呂慶華

拋物線內(nèi)三角形面積的最值問題較為復雜.一般地，拋物線內(nèi)三角形上的頂點為動點，要求其面積的最值，往往需先根據(jù)題意確定動點的位置，或求得三角形面積的表達式.這就需要靈活運用三角形的面積公式、點到直線的距離公式、兩點間的距離公式、弦長公式以及拋物線的幾何性質(zhì)來解題.下面，介紹求解拋物線內(nèi)三角形面積最值問題的兩種思路，以供大家學習、參考.

一、割補圖形

有時我們很難快速求出在拋物線內(nèi)三角形的底與高，此時不妨采用割補法，將三角形分割或填補為易于求得出面積的幾個圖形，這樣便可快速求出三角形面積的表達式.然后將其看作關于某個變量的函數(shù)式，利用函數(shù)的性質(zhì)來求得最值.

例1.在平面直角坐標系中，O為原點，直線y=-2x-1與y軸交于點A，與直線y=-x交于點B，點B關于原點的對稱點為點C .

先過三角形的一個頂點作坐標軸的一條平行線，就可以把這個三角形分割成兩個小三角形，再計算兩個小三角形的面積，即可求出原三角形的面積，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.在割補三角形時，需根據(jù)已知條件和三角形的形狀將三角形割補為規(guī)則的三角形、梯形，這樣便于快速求出三角形的面積.

二、利用切線法

若拋物線內(nèi)三角形底邊的長度不變，就只需要求得三角形的高的最值，即可求得三角形面積的最值.若已知拋物線內(nèi)三角形的底邊所在直線的方程，則只需采用切線法，過三角形的頂點作出與三角形底邊平行的切線，那么該切線與三角形底邊之間的距離即為三角形的高的最大值，此時三角形的面積就最大.

先結(jié)合圖形，根據(jù)直線和拋物線有一個交點時，三角形的高最大，來確定三角形頂點E的位置；然后作出過點E的拋物線的切線；再根據(jù)切線的特征，建立關系式△=0，從而求得直線的斜率和拋物線內(nèi)面積的最值.

總之，在求解拋物線內(nèi)三角形面積最值問題時，要先觀察題目中給出的三角形的特點，再嘗試求出其底和高，若不能，則需要通過割補或者作切線，來求三角形的面積，從而求得面積的最值.

（作者單位：華東師范大學鹽城實驗中學）