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        一道2021年中考幾何作圖題的解法探究

        2023-03-23 00:00:21南京二十九中教育集團(tuán)初級(jí)中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年2期
        關(guān)鍵詞:作法所求作圖

        南京二十九中教育集團(tuán)初級(jí)中學(xué) 莊 歷

        中學(xué)數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,還要能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想,積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生解題能力的高低,不僅可以反映其基本知識(shí)、基本技能的掌握情況,更可以反映其綜合能力水平.而學(xué)生在解題實(shí)踐中,常常無(wú)法找到解題的入口,不能搭建已知條件和未知結(jié)論之間的有效橋梁.因此,教師分析問(wèn)題時(shí)的引導(dǎo)過(guò)程就顯得尤為重要,只有從學(xué)生的主動(dòng)思維漸漸推導(dǎo)出所有的可知和需知,找到連接可知和需知之間常用的模型支撐,才能教會(huì)學(xué)生正確的思考方法,積累探索問(wèn)題的途徑.本文中以2021年南京市中考中的一道幾何作圖題為例,通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析,以及對(duì)多種解法的探索,積累基本幾何模型,提高學(xué)生的解題能力和綜合分析能力.

        1 題目呈現(xiàn)

        圖1

        原題(2021年南京市中考第25題)如圖1,已知P是⊙O外一點(diǎn),用兩種不同的方法過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線.要求:(1)用直尺和圓規(guī)作圖;(2)保留作圖的痕跡,寫出必要的文字說(shuō)明.

        2 追本溯源

        本題是教師和學(xué)生都非常熟悉的一道幾何作圖題,在蘇科版九年級(jí)上冊(cè)“對(duì)稱圖形——圓”這一章教授直線與圓的位置關(guān)系時(shí),很多教師喜歡用它引入“切線長(zhǎng)定理”,但由于新授課教學(xué)目標(biāo)和時(shí)間分配的問(wèn)題,課堂上對(duì)于解法沒(méi)做過(guò)多的探究.新授課時(shí),根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),因?yàn)樗麄儎倓倢W(xué)完“圓周角定理”和“直線與圓的位置關(guān)系”,所以最容易想到的就是利用“直徑所對(duì)的圓周角等于90°”來(lái)構(gòu)造垂直,從而利用“經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”證明作法的正確性.

        3 解法探究

        圖2

        首先根據(jù)結(jié)論畫出目標(biāo)圖形,理清已知條件和未知結(jié)論,探尋它們之間的聯(lián)系,找到突破口.要想過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線,根據(jù)切線的判定,如圖2,既可以在⊙O上確定一點(diǎn)A,使得PA⊥OA,即∠PAO=90°,也可過(guò)點(diǎn)O向過(guò)點(diǎn)P的某直線作垂線,使垂線段的長(zhǎng)等于⊙O的半徑.

        3.1 “90°角的構(gòu)造”,探究多種方法

        利用切線的第一種判定方法時(shí),對(duì)于構(gòu)造直角,學(xué)生并不陌生,在中考復(fù)習(xí)階段,教師完全可以引導(dǎo)學(xué)生找到多個(gè)思考角度:

        ①直徑所對(duì)的圓周角等于90°;

        ②“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半”的逆命題;

        ③等腰三角形的“三線合一”;

        ④矩形的每個(gè)內(nèi)角為直角;

        ⑤菱形的對(duì)角線互相垂直平分;

        ⑥全等三角形對(duì)應(yīng)角相等.

        切入點(diǎn)1:利用“直徑所對(duì)的圓周角等于90°”.

        作法一:(1)作PO的垂直平分線交PO于點(diǎn)B;

        (2)以B為圓心,BO為半徑作⊙B交⊙O于點(diǎn)A;

        (3)連接PA,則直線PA即為所求切線,如圖3.

        圖4

        切入點(diǎn)2:利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半”的逆命題.

        作法二:同作法一,如圖4.

        理由簡(jiǎn)述:因?yàn)锽P=BA,BA=BO,

        所以∠BPA=∠BAP,∠BAO=∠BOA.

        又在△APO中,

        ∠BPA+∠BAP+∠BAO+∠BOA=180°.

        所以∠PAO=∠PAB+∠BAO=90°.

        切入點(diǎn)3:利用“矩形的每個(gè)內(nèi)角為直角”.

        作法三:(1)作PO的垂直平分線交PO于點(diǎn)B;

        (2)以B為圓心,BO為半徑作⊙B交⊙O于點(diǎn)A,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C;

        圖5

        (3)連接PA,則直線PA即為所求切線,如圖5.

        理由簡(jiǎn)述:∵BP=BO,BC=BA,

        ∴四邊形APCO為平行四邊形.

        又BP+BO=BC+BA,即PO=AC,

        ∴平行四邊形APCO為矩形.

        ∴∠PAO=90°.

        以上三種作法雖然類似,但是構(gòu)造的基本模型卻不相同.通過(guò)不同的切入點(diǎn),調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)知,從而“無(wú)中生有”構(gòu)造出不同的基本模型,最后又神奇地統(tǒng)一為類似的作法,讓學(xué)生深入了解幾何模型之間的聯(lián)系,對(duì)構(gòu)建學(xué)生的圖形與幾何板塊的知識(shí)結(jié)構(gòu)有很大的幫助.

        切入點(diǎn)4:利用等腰三角形的“三線合一”.

        作法四:(1)連接PO并延長(zhǎng),交⊙O于點(diǎn)B,C;

        (2)以P為圓心,PO為半徑畫弧,以O(shè)為圓心,BC為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)D;

        (3)連接OD交⊙O于點(diǎn)A;

        圖6

        (4)連接PA,則直線PA即為所求切線,如圖6.

        理由簡(jiǎn)述:因?yàn)镻D=PO,DA=AO=r(記⊙O半徑為r),所以PA⊥DO.

        切入點(diǎn)5:利用“菱形的對(duì)角線互相垂直,C;

        作法五:(1)連接PO并延長(zhǎng),交⊙O于點(diǎn)B,C;

        (2)以P為圓心,PO為半徑畫弧,以O(shè)為圓心,BC為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)D,分別以D,O為圓心,PO為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)E;

        圖7

        (3)連接PE,DO交于點(diǎn)A,則直線PA即為所求切線,如圖7.

        理由簡(jiǎn)述:因?yàn)镻D=PO=OE=DE, 所以四邊形DPOE為菱形.

        故OA=AD=r,OA⊥PA.

        切入點(diǎn)6:利用“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”.

        作法六:(1)在任一直線MN上取點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作GC⊥MN;

        (2)在CG上截取CD=OB;

        (3)以D為圓心,PO為半徑畫弧,交MN于點(diǎn)E;

        (4)以P為圓心,CE為半徑畫弧,交⊙O于點(diǎn)A,畫直線PA,則直線PA即為所求切線,如圖8.

        圖8

        圖9

        理由簡(jiǎn)述:易證△CDE≌△AOP(SSS).

        所以∠PAO=∠ECD= 90°.

        對(duì)于切入點(diǎn)6,也可以直接在原圖中,借助半徑OB來(lái)構(gòu)造全等三角形,方法類似,如圖9:

        3.2 “線段的構(gòu)造”,探究多種方法

        3.2.1 構(gòu)造半徑OA

        除了連半徑,證垂直,同樣可以考慮作垂直,證半徑.對(duì)于確定線段OA的長(zhǎng)度,可以從以下幾個(gè)角度來(lái)考慮:①全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等; ②相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.

        切入點(diǎn)7:利用“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”.

        圖10

        作法七:(1)如圖10,以O(shè)為圓心,OP為半徑畫大⊙O;

        (2)在小⊙O上任取一點(diǎn)B,連接OB,過(guò)點(diǎn)B作OB的垂線,交大⊙O于點(diǎn)C,D;

        (3)以P為圓心,CD為半徑畫弧,交大⊙O于點(diǎn)E;

        (4)連接PE,過(guò)點(diǎn)O作OA⊥PE于點(diǎn)A,則直線PA即為所求切線.

        又因?yàn)镻E=CD,所以BC=AP.

        易證△OBC≌△OAP(HL),則有OA=OB=r.

        切入點(diǎn)8:利用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”.

        談到相似三角形,大家最容易想到的是“A”字型,我們可以構(gòu)造一個(gè)相似比為1∶2的“A”字模型.

        圖11

        作法八:(1)如圖11, 以O(shè)為圓心,OP為半徑畫大⊙O;

        (2)連接PO并延長(zhǎng),交小⊙O于點(diǎn)B,C,交大⊙O于點(diǎn)D;

        (3)以D為圓心,BC為半徑畫弧,交大⊙O于點(diǎn)E;

        (4)連接PE,過(guò)點(diǎn)O作OA⊥PE于點(diǎn)A,則直線PA即為所求切線.

        理由簡(jiǎn)述:∵PD為大⊙O的直徑,且OA⊥PE,

        ∴∠PAO=∠PED=90°,則OA∥DE.

        ∴△PAO∽△PED.

        圖12

        作法九:(1)如圖12, 作PO的垂直平分線交PO于點(diǎn)C;

        (2)作PC的垂直平分線交PC于點(diǎn)D,以D為圓心,PD為半徑畫⊙D;

        (3)作BO的垂直平分線交BO于點(diǎn)E,以C為圓心,OE為半徑畫弧交⊙D于點(diǎn)F;

        (4)畫直線PF,過(guò)點(diǎn)O作OA⊥PF于點(diǎn)A,則直線PA即為所求切線.

        理由簡(jiǎn)述:∵PC為⊙D的直徑,且OA⊥PF,

        ∴∠PFC=∠PAO=90°.

        即FC∥OA.

        ∴△PAO∽△PFC.

        ∴OA=2FC=r.

        作法九的思路雖然和作法八類似,都是構(gòu)造“A”字型從而完成90°的轉(zhuǎn)化,但是作法九明顯要比作法八復(fù)雜.

        3.2.2 構(gòu)造線段PA

        不管是連半徑,證垂直,還是作垂直,證半徑,都可以完全確定直角三角形PAO,除了通過(guò)確定∠PAO或者OA來(lái)完全確定直角三角形PAO,還可以嘗試確定PA的長(zhǎng)度.

        切入點(diǎn)9:利用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”.

        如圖13,我們知道△PAC∽△PBA,從而可以得到PA2=PB·PC,這里PB和PC都是定值,如何確定PA的長(zhǎng)度?這一等式讓我們聯(lián)想起了“射影定理”.如圖14,在直角三角形EPC中,有PE2=PB·PC,也有EB2=PB·BC.那么,我們只需借助PB和PC構(gòu)造“母子三角形”,即可確定PA的長(zhǎng)度.

        圖13

        圖14

        作法十:(1)如圖15,連接PO并延長(zhǎng),交⊙O于點(diǎn)B,C;

        圖15

        (2)作PC的垂直平分線交PC于點(diǎn)D;

        (3)以D為圓心,PD為半徑畫⊙D;

        (4)過(guò)點(diǎn)B作PC的垂線交⊙D于點(diǎn)E;

        (5)以P為圓心,PE為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)A;

        (6)畫直線PA,則直線PA即為所求切線.

        4 反思

        尺規(guī)作圖是學(xué)生在圖形與幾何中要掌握的重要技能,需要學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí),多角度思考問(wèn)題,并借助五種基本尺規(guī)作圖,完成整個(gè)構(gòu)圖過(guò)程.這不僅需要學(xué)生熟練掌握五種基本尺規(guī)作圖,更需要靈活運(yùn)用初中的幾何模型.

        本題解法很多,但細(xì)細(xì)想來(lái),主要還是分兩條主線,那就是切線的兩種判定方法:作半徑,證垂直;作垂直,證半徑.根據(jù)這兩條主線,分別喚醒學(xué)生已有的幾何模型儲(chǔ)備,建立直角模型的構(gòu)造體系和線段的構(gòu)造方法.

        這道幾何作圖題,可以放在中考一輪復(fù)習(xí)“圓”這一章,這樣不僅可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)證明切線的兩種方法,更可以激發(fā)學(xué)生思維的火花,在探尋多種方法的同時(shí),幫助學(xué)生復(fù)習(xí)構(gòu)造直角和線段的多種方法,讓學(xué)生對(duì)幾何圖形中基本元素的構(gòu)造有更多的認(rèn)識(shí).

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