湖北省宜昌市夷陵區(qū)東湖初級中學 黃 新 湖北省宜昌市教育科學研究院 張 欽
筆者曾有幸參加中考數(shù)學命題工作,現(xiàn)將中考數(shù)學試卷第23題的命題考查靶向、命題預(yù)設(shè)、素材選取、雛形編制、試題打磨等命制過程進行展示,與大家分享.
中考是在完成義務(wù)教育基礎(chǔ)上進行的選拔性考試,命題要考慮初中學生升入高中后繼續(xù)學習的潛在能力.根據(jù)中考功能,命題組確定第23題為幾何壓軸題,命題定位于通過幾何圖形的運動與變換,借助數(shù)學活動,考查數(shù)學核心知識.命題設(shè)想以教材中的素材為原型,最好在“數(shù)學活動”中選??;重視推理,突出考查合情推理與演繹推理的有機結(jié)合[1];關(guān)注探究,注重對數(shù)學基本活動經(jīng)驗的考查;關(guān)注交匯,考查初中幾何核心知識,規(guī)避試題模式化;注重公平,規(guī)避資料上出現(xiàn)的題目;強化核心,有效導向初中幾何的教與學.
查看人教版教材,筆者首先找到人教版八年級下冊第64頁“數(shù)學活動”中的活動1: 折紙做60°,30°,15°的角.
圖1
教材原題: 如果我們身旁沒有量角器或三角尺,又需要作60°,30°,15°等大小的角,可以采用下面的方法(如圖1).
(1)對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平.
(2)再一次折疊紙片,使點A落在EF上,并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕BM.同時,得到了線段BN.
觀察所得的∠ABM,∠MBN和∠NBC,這三個角有什么關(guān)系?你能證明嗎?
教材意圖:教材給出利用矩形紙片折出30°角的方法,運用折的過程得到全等三角形,以及利用直角邊和斜邊的關(guān)系判斷30°角的方法,這個活動既有動手操作,又有一定的趣味性.本活動關(guān)注學生通過動手操作和觀察經(jīng)歷數(shù)學思考,主動獲取數(shù)學知識,并感悟數(shù)學思想方法,積累基本學習活動經(jīng)驗,同時復(fù)習矩形的性質(zhì)、三角形全等以及直角三角形等核心知識.
作為中考數(shù)學試題中的幾何壓軸題,考查高度必須高于教材難度,并且盡量覆蓋初中階段幾何核心知識,考查基本圖形的典型性質(zhì).母題出現(xiàn)在八年級下冊,它所涉及的初中幾何知識比較少,筆者在此圖形的基礎(chǔ)上,通過折疊變換改變條件,整合相關(guān)性質(zhì)和圖形間關(guān)系,以探究相關(guān)結(jié)論來創(chuàng)編,達到命題預(yù)設(shè).
第1稿:四邊形ABCD是矩形,P是AB上一點,將△PBC沿PC折疊得到△PB′C,直線CB′與AD交于點E,BE,CP交于點F,DC=6.
(1)如圖2,當點A與點P重合時,比較線段AE與DE的大?。?/p>
圖2
圖3
(2)如圖3,點P在運動的過程中,有唯一點P使PB′∥BE,求AP∶PB;
圖4
(3)如圖4,當PB′∥BE時,半徑為2的⊙O與△PBC的兩邊相切,且點O在△PBC的內(nèi)部或邊上,求PB的取值范圍.
診斷分析:第(1)問為“比較線段長度大小”這個基本的數(shù)學問題,考查折疊的基本性質(zhì)及直角三角形邊角關(guān)系,絕大多數(shù)學生能解決,體現(xiàn)了試題由易到難的基本特征.第(2)問考點設(shè)置比較好,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.第(3)問關(guān)聯(lián)圓的知識,突出了對核心知識與方法的考查預(yù)設(shè).第1稿出來之后,命題組成員認為“以矩形及矩形折疊為基本條件,將矩形上一點設(shè)置為動點,折疊所得圖形隨動點的移動而變化”為題干的思路比較好.但是,第(2)問入口太窄,方法比較單一,難度偏大,建議將動點改為定點,重新編制題干;第(3)問把圓的知識放進去,感覺比較突兀,導致本道題不流暢、不自然,有拼湊之嫌,同時分類太多致使書寫量偏大,不利于考生解答.于是嘗試將(3)中“⊙O與△PBC的兩邊相切”改為“以CF為直徑作圓,交DE于點G”,將動圓設(shè)置為定圓,以更好地突出考查數(shù)學本質(zhì),于是得到第2稿.
第2稿:四邊形ABCD是矩形,P是AB上一點,將△PBC沿PC折疊得到△PB′C,CB′與AD交于點E,BE,CP交于點F,PB′∥BE.
(1)如圖5,①求證:BP=BF;②E是AD的中點,且AD=nAB,求n的值.
圖5
圖6
診斷分析:第2稿中,第(1)問中“E是AD的中點,且AD=nAB”不簡約,并且條件“AD=nAB”的出現(xiàn),可能會給學生帶來一定的思維障礙;第(2)問設(shè)置求“tan∠ECG”,需要學生自己搭橋太多,計算量過大,證三角形相似次數(shù)太多,而且方法單一.命題組經(jīng)過討論,認為圓在這里出現(xiàn)仍比較牽強,不能突出對核心知識的考查,決定只在直線型中挖掘新的結(jié)論,突出對學生解決問題方式的考查.
第3稿:已知矩形ABCD中,P是邊AB上一點,把△PBC沿著直線PC折疊,頂點B的對應(yīng)點是點G,CG交線段AD于點E,連接BE,與線段PC交于點F,且BE⊥CG.
(1)如圖7,AE=DE,求證:AD=2AB;
圖7
圖8
(2)如圖8,AE 診斷分析:在討論第3稿時認為,設(shè)置第(1)問的目的,一是考查三角形全等的證明方法,二是為求tan∠PCB的值作鋪墊.雖然第(1)問中設(shè)置的“求證AD=2AB”的方法較多,有利于考查思維的全面性,但對于本題后續(xù)問題的解決有干擾,并且后續(xù)第(2)問中的①②問都要用到三角形相似的知識,因此決定將第(1)問直接設(shè)置為證三角形全等.第(2)問給的數(shù)據(jù)為分數(shù),在形式上給學生造成運算的心理負擔,于是將條件中的數(shù)據(jù)設(shè)置為整數(shù),給學生以簡潔的感覺,體現(xiàn)人文關(guān)懷,但是對比本地模擬題中大多是求正切值,①中求tan∠PCB的值存在套路,達不到預(yù)期的區(qū)分度,因此改為“求cos∠PCB的值”. 確定好題目考查方向后,再次核對課程標準中對應(yīng)的知識及能力要求,看是否符合命題要求.最后環(huán)節(jié)是語句的打磨及圖形的再構(gòu)造,確保試題簡潔、美觀、悅目,確??疾榈男Ф萚2],彰顯人文關(guān)懷.最后得到如下中考數(shù)學第23題. 中考稿:在矩形ABCD中,AB=12,P是邊AB上一點,把△PBC沿直線PC折疊,頂點B的對應(yīng)點是點G,過點B作BE⊥CG,垂足為E,BE交PC于F,點E在AD上. (1)如圖9,當點E是AD的中點時,求證:△EAB≌△EDC; (2)如圖10,①求證:BP=BF; ②當AD=25,且AE ③當BP=9時,BE·EF的值. 圖9 圖10 診斷分析:本題最終以矩形為背景進行圖形變換,以考查幾何推理為主,并設(shè)問求線段長的乘積及三角函數(shù)值等,充分考查學生幾何直觀、空間想象、邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).設(shè)問具有關(guān)聯(lián)性,“①求證:BP=BF”,為解決第②問起到搭橋的作用;②中條件“AE 編制本題時,難點定在對數(shù)學思維的考查,并在題干及問題設(shè)置上滲透人文關(guān)懷.精心打磨題干語言,力求與教材中的習題語言的規(guī)范性一致,通過多次打磨,降低了學生閱讀量,學生不存在閱讀障礙;精心搭建橋梁臺階,通過設(shè)置遞進式問題引導學生思維;精心拓寬解題入口,秉承“人人都有獲得數(shù)學教育的機會”理念,爭取讓 “人人都敢于嘗試壓軸題”,試題解法多樣,便于不同水平的考生都能有施展身手的舞臺.2.4 直擊數(shù)學本質(zhì) , 彰顯人文關(guān)懷
3 命題感悟
3.1 打磨細節(jié),增強考查的效度
3.2 適時反思,著眼核心素養(yǎng)