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        指向初中數(shù)學(xué)本質(zhì)的幾何教學(xué)探究
        ——以浙教版八下“5.2.1菱形”為例

        2023-03-23 00:00:21浙江省衢州市第四實(shí)驗(yàn)學(xué)校項(xiàng)志成
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年2期
        關(guān)鍵詞:對(duì)角線菱形折紙

        浙江省衢州市第四實(shí)驗(yàn)學(xué)校 項(xiàng)志成 鄧 達(dá)

        隨著課改的深入,課堂教學(xué)的方法、手段變得越來越豐富.既要提升學(xué)習(xí)興趣,又要提升學(xué)科素養(yǎng),無不考驗(yàn)著教師的教學(xué)智慧[1].章建躍博士指出:“數(shù)學(xué)課改的核心任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),要有具體措施,要把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié).”不管我們的教學(xué)形式如何變化,都應(yīng)該堅(jiān)持一個(gè)原則,即注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的呈現(xiàn),這是數(shù)學(xué)教學(xué)的立足之本[2].筆者以浙教版八下“5.2.1菱形”為例,結(jié)合自身多年的實(shí)踐探究,提出個(gè)人的一些思考.

        1 教學(xué)目標(biāo)

        (1)通過折紙活動(dòng),經(jīng)歷菱形的概念生成和理解的過程.

        (2)類比平行四邊形的研究方法和內(nèi)容,經(jīng)歷菱形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和推理驗(yàn)證的過程.

        (3)掌握菱形的性質(zhì)定理“菱形的四條邊都相等”“菱形的對(duì)角線互相垂直,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角”,并應(yīng)用性質(zhì)定理解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.

        2 教學(xué)設(shè)計(jì)

        2.1 折——由“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”到“數(shù)學(xué)味道”

        師生活動(dòng):取一張長(zhǎng)方形紙片,按下圖1-1,1-2所示的方法對(duì)折兩次,并沿圖1-3中的斜線(虛線)剪開,把剪下的Ⅰ這部分展開,平鋪在桌面上.

        師:剪出的這個(gè)圖形是平行四邊形嗎?你是如何判定的?

        生1:是平行四邊形.由折疊可得兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,因此兩組對(duì)邊分別平行.

        生2:由折疊可以得到它的一組對(duì)邊平行且相等,或兩組對(duì)邊分別相等,或?qū)蔷€互相平分.

        師:這個(gè)平行四邊形還有什么特別之處?

        生:它的四條邊都相等.

        師:像這樣的平行四邊形,我們把它叫做菱形.類比矩形的定義,你能給菱形下定義嗎?

        生:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

        設(shè)計(jì)意圖:折紙是教材中“菱形”第2課時(shí)合作學(xué)習(xí)中的內(nèi)容,通過合理改編教材,利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一方面幫助學(xué)生回顧平行四邊形的相關(guān)知識(shí),另一方面讓學(xué)生經(jīng)歷菱形的概念生成和理解的過程.通過設(shè)置問題串,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中要素之間的內(nèi)在聯(lián)系,由“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”轉(zhuǎn)向“數(shù)學(xué)味道”,激發(fā)學(xué)生的探索欲望.

        2.2 證——由“幾何直觀”到“邏輯推理”

        在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,注重邏輯推理的培養(yǎng),有利于學(xué)生理解一般結(jié)論的來龍去脈,形成舉一反三的能力,有利于學(xué)生提高探究事物本源的能力.

        師:由定義可知,菱形是特殊的平行四邊形,因此它具有平行四邊形的所有性質(zhì).它還具有哪些特殊性質(zhì)呢?

        生:菱形的四條邊都相等,對(duì)角線互相垂直.

        師:你是怎么發(fā)現(xiàn)的?

        生3:通過觀察就能得到.

        生4:我覺得可以通過折疊得到.(該生將手中菱形進(jìn)行折疊.)

        師:很好.但觀察、實(shí)驗(yàn)并不等于證明,你能證明嗎?

        生:可以.第一個(gè)性質(zhì)利用平行四邊形的性質(zhì)與菱形的定義即可證明.(該生講授證明過程后,教師板書該性質(zhì)定理.)

        圖2

        師:很好.接下來請(qǐng)同學(xué)們完成第2個(gè)性質(zhì)的證明.

        已知:如圖2,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.求證:AC⊥BD.

        學(xué)生自主完成證明過程,教師巡視指導(dǎo)證明的規(guī)范書寫,師生歸納出兩種方法:一是證明三角形全等;二是利用“等腰三角形三線合一”.師生通過比較,一致認(rèn)為第2種方法更加簡(jiǎn)潔.

        追問1:利用“等腰三角形三線合一”還能得出什么結(jié)論?

        追問2:你能通過折疊得到上述性質(zhì)嗎?

        追問3:菱形具有怎樣的對(duì)稱性呢?

        最后由學(xué)生從邊、角、對(duì)角線以及對(duì)稱性方面對(duì)菱形的性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)梳理.

        設(shè)計(jì)意圖:通過折紙,引導(dǎo)學(xué)生從邊、角、對(duì)角線三個(gè)要素自主探究菱形的性質(zhì),明晰研究圖形性質(zhì)的一般路徑,同時(shí)處理好特殊與一般的關(guān)系.通過進(jìn)一步的證明,加強(qiáng)邏輯推理,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

        2.3 用——由“學(xué)以致用”到“舉一反三”

        例題如圖2,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交與點(diǎn)O, ∠BAC=30°,BD=6,求菱形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線AC的長(zhǎng).

        師生活動(dòng):由學(xué)生自主完成求解過程,教師指導(dǎo)規(guī)范求解過程,并作如下追問.

        追問1:得出等邊三角形的依據(jù)是什么?

        追問2:此例題用到了菱形的哪些性質(zhì)?

        設(shè)計(jì)意圖:例題是在前面圖形基礎(chǔ)上,對(duì)內(nèi)角的特殊化,讓學(xué)生探究邊、角、對(duì)角線之間的一些結(jié)論,也是對(duì)菱形中特殊三角形挖掘的延續(xù).

        2.4 變——由“千變?nèi)f化”到“追本溯源”

        練一練如圖3,已知菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分別為E,F.求證:AE=CF.

        圖3

        圖4

        方法1:證△ABE≌△ADF可得AE=CF.

        方法2:S菱形ABCD=BC·AE=CD·AF,再由BC=CD可得AE=CF.

        變式1如圖4,已知菱形ABCD中,E,F分別是CB,CD上的點(diǎn),且BE=DF.

        求證:∠AEF=∠AFE.

        方法1:證△ABE≌△ADF可得AE=AF,再由等腰三角形性質(zhì)可證得結(jié)論.

        方法2:連結(jié)AC,證CE=CF,再由“等腰三角形三線合一”可得.

        圖5

        變式2如圖5,在菱形ABCD中,∠ABC=60°.現(xiàn)將一塊含60°的三角尺AMN (其中∠NAM=60°)疊放在菱形上,然后將三角尺繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)AM交邊BC于點(diǎn)E,AN交邊CD于點(diǎn)F,那么BE+DF與AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

        分析:連結(jié)AC,證△ABE≌△ACF或△ACE≌△ADF,再由“菱形的四條邊都相等”可得.

        追問:四邊形AECF與菱形ABCD的面積之間有何關(guān)系?

        設(shè)計(jì)意圖:幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí),體現(xiàn)“萬變不離其宗”的數(shù)學(xué)本質(zhì),追本溯源,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).以教材習(xí)題為基本素材,通過點(diǎn)E,F在菱形邊上的位置變化,進(jìn)行變式訓(xùn)練,加深學(xué)生對(duì)菱形性質(zhì)的理解.

        通過“問題驅(qū)動(dòng)”的方式展開小結(jié),從研究?jī)?nèi)容到研究方法的延伸,將本節(jié)課的知識(shí)脈絡(luò)清晰地展現(xiàn)在學(xué)生面前,內(nèi)化整堂課所學(xué)內(nèi)容,由“知識(shí)梳理”到“思維提升”的演變,為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.

        3 教學(xué)反思與感悟

        3.1 聚焦數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

        數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué),是讓學(xué)生通過動(dòng)手操作,進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動(dòng),最后獲得數(shù)學(xué)結(jié)論,它是讓學(xué)生內(nèi)心生長(zhǎng)的一種有效途徑.在本節(jié)課教學(xué)中,通過折紙,引導(dǎo)學(xué)生類比平行四邊形,自主探究菱形的性質(zhì).讓學(xué)生聚焦在折紙這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)上,去發(fā)現(xiàn)與經(jīng)歷菱形的概念的形成與理解,有效地撬動(dòng)學(xué)生的思維自然生長(zhǎng),理性思考,有助于在教和學(xué)中揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

        3.2 挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵,提升學(xué)科素養(yǎng)

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》在“課程設(shè)計(jì)思路”中明確指出:“在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與邏輯推理能力.”因此,指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留于知識(shí)層面,而是讓學(xué)生經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)的過程,促進(jìn)思維的自然生長(zhǎng);引領(lǐng)學(xué)生去充分挖掘菱形的內(nèi)涵;同時(shí)在教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想,積極培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力,進(jìn)而提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[3].

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