侯奕龍 曾啟軒 王梓寧 李 惠

(湖南省株洲市第二中學(xué)，湖南 株洲 412000)

真題(2022年湖南卷第5題).2022年北京冬奧會跳臺滑雪空中技巧比賽場地邊有一根系有飄帶的風(fēng)力指示桿，教練員根據(jù)飄帶的形態(tài)提示運(yùn)動員現(xiàn)場風(fēng)力的情況.若飄帶可視為粗細(xì)一致的勻質(zhì)長繩，其所處范圍內(nèi)風(fēng)速水平向右，大小恒定且不隨高度改變.當(dāng)飄帶穩(wěn)定時，飄帶的實際情況最接近的是(如圖1所示)

圖1

這是2022年高考物理湖南卷第5題，正確答案是(A).最常見的錯誤思路如下：穩(wěn)定后飄帶所受的空氣阻力(后面簡稱為風(fēng)力)一定，取包括自由端在內(nèi)的一段飄帶分析，其上端點越靠近固定端，該段重力越大，重力、風(fēng)力的合力方向越靠近豎直軸.而上端所受拉力沿切線方向且與其他兩力合力平衡，越靠近固定端處的切線越陡，所以錯選(B).

但事實真是如此嗎？下面做一個小實驗來驗證.

1 實驗驗證與理論分析

準(zhǔn)備一臺風(fēng)扇(風(fēng)速在出風(fēng)口一定范圍內(nèi)較為均勻,符合題設(shè)情境)和一根粗細(xì)均勻的柔軟細(xì)繩.固定細(xì)繩一端，讓其余部分全部位于出風(fēng)口處，結(jié)果如圖2所示.從中可以看出細(xì)繩幾乎是一條直線，這是為什么呢？

圖2 勻質(zhì)繩子在均勻空氣阻力下的形狀

均質(zhì)長繩中任取一繩段，其重力、均勻風(fēng)力對于每一段均質(zhì)繩段來說，都是相同的，我們不妨把這兩個恒力作為等效重力，即每一段繩段都處于恒定的等效重力場中，這條均質(zhì)繩自然只能在等效重力場中沿等效重力方向懸掛成一條直線.

大量考生選錯的另一個原因是生活中有些帶狀物隨風(fēng)舞動時為圖1中選項(B)或者(C)的形狀，這又是為什么呢？我們進(jìn)一步做實驗來模擬.

2 實驗拓展與進(jìn)一步理論分析

2.1 拓展實驗現(xiàn)象

如圖3所示，若在均質(zhì)繩末端掛一小重物(可視為質(zhì)點)，則繩的形狀不再是直線，此時繩子的形狀最接近選項(C).若在繩子末端系一個重力幾乎為零，風(fēng)力受力面積更大的物體(稱為阻力物)，待其穩(wěn)定后繩子最接近于選項(B)(如圖4所示).

圖3 繩子末端夾磁鐵的形狀

圖4 繩子末端加高阻力物的形狀

風(fēng)扇的風(fēng)速受距離影響，并不均勻,為得到均勻風(fēng)速，可在封閉環(huán)境用無人機(jī)吊著繩子勻速飛行.圖5、圖6為無人機(jī)下用均質(zhì)纜繩懸吊重物的情況，重物如圖7所示的小鐵球.

圖5

圖6

圖7

2.2 拓展實驗的半定量理論分析

把均質(zhì)繩粗略地分成質(zhì)量相等的3段，每段質(zhì)量記為m，重物質(zhì)量記為M，則對第1段均質(zhì)繩，重物，受力分析如圖8所示，從圖中可以看出，第2段繩對第1段的拉力方向更貼近豎直方向.

圖8 半定量分析

2.3 拓展實驗的定量理論分析

現(xiàn)在用微分方程分析3種情況下繩子的形狀.

繩子末端掛有一物體，該物體受到的空氣阻力為F，其質(zhì)量為M，設(shè)空氣流速為v=1 m/s，空氣密度ρ=1.29 kg/m3，重力加速度g=9.80665 m/s2，該繩子的空氣阻力系數(shù)為C=0.5，繩子的寬度為d=0.001 m，質(zhì)量線密度為λ=0.001 kg/m.

圖9

(1)

其重力為

(2)

在x處繩子的張力為T(x)，則x方向上

Tx(x+dx)=Tx(x)+df,dTx=df.

(3)

當(dāng)x=0時，Tx=F.

在y方向上

Ty(x+dx)=Ty(x)+dG，dTy=dG.

(4)

又有

Ty=y′·Tx，dTy=y″·Tx·dx+y′·dTx.

(5)

聯(lián)立(1)～(5)式，解得

(6)

初值條件為

(7)

由于該微分方程十分復(fù)雜，無法解出嚴(yán)格解，以下為通過數(shù)值描點用Mathematica作出來的圖像.

圖10 Mathematica描點作圖

圖11 Mathematica描點作圖

圖12 Mathematica描點作圖

綜上所述，圖1中選項(A)是均質(zhì)繩在均勻水平風(fēng)力中的形狀；選項(B)和(C)是非均質(zhì)繩在均勻水平風(fēng)力中的形狀，或者說是均質(zhì)繩在非均勻水平風(fēng)力中的形狀.