向君幸，吳永紅

（武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430070）

0 引言

自然界中的許多生物系統(tǒng)具有高效率和魯棒性，基于這些關(guān)鍵特性，學(xué)者們提出了不同的元啟發(fā)式算法。元啟發(fā)式算法是一種提高啟發(fā)式技術(shù)性能的隨機(jī)優(yōu)化技術(shù)，具有簡(jiǎn)單、靈活、無衍生機(jī)制和避免局部最優(yōu)等優(yōu)點(diǎn)。種群方法近年來發(fā)展迅速，包含了著名的算法如粒子群優(yōu)化算法［1］和人工蟻群算法［2］，也有新穎的算法如人工蜂群算法［3］和灰狼優(yōu)化［4］。鑒于元啟發(fā)式算法的優(yōu)越性能，學(xué)者已成功將它們用于解決各個(gè)領(lǐng)域的優(yōu)化問題，例如疾病診斷、查詢優(yōu)化、特征選擇、股票預(yù)測(cè)和文本挖掘等應(yīng)用。

研究發(fā)現(xiàn)，蝴蝶利用味覺精準(zhǔn)地尋找到食物和同伴，并且能精確區(qū)分不同氣味與強(qiáng)度。根據(jù)這樣的特性，Arora等［5］構(gòu)建了蝴蝶優(yōu)化算法（Butterfly Optimization Algorithm，BOA）。相較于現(xiàn)有算法，BOA 具有操作簡(jiǎn)單、參數(shù)少、穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)，并且能夠很好地解決實(shí)際問題。但是在處理高維問題時(shí)，BOA 仍存在以下缺點(diǎn)：1）易陷入局部最優(yōu)解、收斂速度較慢；2）全局和局部搜索的范圍相同，只使用了非常有限的特征，沒有充分利用各種特征；3）切換概率沒有隨著搜尋過程進(jìn)行調(diào)整，導(dǎo)致BOA 偏離全局最優(yōu)解。

為改進(jìn)BOA，已有研究結(jié)合BOA 與其他方法進(jìn)行優(yōu)化。如：Arora等［6-7］提出二進(jìn)制蝴蝶優(yōu)化算法、二值蝴蝶優(yōu)化算法和混沌蝴蝶優(yōu)化算法，拓展了BOA 的適用領(lǐng)域；Singh等［8］通過增設(shè)自適應(yīng)參數(shù)，提出了自適應(yīng)蝴蝶優(yōu)化算法等。

上述研究雖然通過不同方式改進(jìn)了BOA 的性能，但也都是改進(jìn)BOA 中的某個(gè)更新策略，并未有效地改進(jìn)全局和局部尋優(yōu)的盲目性。針對(duì)原BOA 收斂精度低和易陷入局部最優(yōu)等問題，本文提出一種基于鄰域重心反向?qū)W習(xí)的混合樽海鞘群蝴蝶優(yōu)化算法（Hybrid Salp Swarm and Butterfly Optimization Algorithm，HSSBOA）。合理結(jié)合BOA 與樽海鞘群算法（Salp Swarm Algorithm，SSA）［9］，使兩種算法各自處理全局和局部階段，有效防止落入局部最優(yōu)解。同時(shí)引入鄰域重心反向?qū)W習(xí)，能夠更好地幫助算法在鄰域內(nèi)進(jìn)行搜索，提高了算法的精度。引入的動(dòng)態(tài)切換概率平衡了局部搜索和全局搜索的比重，能夠更加靈活地區(qū)分切換概率與產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的大小，使當(dāng)前搜索階段有了一個(gè)更合理的設(shè)定，大幅提升算法尋優(yōu)能力。在10 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的測(cè)試結(jié)果表明，HSSBOA 具有更高的收斂精度、收斂速度和穩(wěn)定性，消融實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了各項(xiàng)改進(jìn)方法均為正向作用。最后通過選取兩個(gè)工程設(shè)計(jì)的實(shí)際問題驗(yàn)證了HSSBOA 的應(yīng)用性能，驗(yàn)證了HSSBOA 可用于解決實(shí)際問題。

1 蝴蝶優(yōu)化算法

蝴蝶有獨(dú)特的活動(dòng)方式和運(yùn)動(dòng)軌跡。研究發(fā)現(xiàn)，蝴蝶利用嗅覺、視覺、味覺、觸覺和聽覺尋找食物和伙伴，并且可以通過氣味準(zhǔn)確定位它們的來源。根據(jù)蝴蝶的特性，Arora等［5］構(gòu)建了BOA，BOA 分為以下兩種情形。

1）當(dāng)蝴蝶從搜索空間中最好的蝴蝶那里嗅到香氣時(shí)，便飛向最好的蝴蝶，這就是BOA 的全局搜索階段，表示如下：

其中為第i只蝴蝶第t次迭代的位置；g*為當(dāng)前最優(yōu)解。

2）當(dāng)蝴蝶無法在搜索空間中檢測(cè)到其他蝴蝶的氣味時(shí)，它會(huì)隨機(jī)飛行進(jìn)行搜尋，此階段為局部搜索階段，表示如下：

式（1）、（2）中r為[0，1]中的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，它和切換概率p的大小關(guān)系決定當(dāng)前進(jìn)入全局搜索階段還是局部搜索階段。式（1）、（2）中的fi是氣味感知量，由蝴蝶的感覺模態(tài)、刺激強(qiáng)度組成，根據(jù)模態(tài)的冪指數(shù)計(jì)算得到：

文獻(xiàn)［5］中對(duì)BOA 的參數(shù)進(jìn)行了大量的模擬實(shí)驗(yàn)，因此將c設(shè)為0.01；將a設(shè)為［0.1，0.3］；Ii是由目標(biāo)問題（函數(shù)）計(jì)算得到的適應(yīng)值。

蝴蝶通過以上構(gòu)建的模型，逐步完成搜索，最終精確地尋找到氣味的位置，也就是問題的最優(yōu)解。

BOA 具體的步驟為：

步驟1 初始化感觀模態(tài)c、冪指數(shù)a、切換概率p，并產(chǎn)生數(shù)量為n的蝴蝶

步驟2在下由f()得到Ii。

步驟3 通過式（3）找到最優(yōu)的蝴蝶。

步驟4 從[0，1]中生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)r。

步驟5當(dāng)r＜p時(shí)，通過式（1）向最優(yōu)解移動(dòng)；否則通過式（2）向最優(yōu)解移動(dòng)。

步驟6 返回步驟4，直至遍歷所有種群。

步驟7 更新a的值。

步驟8 返回步驟4，直至達(dá)到最大迭代數(shù)。

2 基于鄰域重心反向?qū)W習(xí)的HSSBOA

為解決BOA 易陷入局部最優(yōu)解和收斂速度較慢的問題，本文從兩個(gè)方面改進(jìn)BOA：首先，結(jié)合BOA 與SSA，防止落入局部最優(yōu)解；其次，引入動(dòng)態(tài)切換概率平衡局部搜索和全局搜索的比重，更加靈活地區(qū)分切換概率與產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的大小，提升算法尋優(yōu)的性能。

2.1 樽海鞘群算法及其改進(jìn)

樽海鞘是一種生存于深海的海洋生物，身體呈透明的桶狀，它的組織與運(yùn)動(dòng)方式與水母相似。通常樽海鞘以集群行動(dòng)，從而通過快速協(xié)調(diào)變化和覓食實(shí)現(xiàn)更好的運(yùn)動(dòng)。Mirjalili等［9］研究了樽海鞘群的運(yùn)動(dòng)方式，并提出了SSA。

SSA 將種群分為領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者。領(lǐng)導(dǎo)者是種群中前段的個(gè)體，其他個(gè)體則視為追隨者。領(lǐng)導(dǎo)者的更新公式為：

其中：t是當(dāng)前迭代數(shù)；Maxiter是最大迭代數(shù)。

追隨者的更新公式為：

其中：i≥2；代表第j維的追隨者。

然而，在SSA 中，跟隨者跟蹤前一個(gè)個(gè)體以更新位置。這種盲目運(yùn)動(dòng)使解的分布過于有限，嚴(yán)重影響了算法的優(yōu)化能力。本文使用自適應(yīng)慣性權(quán)重提高算法的研究和開發(fā)能力。算法中的追隨者更新方法如下：

其中：w(t)是第1 次迭代t的慣性權(quán)重，w(t)隨迭代過程自適應(yīng)地減小。

從式（7）可以看出，隨著w(t)的減小，追隨者的運(yùn)動(dòng)范圍越來越小。在下一迭代步驟中，追隨者在最后一次迭代位置的指導(dǎo)下執(zhí)行局部?jī)?yōu)化。該策略在一定程度上提高了算法的優(yōu)化能力，但是它只考慮對(duì)先行追隨者行動(dòng)的負(fù)面影響，忽略了先前個(gè)體的積極影響。該策略會(huì)進(jìn)一步削弱先前個(gè)體的影響力，使先前個(gè)體失去更好的身體地位。

因此，本文提出自適應(yīng)權(quán)重的改良方法。此方法與慣性權(quán)重的初始值和最終值以及當(dāng)前迭代次數(shù)有關(guān)：當(dāng)?shù)螖?shù)為0，此時(shí)慣性權(quán)重為初始值；隨著迭代次數(shù)的增加，慣性權(quán)重按一定比例變??；直到迭代次數(shù)最大時(shí)，慣性權(quán)重達(dá)到最終值。具體的更新公式為：

其中：ws和wf分別為慣性權(quán)重的初始值和最終值。慣性權(quán)重w(t)的取值應(yīng)滿足以下條件：

1）在迭代過程中，追隨者當(dāng)前位置和前個(gè)體位置應(yīng)始終保持更新；

2）慣性權(quán)重在迭代過程中應(yīng)起積極作用。

由條件1）可知：

由條件2）可知：

因此，慣性權(quán)重的取值范圍應(yīng)滿足(0，0.5]。經(jīng)過多次模擬可知，若將wf設(shè)置得過小，會(huì)導(dǎo)致迭代過程中慣性權(quán)重減小過快，不利于算法尋優(yōu)。因此，將ws和wf分別取0.5 和0.1 的擬合結(jié)果最優(yōu)。圖1 給出了w(t)的迭代過程變化。

圖1 權(quán)重迭代過程Fig.1 Iteration process of weight

2.2 鄰域重心反向?qū)W習(xí)

反向?qū)W習(xí)是Tizhoosh［10］提出的數(shù)學(xué)模型，主要思想是通過綜合評(píng)價(jià)當(dāng)前解和反向解以選擇一個(gè)更優(yōu)解。

為了考慮更多的種群間的信息，Rahnamayan等［11］提出了重心反向點(diǎn)。種群的重心M定義為：

則整體中的某一點(diǎn)的反向點(diǎn)為：

為進(jìn)一步拓展反向搜索的范圍，提升搜尋的效率和精度，文獻(xiàn)［12］中提出了鄰域重心反向解：

其中：mi是個(gè)體i在鄰域內(nèi)個(gè)體的數(shù)目；k為搜索因子，是[0，1]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

所以可將鄰域重心反向?qū)W習(xí)運(yùn)用到BOA 中，將通過鄰域重心反向?qū)W習(xí)得到的新解與BOA 運(yùn)行后得到的解進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算公式如下：

2.3 高斯擾動(dòng)

在BOA 中，個(gè)體和全局最優(yōu)位置在搜索過程中會(huì)互相吸引。種群中的個(gè)體將在個(gè)體最優(yōu)位置和迄今為止所有個(gè)體找到的全局最優(yōu)位置之間波動(dòng)。然而，當(dāng)全局最優(yōu)個(gè)體陷入局部最優(yōu)時(shí)，其他個(gè)體會(huì)朝著全局最優(yōu)個(gè)體的方向飛行，因此，在搜尋過程中會(huì)很容易陷入停滯，即陷入局部最優(yōu)。

由于BOA 不能避免局部最優(yōu)解，因此采用高斯擾動(dòng)以提高全局搜索能力并探索搜索空間?？紤]到全局和個(gè)體最佳位置的鄰近區(qū)域，可以擴(kuò)展它們固定位置的搜索空間，有助于整個(gè)蜂群飛到更好的位置。這種方式可以通過對(duì)全局最佳位置的高斯擾動(dòng)實(shí)現(xiàn)。高斯分布的一維概率為：

高斯分布函數(shù)在當(dāng)前位置附近產(chǎn)生擾動(dòng)，更容易避開局部最優(yōu)解，并削弱極限點(diǎn)的約束力。利用高斯擾動(dòng)可以增加種群的多樣性，提高全局搜索最優(yōu)值的能力；利用高斯分布函數(shù)還可以縮短變異蝴蝶在鄰域內(nèi)的搜索時(shí)間；同時(shí)，利用擾動(dòng)兩端的突變效應(yīng)，加入高斯擾動(dòng)可對(duì)全局搜索進(jìn)行優(yōu)化。因此，改進(jìn)后的BOA 具有很好的全局尋優(yōu)能力。

根據(jù)以上分析，擾動(dòng)項(xiàng)的取值應(yīng)在0 附近，所以將μ的值取為0。σ可以隨迭代步驟的進(jìn)行而自適應(yīng)：在迭代初期，為了能廣泛地搜索最優(yōu)解，σ的值應(yīng)相對(duì)較大；隨著迭代的進(jìn)行，σ的值應(yīng)該逐漸減小，才能搜尋較小范圍內(nèi)的最優(yōu)解。所以σ的迭代公式為：

其中：σmax=2；σmin=1；tmax為最大迭代次數(shù)?？蓪⑹剑?）改為：

2.4 動(dòng)態(tài)切換概率

在BOA 中，局部和全局搜索用常量切換概率p∈[0，1]控制。一個(gè)合理的搜索過程應(yīng)在算法前期進(jìn)行較大范圍的全局搜索，迅速定位搜索空間中全局最優(yōu)解的范圍。因此引入動(dòng)態(tài)切換概率平衡局部和全局搜索的比重，實(shí)現(xiàn)更好的尋優(yōu)策略。

迭代初期搜尋到的蝴蝶是最優(yōu)解的概率較低，隨著迭代的進(jìn)行，搜尋結(jié)果是最優(yōu)解的概率增加，即迭代次數(shù)和切換概率成正比。為了在初期使兩個(gè)搜索階段的可能性相等，將初始切換概率設(shè)置為0.5，將最終切換概率設(shè)置為0.8，能夠讓最后一次迭代有大概率搜索到全局最優(yōu)的蝴蝶。因此可以構(gòu)建一個(gè)p與t的線性函數(shù)，動(dòng)態(tài)切換概率p如下：

2.5 算法參數(shù)設(shè)置

HSSBOA 中所有的參數(shù)如表1 所示。

表1 HSSBOA中的參數(shù)Tab.1 Parameters in HSSBOA

2.6 算法步驟

HSSBOA 的具體步驟如下：

步驟1 輸入初始化感覺模態(tài)c、冪指數(shù)a、切換概率p、參數(shù)c2和c3，并產(chǎn)生數(shù)量為n的蝴蝶

步驟2在下由f()得到Ii。

步驟3 通過式（3）計(jì)算個(gè)體的氣味，并找到最優(yōu)個(gè)體。

步驟4從[0，1]中生成隨機(jī)數(shù)r，計(jì)算c1與切換概率pt。

步驟5當(dāng)r＜pt時(shí)，通過式（18）向最優(yōu)解移動(dòng)；否則通過式（7）向最優(yōu)解移動(dòng)。

步驟6 返回步驟4，直至遍歷所有種群。

步驟7 更新a、pt、c1的值。

步驟8 生成隨機(jī)數(shù)k，按式（12）計(jì)算出M，并通過式（15）進(jìn)行迭代。如果新解的適應(yīng)度值比原解更好，則用新解代替原來的解，否則保留原解。

步驟9 返回步驟4，直至達(dá)到最大迭代數(shù)。

2.7 算法的流程

設(shè)置算法的種群規(guī)模為N，最大迭代次數(shù)為Maxiter，維數(shù)為d。根據(jù)HSSBOA 的時(shí)間復(fù)雜度的運(yùn)算規(guī)則，初始化種群的時(shí)間復(fù)雜度為O(N·d)，整個(gè)搜尋最優(yōu)解的時(shí)間復(fù)雜度為O(N·d)，利用SSA 對(duì)搜索位置進(jìn)行更新的時(shí)間復(fù)雜度為O(d)，故HSSBOA 總時(shí)間復(fù)雜度為O(N·d·Maxiter)。可見HSSBOA 與BOA 的時(shí)間復(fù)雜度相同，并未增加算法的負(fù)擔(dān)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境

實(shí)驗(yàn)環(huán)境為：操作系統(tǒng)macOS 12.0，CPU 為Intel Core i5，主頻2.3 GHz，內(nèi)存8 GB，仿真軟件為Matlab 2021b。

3.2 實(shí)驗(yàn)的初始參數(shù)設(shè)置

本文選 取BOA［5］、SSA［9］、鯨魚優(yōu) 化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）［13］、哈里斯 鷹算法（Harris Hawks Optimization，HHO）［14］作為HSSBOA 的比較對(duì)象。所有算法的迭代次數(shù)均設(shè)為500，種群數(shù)設(shè)為30，其他算法的參數(shù)與相應(yīng)文獻(xiàn)中的設(shè)定保持一致。

3.3 檢測(cè)函數(shù)

表2 列出了本文選取的標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)函數(shù)，其中：F1～F5為單峰檢測(cè)函數(shù)；F6～F10為多峰檢測(cè)函數(shù)。

表2 標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)函數(shù)相關(guān)描述Tab.2 Description of benchmark functions

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文從收斂精度、收斂速度以及穩(wěn)定性三個(gè)方面將HSSBOA 與BOA、SSA、HHO 和WOA 進(jìn)行對(duì)比。在實(shí)驗(yàn)中，為了減小統(tǒng)計(jì)誤差并使結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)意義，每個(gè)函數(shù)獨(dú)立重復(fù)30 次。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3 中“30 維”列所示。

單峰函數(shù)只有1 個(gè)全局最優(yōu)值，能夠評(píng)估算法的開發(fā)能力。對(duì)于單峰函數(shù)F1～F5，HSSBOA 的平均值（mean）和標(biāo)準(zhǔn)偏差（std）都優(yōu)于對(duì)比算法，在所有的單峰函數(shù)問題中都能達(dá)到理論最優(yōu)值。所以，HSSBOA 在單峰函數(shù)方面具有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。BOA 和SSA 無法獲得理論最優(yōu)值，HHO 和WOA 則是繼HSSBOA 之后最有效的算法。相較于BOA，HSSBOA 的結(jié)果更優(yōu)，表明它有效地提高了BOA 的開發(fā)能力。HSSBOA 的高性能歸功于在局部搜索階段結(jié)合了SSA，因此能有效地避免陷入局部最優(yōu)。

與單峰函數(shù)不同，多峰函數(shù)在搜索空間中具有多個(gè)局部最優(yōu)解，可用于評(píng)估算法的探測(cè)能力?？梢钥闯?，對(duì)于多峰函數(shù)F6～F10，HSSBOA 的結(jié)果最有效并且極具競(jìng)爭(zhēng)力，可以達(dá)到F6～F9的理論最佳值；HHO在F7～F8上達(dá)到了理論最優(yōu)值，其他算法的性能從高到低依次為WOA、SSA、BOA。因此，在所有標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)中，HSSBOA 始終是最佳的算法，表明HSSBOA在收斂精度方面具有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。

此外，還對(duì)HSSBOA 在高維數(shù)據(jù)中的性能進(jìn)行了研究。將函數(shù)維度增加到500，其他參數(shù)保持不變，每個(gè)算法同樣重復(fù)運(yùn)行30 次。如表3 中“500 維”列所示，HSSBOA 在高維度的F1～F2以及F5～F9達(dá)到了理論最優(yōu)。雖然HSSBOA在F3上的性能下降，但變化可以忽略不計(jì)。根據(jù)無免費(fèi)午餐（No Free Lunch，NFL）定理［15］，沒有任何算法可以解決所有優(yōu)化問題，因此該結(jié)果可以接受。HHO 在高維方面不如HSSBOA，高維數(shù)據(jù)的精度均有不同程度的降低，特別是在F6和F9上有較大幅度的減小。WOA 和HHO 的精度也有顯著降低。在高維度情況下，HSSBOA 整體的精度也都優(yōu)于HHO 和WOA。因此，HSSBOA 的穩(wěn)定性優(yōu)于HHO 和WOA。

表3 標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Experimental results on benchmark functions

如圖2 所示，HSSBOA對(duì)F7、F8和F10的收斂十分顯著，最多只需要150 次迭代就可以收斂到最佳值。隨著F1、F3和F7迭代次數(shù)的增加，HSSBOA 的收斂速度加快。雖然在F3、F4、F7和F8中HHO 的收斂速度更快，但是隨著迭代過程進(jìn)行，HSSBOA 能夠收斂到更精確的解。在F7、F8和F10中HHO 和WOA 也能收斂到與HSSBOA 相同的解，但是可以明顯看出HSSBOA 收斂的迭代次數(shù)比前兩種算法要更少，因?yàn)镠SSBOA 的動(dòng)態(tài)切換概率加快了搜索過程。對(duì)HSSBOA 和BOA 進(jìn)行進(jìn)一步比較可以看出，HSSBOA 得到的擬合值更準(zhǔn)確，并且在迭代過程中具有更快的收斂速度。這說明本文的改進(jìn)方法能有效提高BOA 的收斂性能。因此，在收斂速度方面，HSSBOA 比BOA、HHO、SSA 和WOA 更具競(jìng)爭(zhēng)力。

圖2 收斂速度對(duì)比Fig.2 Comparison of convergence speed

3.5 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

本文還進(jìn)行了t檢驗(yàn)。表4 給出了該雙尾檢驗(yàn)每個(gè)函數(shù)的t值和p值，HSSBOA 和另外算法之間的顯著性水平為0.05。表5 總結(jié)了HSSBOA 和另外算法之間t檢驗(yàn)的結(jié)果。從表5 可看出，相較于BOA、SSA，HSSBOA 在所有函數(shù)上的表現(xiàn)明顯更優(yōu)；相較于HHO、WOA，HSSBOA 在絕大部分函數(shù)上的表現(xiàn)更好，除了在部分函數(shù)（F7、F8、F10）上性能表現(xiàn)相同。因此，HSSBOA 總體上優(yōu)于BOA、SSA、HHO 和WOA，擁有更高的性能。

表4 HSSBOA與其他算法的t檢驗(yàn)比較Tab.4 Comparison of t test between HSSBOA and other algorithms

表5 t檢驗(yàn)對(duì)比結(jié)果Tab.5 Comparison results of t-test

3.6 MAD排序

為了更好地評(píng)估HSSBOA 與4 種元啟發(fā)式算法的勘探能力和收斂精度，采用平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error，MAE）進(jìn)行排序。MAE 是一個(gè)反映算法最優(yōu)值和理論最優(yōu)值差距的有效統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，計(jì)算公式為：

其中：mi為算法取得的最優(yōu)解的平均值；oi為相應(yīng)的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的理論最優(yōu)值；Nf為基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)個(gè)數(shù)。

各算法的MAE 排序如表6 所示?？梢钥闯?，HSSBOA 具有最小的MAE，表明了HSSBOA 的優(yōu)越性。

表6 HSSBOA與其他算法的MAE排序Tab.6 MAE ranking of HSSBOA and other algorithms

3.7 消融實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證HSSBOA 各項(xiàng)改進(jìn)的作用和有效性，以本文所用的10 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)函數(shù)為例進(jìn)行消融實(shí)驗(yàn)，分別計(jì)算HSSBOA、HSSBOA 去除改 進(jìn)SSA（記 為“HSSBOA改進(jìn)SSA”）、HSSBOA 去除鄰域重心反向?qū)W習(xí)（記為“HSSBOA鄰域重心反向?qū)W習(xí)”）、HSSBOA 去除高斯擾動(dòng)（記為“HSSBOA高斯擾動(dòng)”）和HSSBOA 去除動(dòng)態(tài)切換概率（記為“HSSBOA動(dòng)態(tài)切換概率”）的MAE。具體結(jié)果如表7 所示。

表7 消融實(shí)驗(yàn)的結(jié)果對(duì)比Tab.7 Comparison of ablation experimental results

通過表7 可知，將本文的4 項(xiàng)改進(jìn)分別去除后，MAE 都有不同程度增加，說明改進(jìn)的內(nèi)容對(duì)算法都是正向作用。其中，改進(jìn)SSA 對(duì)算法的影響最大，其次是鄰域重心反向?qū)W習(xí)、動(dòng)態(tài)切換概率、高斯擾動(dòng)。表7 表明了HSSBOA 各項(xiàng)改進(jìn)的合理性和有效性。

4 實(shí)際問題應(yīng)用

將SSBOA 將用于測(cè)試兩個(gè)工程設(shè)計(jì)問題：彈簧設(shè)計(jì)和焊接梁設(shè)計(jì)。以上數(shù)學(xué)問題可視為無約束優(yōu)化問題，相對(duì)容易求解。然而，約束優(yōu)化問題對(duì)于元啟發(fā)式算法來說是一個(gè)挑戰(zhàn)。因此，本文選擇了幾個(gè)具有代表性的多約束工程設(shè)計(jì)問題來評(píng)估HSSBOA 的性能。約束問題通常用罰函數(shù)來解決，本文采用死亡罰函數(shù)［16］來解決這些問題。

4.1 彈簧設(shè)計(jì)

此問題在于設(shè)置鋼絲直徑d、平均線圈直徑D和移動(dòng)線圈數(shù)N的值，最小化彈簧的重量，示意圖如圖3 所示?？紤]x=(x1，x2，x3)=(d，D，N)，約束公式如下：

圖3 彈簧示意圖Fig.3 Schematic diagram of spring

其中：0.05 ≤x1≤2.00；0.25 ≤x2≤1.30；2.00 ≤x3≤15.00。

數(shù)學(xué)方法和元啟發(fā)式算法都能夠解決該問題。將HSSBOA 的仿真結(jié)果與其他元啟發(fā)式算法以及數(shù)學(xué)方法（數(shù)學(xué)優(yōu)化［17］和約束校正［18］）進(jìn)行比較。如表8 所示，HSSBOA結(jié)果優(yōu)于所有對(duì)比方法。

表8 各方法求解彈簧設(shè)計(jì)問題結(jié)果的比較Tab.8 Result comparison of solving spring design problem by different methods

4.2 壓力容器設(shè)計(jì)

該問題的目標(biāo)是使壓力容器的重量最小化，如圖4 所示。需要設(shè)置殼體厚度Ts、封頭厚度Th、內(nèi)徑R、圓柱形截面長度L的值?？紤]x=(x1，x2，x3，x4)=(Ts，Th，R，L)，約 束公式如下：

圖4 壓力容器示意圖Fig.4 Schematic diagram of pressure vessel

其中：0 ≤x1≤99；0 ≤x2≤99；10 ≤x3≤200；10 ≤x4≤200。

將優(yōu)化結(jié)果與群智能算法和數(shù)學(xué)方法（拉格朗日乘數(shù)［19］和分支界［20］）進(jìn)行比較，如表9 所示。可以看出HSSBOA優(yōu)于所有其他方法。

表9 不同方法求解壓力容器設(shè)計(jì)問題結(jié)果的比較Tab.9 Result comparison of solving pressure vessel design problem by different methods

以上兩個(gè)經(jīng)典工程問題的結(jié)果表明，HSSBOA 在解決復(fù)雜和非線性問題方面具有很高的性能，可以避免局部最優(yōu)，并找到有效的適應(yīng)度。這些復(fù)雜問題的成功解決表明HSSBOA 具有強(qiáng)大的搜尋能力以及良好的收斂性能，說明HSSBOA 可以解決實(shí)際問題。

5 結(jié)語

本文提出了一種改進(jìn)的蝴蝶優(yōu)化算法HSSBOA，結(jié)合蝴蝶優(yōu)化算法與改進(jìn)的樽海鞘群算法，兩種算法各自處理全局和局部階段，能夠有效防止落入局部最優(yōu)中。同時(shí)還引入了鄰域中心反向?qū)W習(xí)、高斯擾動(dòng)和動(dòng)態(tài)切換概率，平衡了局部搜索和全局搜索的比重，能夠更加靈活地區(qū)分切換概率與產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的大小，提升算法尋優(yōu)的性能。對(duì)10 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，從收斂精度、收斂速度、Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)、MAE 排序、高維度數(shù)據(jù)五個(gè)方面進(jìn)行了分析。結(jié)果表明相較于其他群智能算法，HSSBOA 具有較好的尋優(yōu)性能、較快的收斂速度以及較高的穩(wěn)定性。消融實(shí)驗(yàn)證明了改進(jìn)方法均為正向作用。此外，本文還通過兩個(gè)經(jīng)典工程問題驗(yàn)證了HSSBOA 在實(shí)際應(yīng)用中的良好性能。接下來的研究方向是拓展HSSBOA 在特征選擇中的應(yīng)用。