王玉鳳 王國(guó)偉

幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)具有重要影響，但是這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生而言具有較大難度。而如何降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解幾何教學(xué)中的復(fù)雜圖形是當(dāng)前教師所要思考的一個(gè)問(wèn)題。本文圍繞“角平分線的應(yīng)用”這一內(nèi)容展開系統(tǒng)分析，旨在幫助學(xué)生理解基本圖形在幾何內(nèi)容中的應(yīng)用，優(yōu)化解題思路，在多種策略的發(fā)展下，深化學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解和領(lǐng)悟，為提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)做鋪墊。

一、趣味引入，初步感知

（一）問(wèn)題導(dǎo)入，探究新知

教師播放視頻，讓學(xué)生分析蜘蛛結(jié)網(wǎng)現(xiàn)象，依據(jù)這一視頻引申角平分線圖，讓學(xué)生思考相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題：

問(wèn)題1：蜘蛛在∠AOB平分線OC上一點(diǎn)P處，如果獵物出現(xiàn)在OA或者OB處，這個(gè)時(shí)候蜘蛛可以選擇哪一條路線？

問(wèn)題2：判斷OA、OB的路線長(zhǎng)度關(guān)系。

學(xué)生根據(jù)具體的圖示，結(jié)合蜘蛛結(jié)網(wǎng)和角平分線圖片展開分析，依據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)回答教師所提出的問(wèn)題。

教師提示：點(diǎn)到直線距離垂線段的長(zhǎng)最短，判斷蜘蛛選擇的路線為：第一條：P到A；第二條：P到B。

隨后根據(jù)學(xué)生的分析進(jìn)一步提問(wèn)。

教師：兩條線段的長(zhǎng)度是否一樣？通過(guò)什么方式可以更好地判定？

教師提示：通過(guò)折紙的形式。

學(xué)生：先將∠AOB對(duì)折，然后再經(jīng)過(guò)P點(diǎn)折出一個(gè)直角三角形。

教師：通過(guò)折紙大家可以得出什么結(jié)論？

學(xué)生：蜘蛛選擇的這兩條線路長(zhǎng)度一樣。

隨后教師總結(jié)角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)。

教師以預(yù)設(shè)的問(wèn)題設(shè)置，讓學(xué)生應(yīng)用推理的方式掌握角平分線的有關(guān)性質(zhì)。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)通過(guò)動(dòng)態(tài)視頻演示，在直觀圖片的綜合對(duì)比下，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，讓學(xué)生了解點(diǎn)到直線的距離知識(shí)，進(jìn)一步判定角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等的定理，在實(shí)踐的基礎(chǔ)上觀察分析點(diǎn)到角兩邊距離的關(guān)系，以此滿足學(xué)生的求知欲望，為后期知識(shí)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。）

（二）啟發(fā)引導(dǎo)

在學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的相關(guān)知識(shí)后，教師引導(dǎo)學(xué)生綜合分析基本圖形的形狀，幫助學(xué)生探究新的知識(shí)。

教師：常見的基本圖形有哪些？

學(xué)生1：平行四邊形、長(zhǎng)方形、梯形、橢圓形、菱形、扇形。

教師：這些基本圖形有哪些特征？

學(xué)生回答。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)旨在幫助學(xué)生探究基本圖形的形狀以及主要的特征，促使學(xué)生內(nèi)化幾何元素，強(qiáng)化對(duì)所學(xué)基本圖形的知識(shí)理解，以此為新知識(shí)的學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)。同時(shí)，師生之間的問(wèn)答互動(dòng)不僅可以融洽師生關(guān)系，拉近師生距離，營(yíng)造輕松愉悅的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，而且可以促使數(shù)學(xué)教師更直觀地掌握學(xué)生當(dāng)前的知識(shí)吸收情況，并對(duì)其掌握的情況做出詳細(xì)分析，制訂具有針對(duì)性的教學(xué)計(jì)劃，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。）

二、任務(wù)驅(qū)動(dòng)，加深知識(shí)理解

例題1.如圖2所示，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P1，請(qǐng)分析∠P1與∠A之間的數(shù)量關(guān)系。

教師：請(qǐng)簡(jiǎn)要陳述你的解題思路。

教師給予適當(dāng)提示（依據(jù)角平分線性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和公式可以得出答案），邀請(qǐng)學(xué)生展示自己的解題過(guò)程。

學(xué)生展示后，教師評(píng)價(jià)，及時(shí)給予學(xué)生鼓勵(lì)。

教師：現(xiàn)在請(qǐng)大家分析下面的例題。

例題2.根據(jù)圖3分析在△ABC中，∠ABC的外角平行線與∠ACB的外角平行線相交于點(diǎn)P2，請(qǐng)分析∠P2與∠A之間的數(shù)量關(guān)系。

教師：前期大家針對(duì)例題的解答速度很快，而且準(zhǔn)確率很高，現(xiàn)在請(qǐng)看遂寧考題，讓我們一起共同解答經(jīng)典例題。這種考題在試卷中很常見，現(xiàn)在請(qǐng)大家根據(jù)自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，綜合分析這道例題的解答步驟，隨后我們邀請(qǐng)一位學(xué)生上講臺(tái)投影展示。

例題3.如圖4，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， 以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（? ）

①AD是∠BAC的平分線 ②∠ADC=60° ③點(diǎn)D在AB的中垂線上 ④S△DAC∶S△ABC=1∶3

A.1 B.2 C.3 D.4

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)據(jù)實(shí)際例題組織學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)討論分析，隨后滲透歷年經(jīng)典考題讓學(xué)生綜合分析，幫助學(xué)生掌握更多高效的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，掌握解題規(guī)律。）

三、布置任務(wù)，小組合作探究

教師：接下來(lái)我要給大家一個(gè)新的身份——福爾摩斯，請(qǐng)大家充當(dāng)小福爾摩斯，分析下面的例題中所隱含的基本圖形，并總結(jié)這些基本圖形對(duì)最終的結(jié)論有何影響。

例題4.在△ABC中，∠ABC的平分線與AC交于點(diǎn)O，∠ACB的平分線與AB交于點(diǎn)P，BO與CQ相交于點(diǎn)Q，若∠A=30°，求證：QP=QO。

學(xué)生1：從角平分線上的點(diǎn)往角兩邊做垂線段，垂線段相等，有全等。

學(xué)生2：根據(jù)圖形可以截取一條線段與已知線段相等，從而構(gòu)建一個(gè)全等三角形。

教師：通過(guò)剛才大家的陳述，我們可以得出在解答幾何題時(shí)，應(yīng)用基本圖形能幫助我們掌握解題技巧，而針對(duì)同一個(gè)基本圖形的不同添線方式可以提高解題效率?，F(xiàn)在請(qǐng)大家根據(jù)自己的理解，將這道題目進(jìn)行改編，換一個(gè)條件，看是否能夠通過(guò)基本圖形進(jìn)行解決呢？

在提出問(wèn)題之后，教師給學(xué)生留出時(shí)間，讓其思考分析，最后根據(jù)多媒體的優(yōu)勢(shì)將正確的解題步驟投放在大屏幕上，讓學(xué)生對(duì)比自己在思考過(guò)程中的思路是否正確。

（設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生掌握角之間關(guān)系的內(nèi)容之后，教師通過(guò)線段之間的關(guān)系分析，引導(dǎo)學(xué)生理解角平分線構(gòu)造兩個(gè)三角形全等的方式，掌握證明線段相等的基本方法。本環(huán)節(jié)有助于培養(yǎng)學(xué)生一題多解的學(xué)習(xí)思路，拉近師生關(guān)系，讓學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)思考、深入分析的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。）

四、課堂練習(xí)，發(fā)散學(xué)生思維

教師依據(jù)前期學(xué)生針對(duì)基本圖形概念、特征等內(nèi)容的深入分析，在不同例題的解題經(jīng)驗(yàn)下，以“龜兔賽跑”的方式給學(xué)生分配角色，然后將班級(jí)學(xué)生劃分為兩個(gè)小組。根據(jù)教師前期準(zhǔn)備的例題，讓學(xué)生深入分析，掌握角平分線的相關(guān)知識(shí)。

教師：前面的內(nèi)容大家整體的表現(xiàn)非常不錯(cuò)，現(xiàn)在我們以烏龜和兔子比賽的方式解決下列例題，看哪一個(gè)小組用時(shí)最短，解題思路更清晰，最終抵達(dá)終點(diǎn)的小組我們將給予相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)，例題如下：

1.如圖5，CD是△ABC的外角∠ACE的角平分線，交BA延長(zhǎng)線于D.求證AC∶BC=AD∶BD.

2.如圖6，直線y=■x+4，與y軸、x軸的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)O是原點(diǎn)。若∠ABO的角平分線BC交y軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

在整個(gè)比賽環(huán)節(jié)，每一個(gè)小組的學(xué)習(xí)熱情非常高漲，特別是“烏龜”小組，在劃分小組之后，這一組并沒(méi)有直接開始答題，而是率先選擇了一名小組長(zhǎng)，在小組長(zhǎng)的帶領(lǐng)下，根據(jù)我所給出的例題進(jìn)行分工，以同桌兩人為一小組解答一道例題。我發(fā)現(xiàn)這個(gè)小組的解題速度非常高效，相對(duì)于“兔子”小組用時(shí)最短。隨后，我看到“兔子”組也非?；钴S。在近距離了解了每一小組的解題過(guò)程之后，我發(fā)現(xiàn)“兔子”小組的解題思路非常清晰，正確率非常高。但是最后還是分工明確的“烏龜”小組取得了勝利。

隨后小組的發(fā)言，重點(diǎn)討論小組分工、互相幫助的重要性，以此增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。在“龜兔賽跑”游戲結(jié)束之后，我發(fā)現(xiàn)大家意猶未盡，于是我又滲透了新的題型，組織學(xué)生繼續(xù)練習(xí)。

教師：同學(xué)們，剛才龜兔賽跑的比賽環(huán)節(jié)雖然有的小組取得了最終的勝利，有的小組以失敗而告終，但是我們不要?dú)怵H，大家繼續(xù)加油，接下來(lái)我們以智慧大闖關(guān)的方式分析下列例題，與剛才不同的是，這次我們將男生和女生各分為一個(gè)小組，看哪組是最終的智慧闖關(guān)王。

通過(guò)分析互逆命題逆定理的具體案例，讓學(xué)生分析互逆命題是兩個(gè)命題之間的關(guān)系。即任意一個(gè)為原命題，另一個(gè)就是它的逆命題。

第一關(guān)：判斷下列命題的真假。

1.只要兩條直線平行，則同位角一定相等。

2.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

第二關(guān)：判斷下列命題的正誤。

1.錯(cuò)誤的命題是沒(méi)有逆命題的。

2.一個(gè)真命題的逆命題一定是正確的，反之則是錯(cuò)誤的。

（設(shè)計(jì)意圖：以趣味性的“龜兔賽跑”方式，賦予學(xué)生比賽角色，讓其在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，分析角平分線的應(yīng)用內(nèi)容，深化學(xué)生對(duì)角平分線性質(zhì)的理解。同時(shí)，以闖關(guān)的方式促使學(xué)生掌握互逆命題的真假性關(guān)系，分析互逆定理的概念，并積累判斷一個(gè)命題是真命題還是假命題的解題經(jīng)驗(yàn)。）

五、教學(xué)反思

（一）注重基本圖形的合理應(yīng)用

在教學(xué)活動(dòng)中，針對(duì)基本圖形的運(yùn)用，教師可以給學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)空間，讓其主動(dòng)嘗試，深入分析，幫助學(xué)生解決幾何學(xué)習(xí)中的難題，提高學(xué)生對(duì)基本圖形的運(yùn)用能力。

（二）培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力

教師可以為學(xué)生設(shè)計(jì)更多作圖以及識(shí)圖的訓(xùn)練，在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)，讓學(xué)生掌握規(guī)范作圖的步驟，注重規(guī)范書寫的注意要點(diǎn)。學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐分析，可了解基本圖形的基本特征，以此形成空間概念，簡(jiǎn)化學(xué)習(xí)難度。同時(shí)，教師還可以利用網(wǎng)絡(luò)媒體的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，利用希沃電子白板、翻轉(zhuǎn)課堂等多種方式進(jìn)行講解，以此減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力。

（三）明確教學(xué)側(cè)重點(diǎn)

按照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的要求，教師可以給學(xué)生設(shè)置相應(yīng)的探究任務(wù)，讓學(xué)生從不同的維度思考例題，明晰解題步驟，抓住核心要點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念知識(shí)的理解，提高對(duì)問(wèn)題的分析以及解答能力，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（作者單位：1.蘭州市第三中學(xué)；2.蘭州市第五中學(xué)）

編輯：張俐麗