郭逸兮 楊 藝 尹 碩 范 婷

(石河子大學(xué)理學(xué)院，新疆 石河子 832000)

物理教學(xué)過程中，對(duì)于碰撞問題，大部分教科書都會(huì)涉及.人教版高中物理課本[1]中講述了可看作質(zhì)點(diǎn)的物體的碰撞.在大學(xué)物理力學(xué)教程中，[2]總結(jié)了惠更斯和牛頓在這方面的研究，并介紹了恢復(fù)系數(shù)概念.并在例題中展示了圓柱體在完全非彈性情況下的碰撞.在奧林匹克競(jìng)賽物理教程中，[3]對(duì)以輕桿連接的小球的碰撞進(jìn)行了討論.而李海龍先生和鄭金先生也曾對(duì)競(jìng)賽中的該類問題處理做了有借鑒意義的討論.[4-5]在以上方法處理的問題中，題干里面常有與光滑的面進(jìn)行碰撞，或者是碰撞期間的摩擦力忽略不計(jì)等設(shè)定.而在一些比較貼近現(xiàn)實(shí)的問題中，摩擦力是否可以忽略不計(jì)呢？

尹小剛先生曾經(jīng)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了研究.[6]該篇論文中，假設(shè)小球在平行于碰撞面的方向有水平分量，并給出結(jié)論，摩擦力在碰撞過程中產(chǎn)生的沖量是不可忽略的.而對(duì)于碰撞時(shí)有水平分量，且有轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，劉延柱先生曾經(jīng)做過相關(guān)的研究，[7]即摩擦碰撞的Kane難題.文中特別指出，如果用恢復(fù)系數(shù)去處理該類問題，就可能造成能量不守恒的情況.

筆者以IYPT賽題圓柱體骰子為例，建立了包含摩擦力的碰撞理論，避免了采用碰撞系數(shù)，并以程序計(jì)算和驗(yàn)證二次碰撞的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.

1 質(zhì)點(diǎn)碰撞理論的局限

1.1 反彈系數(shù)應(yīng)用誤區(qū)

首先可以這樣考慮，假如有一個(gè)很理想的長(zhǎng)方體與水平地面成某一夾角，自由落體，落在地面上.這種情況下的碰撞，該如何考慮？顯然以不同角度落在地上的圓柱體，彈起的高度是不一樣的，如圖1，也就是說在這個(gè)問題里面并沒有一個(gè)常數(shù)可以用來表示反彈高度與下落高度之間的關(guān)系.因此碰撞系數(shù)這一概念在該類問題中不再適用.

圖1 各角度落下反彈高度不同

因?yàn)樵谂鲎策^程中碰撞使圓柱體產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)，而只要存在這個(gè)旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)的速度不同，所彈起的高度也不同，如果堅(jiān)持用圓柱體材料本身的彈性系數(shù)來進(jìn)行計(jì)算的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)，碰撞之后的能量大于初始能量.例如某圓柱體彈性系數(shù)e=1，以角度θ從高度h下落，與地面碰撞，由于e=1，其碰撞前后速度相等，那么顯然可以回到初始高度，但這是由于碰撞圓柱體產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)，所以產(chǎn)生了額外的轉(zhuǎn)動(dòng)能量，此時(shí)圓柱體具有的能量大于初始能量，故以碰撞系數(shù)解決此問題的思路不適用.前人在處理旋轉(zhuǎn)的球體碰撞問題中遇到過能量增加的情況，即Kane難題，[7]二者都是在產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的碰撞中錯(cuò)誤使用碰撞系數(shù)造成的.

1.2 水平速度的產(chǎn)生

如果不使用彈性系數(shù)而直接使用高中競(jìng)賽中常用的以沖量為出發(fā)點(diǎn)的碰撞理論來處理圓柱體的碰撞問題，會(huì)發(fā)生什么情況呢？

此處簡(jiǎn)單交代清楚以下公式及物理量：

角速度與沖量關(guān)系如下，其中J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，l為接觸點(diǎn)到質(zhì)心的距離

(1)

豎直速度與沖量關(guān)系如下

(2)

由機(jī)械能守恒，可推得落地前的速度

(3)

不考慮摩擦，整體能量守恒

(4)

將(1)-(3)式代入(4)式得

(5)

解得

聯(lián)立了能量方程、動(dòng)量方程和角動(dòng)量方程，發(fā)現(xiàn)確實(shí)可描述該問題.但由于忽略了摩擦力，碰撞后質(zhì)心位置不會(huì)變化，而實(shí)際上，圓柱體如果進(jìn)行自由落體的話，是會(huì)產(chǎn)生水平速度的，碰撞前后情況如圖2.

圖2 碰撞前后圖片截取

我們用Tracker軟件進(jìn)行了位置追蹤，得到的圖像如圖3.

圖3 Tracker逐幀追蹤

提取其坐標(biāo)點(diǎn)，進(jìn)行擬合后如圖4.

圖4 對(duì)位置的軌跡擬合

忽略摩擦力的碰撞理論無法解釋此時(shí)產(chǎn)生水平速度的原因，與實(shí)際情況有較大偏差.

2 非質(zhì)點(diǎn)碰撞理論的建立

2.1 建立必要性

歷年IYPT賽題中和碰撞理論相關(guān)的問題，往往研究論文極少.例如2022年第7題圓柱體骰子中涉及的碰撞問題，如果采用常用的不考慮摩擦的碰撞理論，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)圓柱體骰子無法停下，因?yàn)闆]有任何的能量損失，投擲結(jié)果便永遠(yuǎn)無法得知.所以建立一個(gè)討論摩擦力作用下的碰撞理論十分必要.

2.2 模型簡(jiǎn)化

由于圓柱體本身的對(duì)稱關(guān)系，可以看到，不管它以何種水平夾角落到地面上，運(yùn)動(dòng)區(qū)間都是其質(zhì)心-受力點(diǎn)連線所在的豎直平面.故在這里可以采用二維化的方法處理問題.

由于不同材料恢復(fù)彈性形變的耗能是不同的，并且沒有一個(gè)統(tǒng)一的理論可以將其描述，這里只討論恢復(fù)彈性形變的耗能可以忽略不計(jì)的材料.

由于現(xiàn)實(shí)中骰子本身的性質(zhì)，只討論碰撞形變極小，恢復(fù)時(shí)間極短的材料，且在這種情況下，不存在因摩擦力使運(yùn)動(dòng)反向的情況.

2.3 正方向和參數(shù)設(shè)定

為方便確定碰撞中的受力方向和判斷最終狀態(tài)，做如下規(guī)定.

速度分量和角速度正方向如圖5所示.

圖5 正方向的標(biāo)注

接觸點(diǎn)速度在水平上投影的方向表示為j，

若vx+ωlsinθ<0，則j=-1；

若vx+ωlsinθ>0，則j=1；

若vx+ωlsinθ=0，則j=dir.

由于第1次碰撞之前接觸點(diǎn)水平速度為0，但是碰撞途中產(chǎn)生了速度，定義dir用于代表第1次碰撞時(shí)產(chǎn)生的速度的方向.

若cosθ>0，dir=-1；若cosθ<0，dir=1；若cosθ=0，dir=0.

相關(guān)參數(shù)及變量：

初始條件：夾角為θ0，初始高度為h，初始角速度w0=0，初始速度v0=0；

物理參數(shù)：物體重量為m，與地面摩擦因數(shù)為μ；

第i次碰撞前水平速度為vi-1x， 豎直速度為vi-1y，角速度為ωi-1；

第i次碰撞后水平速度為vix， 豎直速度為viy，角速度為ωi， 下落時(shí)間為ti.

2.4 碰撞過程中摩擦力做功

由沖量定義，可以把碰撞中所受的力寫為沖量關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)

(6)

摩擦力為正壓力與摩擦因數(shù)μ的乘積

f(t)=-jμF(t).

(7)

將(6)式代入(7)式得

(8)

受力點(diǎn)在該極短時(shí)間的位移可以寫為平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的組合(如圖6)

圖6 極短時(shí)間內(nèi)的位移關(guān)系

dx=v點(diǎn)dt.

(9)

dx=v(t)dt+ω(t)lsinθdt.

(10)

在碰撞過程中水平速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為

(11)

其中I(t)是該次碰撞中對(duì)應(yīng)時(shí)間沖量變化的總量.

在碰撞過程中角速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為

(12)

在碰撞中某一瞬間摩擦力做的功為

dW=fdx.

(13)

代(8)(10)式入(13)式得

dW=fdx=

(14)

將(11)(12)式代入(14)式得

(15)

兩邊同時(shí)積分得

(16)

得到做功關(guān)于沖量的表達(dá)式為

(17)

2.5 反彈過程中各參數(shù)間的關(guān)系

在從初始高度下落的過程中，勢(shì)能向動(dòng)能轉(zhuǎn)換(如圖7)

(18)

由于這里認(rèn)為碰撞系數(shù)為1，不會(huì)因碰撞形變損失能量，所以每一次碰撞前后的能量差為摩擦力做功，為

(19)

(20)

由角動(dòng)量定理知?jiǎng)恿康母淖兞康扔跊_力矩之和為

-Ilcosθi-1-jμIlsinθi-1=JΔωi-1.

(21)

ωi=ωi-1+Δωi.

(22)

由質(zhì)心的沖量定理知

I=m(viy-vi-1y).

(23)

新水平速度為原水平速度和由摩擦力造成的改變量之和，為

(24)

易知所有涉及的物理量都可以寫為關(guān)于沖量I的函數(shù).

將(20)-(24)式代入(19)式中，由于其中每一項(xiàng)都含I2，I或者常數(shù)，可得

(25)

整理后可得aI2+bI+c=0，其中

jucosθi-1sinθi-1).

(26)

b=vi-1y-ωi-1lcosθi-1.

(27)

由于常數(shù)項(xiàng)互相抵消，所以常數(shù)項(xiàng)c=0.故

(28)

整理得

(29)

(30)

Ii=-2mvi-1y.

(31)

綜合以上可以寫出第i次和第i-1次碰撞結(jié)果的關(guān)系

(32)

(33)

(34)

2.6 驗(yàn)證

根據(jù)以上結(jié)論，利用Matlab編程，計(jì)算第1次碰撞后的機(jī)械能與初始機(jī)械能比值.將如下參數(shù)代入：r=1，μ=0.1，m=1，k=1，θ∈(45°，135°),h∈(10,60)，得到結(jié)果如圖8所示.

圖8 碰撞前后的機(jī)械能之比

結(jié)果中未出現(xiàn)碰撞后能量超出初始狀態(tài)的情況，均克服了類似Kane難題，即因碰撞造成能量增加的情況.其中在90°時(shí)，由于不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，作用點(diǎn)水平移動(dòng)完全為0，無能量損耗，與預(yù)期結(jié)果相符.

注意到理論計(jì)算中，在柱體以接近水平的角度落地時(shí)，會(huì)在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生第2次碰撞，采用慢速攝像觀察發(fā)現(xiàn)，實(shí)際情況中也會(huì)2次碰撞，如圖9，第1次碰撞后順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，緊接著發(fā)生第2次碰撞，導(dǎo)致放倒后觀察現(xiàn)象為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

圖9 短時(shí)間內(nèi)發(fā)生第2次碰撞

要注意的是，在之后的碰撞中，圓柱體產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)和水平速度，并且由于旋轉(zhuǎn)，再次落地的時(shí)候，落地角便不再是原先的角了，在這個(gè)時(shí)候就需要進(jìn)行角度變換了，不能單純地使用θi=θi-1+Δθi-1來計(jì)算，本文重點(diǎn)為碰撞過程，此處角度變換不做詳細(xì)說明.

3 結(jié)論

本文從傳統(tǒng)碰撞理論教學(xué)方法入手，總結(jié)了其中對(duì)于現(xiàn)實(shí)問題描述的不足.以2022年IYPT賽題圓柱體骰子為例，提出了一種更符合實(shí)際情況的碰撞理論，并針對(duì)理論計(jì)算中出現(xiàn)夾角較小時(shí)存在的短時(shí)間內(nèi)的二次碰撞，做了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.本文中的分析方法，有效地避免了含摩擦的碰撞理論常碰到的Kane難題，是對(duì)現(xiàn)有教學(xué)中碰撞理論的一種有力補(bǔ)充.但是，當(dāng)碰撞的材料恢復(fù)形變有耗能時(shí)，此理論是不適用的.現(xiàn)階段暫未完全探究清楚各類材料形變耗能的解析解，只有一些特殊材料的經(jīng)驗(yàn)公式，[8]而這些經(jīng)驗(yàn)公式只符合特定材料.本文理論目前只適用完全彈性碰撞材料，如何與原先含彈性系數(shù)的理論相兼容，需進(jìn)一步探索.