南京二十九中教育集團初級中學 莊 歷
中學數學教育不僅要讓學生獲得必要的數學知識和技能,還要能讓學生感悟數學的基本思想,積累數學思維活動和實踐活動的經驗.學生解題能力的高低,不僅可以反映其基本知識、基本技能的掌握情況,更可以反映其綜合能力水平.而學生在解題實踐中,常常無法找到解題的入口,不能搭建已知條件和未知結論之間的有效橋梁.因此,教師分析問題時的引導過程就顯得尤為重要,只有從學生的主動思維漸漸推導出所有的可知和需知,找到連接可知和需知之間常用的模型支撐,才能教會學生正確的思考方法,積累探索問題的途徑.本文中以2021年南京市中考中的一道幾何作圖題為例,通過對條件和結論的分析,以及對多種解法的探索,積累基本幾何模型,提高學生的解題能力和綜合分析能力.
圖1
原題(2021年南京市中考第25題)如圖1,已知P是⊙O外一點,用兩種不同的方法過點P作⊙O的一條切線.要求:(1)用直尺和圓規(guī)作圖;(2)保留作圖的痕跡,寫出必要的文字說明.
本題是教師和學生都非常熟悉的一道幾何作圖題,在蘇科版九年級上冊“對稱圖形——圓”這一章教授直線與圓的位置關系時,很多教師喜歡用它引入“切線長定理”,但由于新授課教學目標和時間分配的問題,課堂上對于解法沒做過多的探究.新授課時,根據學生的最近發(fā)展區(qū),因為他們剛剛學完“圓周角定理”和“直線與圓的位置關系”,所以最容易想到的就是利用“直徑所對的圓周角等于90°”來構造垂直,從而利用“經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”證明作法的正確性.
圖2
首先根據結論畫出目標圖形,理清已知條件和未知結論,探尋它們之間的聯系,找到突破口.要想過點P作⊙O的一條切線,根據切線的判定,如圖2,既可以在⊙O上確定一點A,使得PA⊥OA,即∠PAO=90°,也可過點O向過點P的某直線作垂線,使垂線段的長等于⊙O的半徑.
利用切線的第一種判定方法時,對于構造直角,學生并不陌生,在中考復習階段,教師完全可以引導學生找到多個思考角度:
①直徑所對的圓周角等于90°;
②“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半”的逆命題;
③等腰三角形的“三線合一”;
④矩形的每個內角為直角;
⑤菱形的對角線互相垂直平分;
⑥全等三角形對應角相等.
切入點1:利用“直徑所對的圓周角等于90°”.
作法一:(1)作PO的垂直平分線交PO于點B;
(2)以B為圓心,BO為半徑作⊙B交⊙O于點A;
(3)連接PA,則直線PA即為所求切線,如圖3.
圖4
切入點2:利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半”的逆命題.
作法二:同作法一,如圖4.
理由簡述:因為BP=BA,BA=BO,
所以∠BPA=∠BAP,∠BAO=∠BOA.
又在△APO中,
∠BPA+∠BAP+∠BAO+∠BOA=180°.
所以∠PAO=∠PAB+∠BAO=90°.
切入點3:利用“矩形的每個內角為直角”.
作法三:(1)作PO的垂直平分線交PO于點B;
(2)以B為圓心,BO為半徑作⊙B交⊙O于點A,交AB的延長線于點C;
圖5
(3)連接PA,則直線PA即為所求切線,如圖5.
理由簡述:∵BP=BO,BC=BA,
∴四邊形APCO為平行四邊形.
又BP+BO=BC+BA,即PO=AC,
∴平行四邊形APCO為矩形.
∴∠PAO=90°.
以上三種作法雖然類似,但是構造的基本模型卻不相同.通過不同的切入點,調動學生對幾何圖形的認知,從而“無中生有”構造出不同的基本模型,最后又神奇地統(tǒng)一為類似的作法,讓學生深入了解幾何模型之間的聯系,對構建學生的圖形與幾何板塊的知識結構有很大的幫助.
切入點4:利用等腰三角形的“三線合一”.
作法四:(1)連接PO并延長,交⊙O于點B,C;
(2)以P為圓心,PO為半徑畫弧,以O為圓心,BC為半徑畫弧,兩弧交于點D;
(3)連接OD交⊙O于點A;
圖6
(4)連接PA,則直線PA即為所求切線,如圖6.
理由簡述:因為PD=PO,DA=AO=r(記⊙O半徑為r),所以PA⊥DO.
切入點5:利用“菱形的對角線互相垂直,C;
作法五:(1)連接PO并延長,交⊙O于點B,C;
(2)以P為圓心,PO為半徑畫弧,以O為圓心,BC為半徑畫弧,兩弧交于點D,分別以D,O為圓心,PO為半徑畫弧,兩弧交于點E;
圖7
(3)連接PE,DO交于點A,則直線PA即為所求切線,如圖7.
理由簡述:因為PD=PO=OE=DE, 所以四邊形DPOE為菱形.
故OA=AD=r,OA⊥PA.
切入點6:利用“全等三角形對應角相等”.
作法六:(1)在任一直線MN上取點C,過點C作GC⊥MN;
(2)在CG上截取CD=OB;
(3)以D為圓心,PO為半徑畫弧,交MN于點E;
(4)以P為圓心,CE為半徑畫弧,交⊙O于點A,畫直線PA,則直線PA即為所求切線,如圖8.
圖8
圖9
理由簡述:易證△CDE≌△AOP(SSS).
所以∠PAO=∠ECD= 90°.
對于切入點6,也可以直接在原圖中,借助半徑OB來構造全等三角形,方法類似,如圖9:
3.2.1 構造半徑OA
除了連半徑,證垂直,同樣可以考慮作垂直,證半徑.對于確定線段OA的長度,可以從以下幾個角度來考慮:①全等三角形對應邊相等; ②相似三角形對應邊成比例.
切入點7:利用“全等三角形對應邊相等”.
圖10
作法七:(1)如圖10,以O為圓心,OP為半徑畫大⊙O;
(2)在小⊙O上任取一點B,連接OB,過點B作OB的垂線,交大⊙O于點C,D;
(3)以P為圓心,CD為半徑畫弧,交大⊙O于點E;
(4)連接PE,過點O作OA⊥PE于點A,則直線PA即為所求切線.
又因為PE=CD,所以BC=AP.
易證△OBC≌△OAP(HL),則有OA=OB=r.
切入點8:利用“相似三角形對應邊成比例”.
談到相似三角形,大家最容易想到的是“A”字型,我們可以構造一個相似比為1∶2的“A”字模型.
圖11
作法八:(1)如圖11, 以O為圓心,OP為半徑畫大⊙O;
(2)連接PO并延長,交小⊙O于點B,C,交大⊙O于點D;
(3)以D為圓心,BC為半徑畫弧,交大⊙O于點E;
(4)連接PE,過點O作OA⊥PE于點A,則直線PA即為所求切線.
理由簡述:∵PD為大⊙O的直徑,且OA⊥PE,
∴∠PAO=∠PED=90°,則OA∥DE.
∴△PAO∽△PED.
圖12
作法九:(1)如圖12, 作PO的垂直平分線交PO于點C;
(2)作PC的垂直平分線交PC于點D,以D為圓心,PD為半徑畫⊙D;
(3)作BO的垂直平分線交BO于點E,以C為圓心,OE為半徑畫弧交⊙D于點F;
(4)畫直線PF,過點O作OA⊥PF于點A,則直線PA即為所求切線.
理由簡述:∵PC為⊙D的直徑,且OA⊥PF,
∴∠PFC=∠PAO=90°.
即FC∥OA.
∴△PAO∽△PFC.
∴OA=2FC=r.
作法九的思路雖然和作法八類似,都是構造“A”字型從而完成90°的轉化,但是作法九明顯要比作法八復雜.
3.2.2 構造線段PA
不管是連半徑,證垂直,還是作垂直,證半徑,都可以完全確定直角三角形PAO,除了通過確定∠PAO或者OA來完全確定直角三角形PAO,還可以嘗試確定PA的長度.
切入點9:利用“相似三角形對應邊成比例”.
如圖13,我們知道△PAC∽△PBA,從而可以得到PA2=PB·PC,這里PB和PC都是定值,如何確定PA的長度?這一等式讓我們聯想起了“射影定理”.如圖14,在直角三角形EPC中,有PE2=PB·PC,也有EB2=PB·BC.那么,我們只需借助PB和PC構造“母子三角形”,即可確定PA的長度.
圖13
圖14
作法十:(1)如圖15,連接PO并延長,交⊙O于點B,C;
圖15
(2)作PC的垂直平分線交PC于點D;
(3)以D為圓心,PD為半徑畫⊙D;
(4)過點B作PC的垂線交⊙D于點E;
(5)以P為圓心,PE為半徑畫弧交⊙O于點A;
(6)畫直線PA,則直線PA即為所求切線.
尺規(guī)作圖是學生在圖形與幾何中要掌握的重要技能,需要學生綜合運用所學知識,多角度思考問題,并借助五種基本尺規(guī)作圖,完成整個構圖過程.這不僅需要學生熟練掌握五種基本尺規(guī)作圖,更需要靈活運用初中的幾何模型.
本題解法很多,但細細想來,主要還是分兩條主線,那就是切線的兩種判定方法:作半徑,證垂直;作垂直,證半徑.根據這兩條主線,分別喚醒學生已有的幾何模型儲備,建立直角模型的構造體系和線段的構造方法.
這道幾何作圖題,可以放在中考一輪復習“圓”這一章,這樣不僅可以幫助學生復習證明切線的兩種方法,更可以激發(fā)學生思維的火花,在探尋多種方法的同時,幫助學生復習構造直角和線段的多種方法,讓學生對幾何圖形中基本元素的構造有更多的認識.