圖4

【教學(xué)分析】在活動準(zhǔn)備階段，為學(xué)生提供生活化、開放性的材料，盡可能地提出讓學(xué)生感興趣的問題情境，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望和數(shù)學(xué)思考.

2.提出問題，開放探究

問題1：在一塊長是32 m、寬是24 m的矩形綠地內(nèi)，要圍出一個花圃，使花圃面積是矩形面積的一半.你能給出設(shè)計方案嗎？

【教學(xué)分析】學(xué)生需要基于問題思考，“數(shù)學(xué)活動”的價值就在于它是基于問題的.因此，活動中應(yīng)該重視提出問題的環(huán)節(jié).教學(xué)中，讓學(xué)生通過觀察、操作、猜想等數(shù)學(xué)活動，從情境中提出有價值的數(shù)學(xué)問題，這也是創(chuàng)新的基礎(chǔ).如果學(xué)生感到有難度，教師要引導(dǎo)學(xué)生生成問題.

3.設(shè)計方案，展示作品

活動1：將問題1中設(shè)計的花圃在已知矩形中用陰影表示出來.

活動探究：學(xué)生在小組合作、討論交流后，每組選派代表到黑板前展示，逐步形成如圖5～16所示的方案.

圖5 方案1

圖6 方案2

圖7 方案3

圖8 方案4

圖9 方案5

圖10 方案6

圖11 方案7

圖12 方案8

圖13 方案9

圖14 方案10

圖15 方案11

圖16 方案12

【教學(xué)分析】對數(shù)學(xué)問題進行意義建構(gòu)，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)，體驗數(shù)學(xué)美.再在理解問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生獨立或合作設(shè)計花圃的開放性方案，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維和審美情趣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

4.解決問題，優(yōu)化方案

活動2：上述方案中，對照設(shè)計要求，都符合要求嗎？

通過交流，學(xué)生認(rèn)為設(shè)計后的花圃應(yīng)是一個整體，故方案8不符合要求；通過計算，方案6中的花圃面積是已知矩形面積的，故方案6不符合要求；方案1～方案5，方案7、方案9、方案12符合要求；方案10、方案11條件欠完整，需要進一步補充條件才可行.

活動3：在問題1中，若要圍出一個矩形或圓形花圃，如方案6、方案10，是否可行？

方案10中，若設(shè)計的圓形花圃的面積是矩形面積的一半，則圓的面積為×32×24=384，通過計算可得圓的半徑為≈11.06（m）.

同理，可得方案11中的四個扇形半徑也為11.06 m，則方案10、方案11都可行.

【教學(xué)分析】以學(xué)生體驗為主線，通過分析、嘗試、計算、驗證等數(shù)學(xué)活動，放手讓學(xué)生進行多樣化、開放性的體驗活動，使學(xué)生經(jīng)歷提出假設(shè)、辨析、優(yōu)化（含簡化）等過程.其中，關(guān)鍵步驟要盡量留給學(xué)生自己去做，讓學(xué)生在活動中嘗試解決問題.

5.抽象概括，理性提升

問題2：上述可行方案中，有什么共性特點？你還能設(shè)計出哪些方案？

上述可行方案中，設(shè)計的花圃有矩形、菱形、正方形、等腰三角形、圓形等形狀，分界線主要有線段與圓（弧）兩種.其中，方案10、方案11是以圓（?。榉纸缇€，體現(xiàn)曲線美；方案1、方案4、方案5都是以一條線段為分界線，體現(xiàn)簡潔美，這些分界線都經(jīng)過矩形的中心.因此，只要將此線繞中心任意旋轉(zhuǎn)，就可以得到無數(shù)不同的圖形；方案7中，左右平移三角形的上方頂點，根據(jù)三角形的面積不變性，可以得到更多形狀不同的三角形；方案3、方案9、方案12中，將這兩條分界線分別繞兩個矩形的中心適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，也可以得到許多不同的圖形；方案6、方案10中的矩形與圓形花圃在矩形區(qū)域內(nèi)適當(dāng)平移后，還可以得到更多可行方案.

問題3：在一塊長為32 m、寬為24 m的矩形綠地內(nèi)設(shè)計一個矩形花圃，使四周的綠地等寬，花圃的面積與綠地的面積相等，并計算綠地的寬.

設(shè)花圃四周綠地的寬為x m，由花圃面積為矩形面積的一半，建立方程（32-2x）（24-2x）=384.解得x=24（舍去），或x=4.

也可由四周綠地面積和為矩形面積的一半建立方程，鼓勵學(xué)生從不同的角度建立方程求解.

【教學(xué)分析】數(shù)學(xué)活動的核心要素是理性思維，要嘗試從不同視角對活動進行反思、歸納和總結(jié).活動中要及時引導(dǎo)學(xué)生驗證所設(shè)計方案的合理性與準(zhǔn)確性，體驗平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等圖形變換在設(shè)計類活動中的作用，還要認(rèn)識到數(shù)學(xué)運算、建立方程模型等的重要功能，這種有思維深度的數(shù)學(xué)活動，有利于學(xué)生將感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，逐步使解決問題的策略形成一個整體結(jié)構(gòu)，進而獲得處理復(fù)雜問題的研究方法與手段.

6.實踐應(yīng)用，提升能力

練習(xí)1：為了方便游客觀賞，決定在一塊長為32 m、寬為24 m的矩形綠地中開辟橫豎兩條寬為2 m的小路，然后在剩余的綠地上開辟花圃，使花圃的面積等于剩余面積的一半.試畫出設(shè)計草圖，并計算花圃的面積.

練習(xí)2：某單位準(zhǔn)備在一塊長為30 m、寬為20 m的矩形空地中修兩條縱向平行和一條橫向彎曲的小道，剩余的地方種植花草.如圖17，要使種植花草的面積為532 m2，那么小道的寬度應(yīng)為多少米？（所有小道的寬度均相等.）

圖17

【教學(xué)分析】練習(xí)題的設(shè)計旨在使學(xué)生將以上活動中形成的經(jīng)驗在新情境中遷移應(yīng)用，從小課堂拓展到社會的大課堂，挑戰(zhàn)新問題，向更高點邁步，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新意識、實踐能力和應(yīng)用能力.

三、設(shè)計類“數(shù)學(xué)活動”的育人價值

1.提升學(xué)生的計劃能力

凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢.活動前應(yīng)先通盤規(guī)劃.例如，“矩形綠地中的花圃設(shè)計”的活動目的是什么？規(guī)劃設(shè)計的花圃可以是哪些形狀？如何規(guī)范而清晰地表達設(shè)計方案？如何從可行性、藝術(shù)性、可操作性等視角對諸多方案進行評價？規(guī)劃設(shè)計時應(yīng)該遵循怎樣的步驟？設(shè)計類“數(shù)學(xué)活動”給學(xué)生提供了機會，使學(xué)生在綜合多方因素和充分權(quán)衡后，設(shè)計、辨析并不斷優(yōu)化方案，使方案合理可行，使學(xué)生養(yǎng)成提前計劃的良好習(xí)慣，從而提升學(xué)生的計劃能力，提高他們解決問題的效率.

2.發(fā)展學(xué)生的審美能力

審美能力是指人以審美方式把握世界的一種特殊能力，是人類認(rèn)識美、評價美的能力，包含審美感受力、判斷力、想象力、創(chuàng)造力等.在學(xué)生設(shè)計的花圃圖案中，有三角形、四邊形、圓等形狀，體現(xiàn)了對稱美.運用幾何畫板軟件將已有方案中的圖形進行適當(dāng)旋轉(zhuǎn)、平移等變換時，就可以得到更多方案，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的動態(tài)美.方案6與方案10中，將矩形或圓形花圃的中心左右平移到黃金分割點處時，既實用又好看，體現(xiàn)了藝術(shù)美.在對諸多方案的共性歸納及其變式拓展中，學(xué)生將在生活中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表達出來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一和諧美和數(shù)學(xué)語言美.當(dāng)然，審美能力的形成不是一蹴而就的，而是在系列數(shù)學(xué)活動中逐步培養(yǎng)的.

3.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識

創(chuàng)新意識是對自然界和社會中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有好奇心，不斷追求新知，獨立思考，會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和指出問題，從而進行探索和研究.活動初期，教師通過似真情境引導(dǎo)學(xué)生提出問題，要求學(xué)生在一塊已知矩形綠地內(nèi)，設(shè)計一個符合限定條件的花圃，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，推動學(xué)生從被動創(chuàng)新走向樂于創(chuàng)新.活動中，要求學(xué)生獨立思考、學(xué)會思考，鼓勵學(xué)生到黑板前呈現(xiàn)自己的設(shè)計作品，發(fā)表自己的見解，這是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維的核心.接著，讓學(xué)生對已有方案進行驗證，歸納概括得到的猜想與規(guī)律，這是創(chuàng)新的重要方法.在整個活動過程中，學(xué)生親自參與設(shè)計花圃的全過程，提高了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力，以及抽象能力、概括能力，創(chuàng)新意識也就隨之不斷形成與發(fā)展.

4.培養(yǎng)學(xué)生的理性精神

面對一個新問題，尤其是突發(fā)問題，人的思考更多源于直覺.反思直覺，研究直覺，即為理性.數(shù)學(xué)活動不只是動手操作，活動中更有數(shù)學(xué)思維含量.以本節(jié)課為例，“數(shù)學(xué)活動 矩形綠地中的花圃設(shè)計”中，通常需要經(jīng)歷如下過程：（1）最初的花圃設(shè)計方案是從哪里開始的？（2）為什么這樣設(shè)計？怎樣驗證？（3）還有其他方法嗎？有何規(guī)律？（4）如何尋找更好的方法或更簡潔的表達？活動中，對于具有共性特征的設(shè)計方案，學(xué)生自覺運用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去思考，用數(shù)學(xué)的語言去表達，打通了知識間的聯(lián)系，提高了綜合應(yīng)用知識的能力，則理性精神已在其中.同時，數(shù)學(xué)活動的問題解決需要學(xué)生充分的交往互動，在合作交流中培養(yǎng)了學(xué)生的信息處理能力、表達能力和團隊精神，感受分享與創(chuàng)造的樂趣，這也是學(xué)生未來發(fā)展需要具備的素養(yǎng).