林滿連

(福建省上杭縣第一中學(xué)，福建 龍巖 364200)

函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)、平面向量、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的必考知識(shí)點(diǎn).為提高學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)的效率，增強(qiáng)其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題的能力與意識(shí)，可提前合理的設(shè)計(jì)教學(xué)計(jì)劃，采取積極地、有針對(duì)性措施為學(xué)生做好數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的示范.

1 用于函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中

高中數(shù)學(xué)中函數(shù)性質(zhì)主要包括：單調(diào)性、奇偶性、周期性等.在講解這些內(nèi)容時(shí)為使學(xué)生更好地理解，為其學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用做好鋪墊，要注重運(yùn)用多媒體技術(shù)為學(xué)生展示相關(guān)的函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象的特點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，在腦海中中形成清晰的模型，幫助其理解對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

例1已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=|x-m|-m對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均有f(x+1)≥f(x)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍( ).

解析該題較為抽象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合更容易理解題意與解題.根據(jù)題干描述運(yùn)用函數(shù)奇偶性畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合圖象等價(jià)轉(zhuǎn)化要求解的問題，通過解不等式求m的取值范圍.

圖1

2 用于函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)中

函數(shù)零點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念.正確理解函數(shù)零點(diǎn)概念是解答相關(guān)習(xí)題的基礎(chǔ).教學(xué)實(shí)踐中為獲得良好的教學(xué)效果，通過數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，展示常見函數(shù)圖象，剖析函數(shù)零點(diǎn)，使學(xué)生理解零點(diǎn)并不是點(diǎn)，而是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其與對(duì)應(yīng)方程的根相等.另外，借助函數(shù)圖象幫助學(xué)習(xí)者構(gòu)建函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使其在以后解題中能夠進(jìn)行正確的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

解析將函數(shù)f(x)看做兩個(gè)函數(shù)，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象在給定區(qū)間的交點(diǎn)個(gè)數(shù).結(jié)合函數(shù)圖象確定m的取值范圍以及三個(gè)零點(diǎn)之間的關(guān)系，借助不等式知識(shí)分析出其取值范圍.

課堂上圍繞以下問題與學(xué)習(xí)者進(jìn)行互動(dòng)，指引學(xué)習(xí)者盡快地找到解題思路，高效地作答：(1)可將函數(shù)f(x)拆分成哪兩個(gè)函數(shù)？(2)函數(shù)圖象中怎樣體現(xiàn)三個(gè)不同的零點(diǎn)？(3)函數(shù)零點(diǎn)之間有什么關(guān)系？最終學(xué)習(xí)者經(jīng)過思考運(yùn)用數(shù)形結(jié)合順利得出正確答案.

圖2

3 用于平面向量教學(xué)中

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，其中平面向量的加減法體現(xiàn)的正是數(shù)形結(jié)合，而且部分平面向量習(xí)題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合可有效降低解題難度，確保問題得以順利高效突破.

例3已知a，b，c為三個(gè)平面向量，其中向量a，b的夾角為60°且模均為2.若c2-2a·c+3=0，則|b+c|的最小值為( ).

解析該題如采用常規(guī)思路，計(jì)算較為繁瑣，不容易得出正確答案.如運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，可有效降低計(jì)算難度.根據(jù)已知條件找到向量之間的關(guān)系.通過設(shè)出對(duì)應(yīng)向量，將向量問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的圖形問題，即，分析出向量c表示的是圓，而后借助數(shù)形結(jié)合便可直觀地確定|b+c|的最小值.

圖3

4 用于導(dǎo)數(shù)教學(xué)中

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要工具.一些數(shù)學(xué)習(xí)題既可以單獨(dú)考查學(xué)習(xí)者掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí)的情況，也可以函數(shù)為背景考查學(xué)習(xí)者運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決問題的靈活程度.

A.0 B.(3-ln2)ln2 C.1 D.e

解析根據(jù)給出的分段函數(shù)以及已知條件畫出對(duì)應(yīng)圖象，確定相關(guān)參數(shù)取值范圍.通過換元構(gòu)造新的函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究新構(gòu)造函數(shù)性質(zhì)，得出其最大值.

函數(shù)f(x)的圖象如圖4所示，因若f(a)=f(b)，且a≠b，由圖可設(shè)0≤a<1，b>1，令f(a)=f(b)=t，則易得01，tet>0，而0<2t≤2，則h′(t)>0，則在給定區(qū)間上h(t)單調(diào)遞增，h(t)max=h(1)=e，即bf(a)+af(b)的最大值為e，選擇D項(xiàng).

圖4

5 用于圓錐曲線教學(xué)中

圓錐曲線在高中數(shù)學(xué)中的重要性不言而喻.其突出特點(diǎn)是計(jì)算量大.對(duì)于部分圓錐曲線習(xí)題而言一味的進(jìn)行計(jì)算反而會(huì)走不少的彎路，而且難以保證最終求得結(jié)果的正確性.根據(jù)題干內(nèi)容畫出相關(guān)圖形，從幾何角度進(jìn)行分析，挖掘隱含條件，構(gòu)建相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，達(dá)到順利解題的目標(biāo).

圖5

高中數(shù)學(xué)理論知識(shí)講解中要注重?cái)?shù)形結(jié)合的應(yīng)用，可幫助學(xué)習(xí)者理解重點(diǎn)與難點(diǎn)，給其留下深刻印象，提高其課堂學(xué)習(xí)效率.同時(shí)，在習(xí)題教學(xué)中圍繞習(xí)題展示數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，可使學(xué)習(xí)者盡快地找到解題思路，降低運(yùn)算難度，使其少走彎路，節(jié)省做題時(shí)間，因此，教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)將數(shù)形結(jié)合納入教學(xué)的重要內(nèi)容，并結(jié)合教學(xué)內(nèi)容采取切實(shí)可行措施，將數(shù)形結(jié)合滲透至教學(xué)活動(dòng)中，使學(xué)習(xí)者掌握這種高效的學(xué)習(xí)方法和解題方法.