彭定輝

(江西省南豐縣第一中學，江西 撫州 344500)

1 問題引入

彈簧雙振子是指兩物塊與彈簧相連構成二體系統(tǒng)，在系統(tǒng)質心做變速或勻速直線運動的同時，兩物塊相對質心做簡諧運動．[1]彈簧雙振子模型在物理競賽中出現(xiàn)頻次較高，偶爾也出現(xiàn)于高考題中，如2022年全國高考乙卷理綜第25題，原題如下.

如圖1(a)，一質量為m的物塊A與輕質彈簧連接，靜止在光滑水平面上；物塊B向A運動，t=0時與彈簧接觸，到t=2t0時與彈簧分離，第1次碰撞結束，A、B的v-t圖像如圖1(b)所示．已知從t=0到t=t0時間內(nèi)，物塊A運動的距離為0.36v0t0．A、B分離后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，與一直在水平面上運動的B再次碰撞．之后A再次滑上斜面，達到的最高點與前一次相同．斜面傾角θ(sinθ=0.6)，與水平面光滑連接．碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．求

圖1

(1) 第1次碰撞過程中，彈簧彈性勢能的最大值；

(2) 第1次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值；

(3) 物塊A與斜面間的動摩擦因數(shù)．

該題是一道典型的力學綜合題，涉及動量、能量和牛頓運動定律等核心知識，其運動過程較為復雜，分析起來有一定的難度．特別是該題第(2)問，常規(guī)做法是用微元法結合動量定理處理，但這種處理方案必須用到題設條件0.36v0t0，而且只能對特定位置或特定過程進行求解．為此，本文試圖尋找一種簡易方法，可在中學物理范圍內(nèi)嚴格求解彈簧雙振子任意時刻的物理狀態(tài)．

2 運動分析

基于高考題情景，將物塊從彈簧原長位置開始壓縮到恢復彈簧原長的運動稱為一次擠壓過程．考慮系統(tǒng)不受其他外力的一般情況，對擠壓過程進行分析．設彈簧原長為l0，勁度系數(shù)為k，兩物塊A、B的質量分別為m、M，在地面坐標系中位置。

分別為xA、xB．

根據(jù)牛頓第二定律，有

(1)

(2)

對兩式積分，可得兩物塊的速度為

再次積分，可得兩物塊的位移為

將前面兩式代入(1)式，有C=C′，D=D′+l0．

故擠壓過程中兩物塊的位移為

xA=x0+a+v0t-rAsin(ωt).

(3)

xB=x0+b+v0t+rBsin(ωt).

(4)

兩物塊的速度為

vA=v0-ωrAcos(ωt).

(5)

vB=v0+ωrBcos(ωt).

(6)

不難看出，當cos(ωt)=0時兩物塊有共同速度且等于質心速度v0．

將t=0代入(5)(6)兩式，得vA0=v0-ωrA，vB0=v0+ωrB．當彈簧恢復原長時，由(3)(4)兩式有ωt=π，代入(5)(6)兩式，得兩物塊的末速度為vAt=v0+ωrA，vBt=v0-ωrB．聯(lián)立各式，得

即系統(tǒng)質心速度亦等于擠壓過程兩物塊初、末速度的平均值．

3 等效雙星方法

選取質心參考系，通過x′=x-(x0+v0t)變換位置坐標，可得質心系中兩物塊的位移方程為

xA′=a-rAsin(ωt).

(7)

xB′=b+rBsin(ωt).

(8)

從方程可知，質心系中兩物塊在各自平衡位置附近做同頻反相的簡諧運動.

由于簡諧運動可等效為勻速圓周運動(參考圓)投影的分運動，[3]那么質心系中彈簧雙振子的兩個簡諧運動亦可拓展為兩個勻速圓周運動.故對物塊A，在y方向構建一個同頻同幅的簡諧運動yA′=-rAcos(ωt)，使之與原x方向的簡諧運動xA′=a-rAsin(ωt)合成，所得圓周運動軌跡方程為

(xA′-a)2+yA′2=rA2.

對物塊B，同樣構建簡諧運動yB′=rBcos(ωt)，使之與原x方向的簡諧運動xB′=b+rBsin(ωt)合成，所得圓周運動軌跡方程為

(xB′-b)2+yB′2=rB2.

顯然，兩圓圓心位置為兩物塊的平衡位置，距離為彈簧原長，即a-b=l0；軌道半徑等于兩物塊做簡諧運動的振幅；速度大小等于兩物塊振動的最大速度，有uA=ωrA，uB=ωrB．

發(fā)現(xiàn)兩個圓周運動的力學規(guī)律與天體運動的雙星系統(tǒng)[4]十分相似，同樣存在mrA=MrB、muA=MuB、mω2rA=Mω2rB等約束關系．由(7)(8)兩式作出質心系中彈簧雙振子的簡諧運動與兩個圓周運動的對應投影圖像如圖2，若平移兩圓使圓心重合，則所得圖像與雙星系統(tǒng)的軌跡相同．因此將質心系中彈簧雙振子對應的兩個圓周運動稱為等效雙星．

圖2 彈簧雙振子與圓周運動的投影對應關系

此外，將等效雙星的速度矢量平移到同一個位置，則兩速度矢量隨時間變化的軌跡亦如雙星系統(tǒng)圖像，其在x方向的投影與由(5)(6)兩式的速度圖像對應，如圖3所示.

圖3 彈簧雙振子的速度圖像與圓周運動速度矢量的投影對應關系

從圖3中容易看出，兩圖線交點位置對應于系統(tǒng)的質心速度，而兩物塊的速度圖像相對交點位置對稱，即有

uA=vAt-v0=v0-vA0，

uB=vB0-v0=v0-vBt.

等效雙星之于彈簧雙振子，猶如參考圓之于簡諧運動，無需求解微積分方程，僅由等效雙星的矢量投影對應，便可嚴格求得彈簧雙振子在任意時刻的位置和速度．

即彈簧雙振子的最大彈性勢能等于等效雙星的總動能．

4 問題求解

下面用等效雙星方法對2022年全國高考乙卷的第25題進行求解．

(1) 從圖1(b)知0到2t0時間為彈簧雙振子系統(tǒng)的第1次擠壓過程，其質心速度為v0．故雙星圓周運動速度大小分別為uA=v0-0=v0、uB=1.2v0-v0=0.2v0．由muA=MuB，可得M=5m．而彈簧雙振子的最大彈性勢能等于雙星圓周運動的總動能，即

(3) A從斜面返回后與B第2次擠壓彈簧，設此過程系統(tǒng)質心速度為vc，作出第2次擠壓過程的彈簧雙振子的速度圖像，如圖4所示．

圖4 第2次擠壓過程中彈簧雙振子的速度圖像

由題意可知，第2次擠壓時B的初速度為第1次擠壓的末速度，即0.8v0，其對應的圓周運動速度為uB′=0.8v0-vc．而第2次擠壓后A能再次滑上與前次相同的高度，則其末速度與前次的末速度相同，即2v0．故A對應的圓周運動速度為uA′=2v0-vc．由muA′=MuB′，解得vc=0.5v0．

設A首次滑上斜面的最大距離為L，由動能定理有

則其下滑時同樣有

聯(lián)立兩式求解得

5 結束語

用等效雙星方法求解彈簧雙振子問題，其計算過程簡單直觀，僅用到質心參考系和勻速圓周運動知識，比較適合中學物理教學．該方法作為簡諧運動參考圓的拓展，可以幫助學生將所學知識運用到陌生場景，有利于培養(yǎng)學生的科學探究能力和物理建模能力．

限于篇幅，本文僅討論了無外力作用下的彈簧雙振子問題，對于有外力作用的情況，等效雙星方法仍具有一定的參考價值．