丁明亮

在《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中，幾何直觀是初中階段數(shù)學九個核心素養(yǎng)之一。幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進行分類；根據(jù)語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直觀模型；利用圖表分析實際情境與數(shù)學問題，探索解決問題的思路。幾何直觀有助于學生把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。

一、教材分析

“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”教學內(nèi)容隸屬于九年級上冊第二十二章“二次函數(shù)”?！岸魏瘮?shù)”章節(jié)內(nèi)容設置具體圍繞深化函數(shù)數(shù)學概念認識的層面。

“二次函數(shù)”章節(jié)教學內(nèi)容由三部分構成，分別為“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”“二次函數(shù)與一元二次方程”及“實際問題與二次函數(shù)”。“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”這一小節(jié)內(nèi)容是章節(jié)教學的最初始階段，學生需要通過這一小節(jié)內(nèi)容的學習，對函數(shù)的基本性質(zhì)進行深入的理解，由此為學生在后續(xù)學習中科學認識函數(shù)與方程式之間的關系以及函數(shù)在實際問題中的應用奠定基礎。從函數(shù)知識教學的整體來看，“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”可以作為函數(shù)基礎理論知識教學的總結與函數(shù)實際應用教學的開端，在函數(shù)知識教學體系中起著承前啟后的作用。

二、學情分析

“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是九年級上冊的教學內(nèi)容，在“中考”中，函數(shù)知識是重要的考點。無論是教師還是學生，對函數(shù)知識學習的重要價值都有充分的認知，學生對函數(shù)知識學習的積極性可以得到充分保證。但是，進入二次函數(shù)知識學習階段，難度陡增。在學習難度大幅度提升的情況下，有相當一部分學生會在學習過程中產(chǎn)生畏難情緒，影響學習效果。

三、教學目標

1.能夠正確運用描點法繪制二次函數(shù)圖象；能夠運用函數(shù)圖象研究分析二次函數(shù)的性質(zhì)。

2.經(jīng)歷探索與發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)圖象特點與性質(zhì)的完整過程；在學習中充分體會數(shù)形結合思想在教學中的應用。

3.在學習中完整經(jīng)歷觀察、推理與合作交流的過程，通過知識學習積累數(shù)學問題研究與合作交流學習經(jīng)驗；體驗數(shù)學學習中的探索性與創(chuàng)造性；積極參與二次函數(shù)學習探索活動，深入體驗二次函數(shù)是描述現(xiàn)實生活的重要模型。

四、教學重點與難點

教學重點：精準繪制二次函數(shù)圖象。

教學難點：通過二次函數(shù)的表達式推斷圖象的性質(zhì)，深刻體會學習中數(shù)形結合思想的應用。

五、教學流程

（一）復習以往所學知識，引入新知識

1.看一看以下哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些函數(shù)是一次函數(shù)？

①y=3x-1；②y=2x2+7；③y=x-2；④y=（x+3）2-x2；⑤y=3（x-1）2+1

2.以往在一次函數(shù)知識學習中，你運用哪種方式繪制函數(shù)圖象？

（設計意圖：在“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的導入環(huán)節(jié)，一共為學生提出兩個問題。問題1中，具體向?qū)W生出示了多個函數(shù)，讓學生判斷這些函數(shù)中哪些是一次函數(shù)，哪些是二次函數(shù)。有關一次函數(shù)的知識學生已經(jīng)通過八年級下學期的數(shù)學學習有相對比較充分的了解，因此學生能夠從給出的函數(shù)中找到其中的一次函數(shù)，而其他不符合一次函數(shù)判定標準的函數(shù)則為本節(jié)課教學中提到的二次函數(shù)。這一問題設置，能夠引導學生直觀對比一次函數(shù)與二次函數(shù)的差異，在帶領學生回顧以往所學知識的基礎上形成對課堂新知的初步認識。第二個問題可以具體引導學生回顧一次函數(shù)圖象的繪制方式，建議學生采用列表、描點、連線的方法繪制函數(shù)圖象，以此提出新的問題，即是否可以沿用這一方法進行二次函數(shù)圖象的繪制，由此引出本節(jié)課后續(xù)的教學活動。）

（二）課堂教學活動

★課堂教學活動1

1.函數(shù)圖象繪制方法介紹。

活動中，教師利用班級中的多媒體設備，以可視化形式向?qū)W生展示二次函數(shù)圖象的形態(tài)與具體畫法。首先根據(jù)函數(shù)y=-x2的x與y的不同數(shù)值在平面直角坐標系中標注x與y坐標的各個點的坐標，之后再使用平滑曲線將各個點位連接到一起，最終能夠得到y(tǒng)=-x2的圖象。所繪制圖象及數(shù)值列表如圖1所示：

畫二次函數(shù)y=-x2的圖象：

①列表：

②描點、連線：

2.根據(jù)函數(shù)圖象提出問題：圖象形式類似于什么？

3.引出課堂教學中的一般概念：拋物線、拋物線的對稱軸、頂點。

（設計意圖：基于這一設計思路，教學活動1中要求學生繪制二次函數(shù)y=-x2的圖象，并圍繞這一基本任務設置三項活動環(huán)節(jié)。活動環(huán)節(jié)設置中通過信息化教學技術應用，首先讓學生對二次函數(shù)圖象的繪制方法形成更加明確的認識，而后的教學環(huán)節(jié)中，再根據(jù)函數(shù)圖象內(nèi)容提出問題，最終引出二次函數(shù)圖象相關的拋物線等數(shù)學概念。）

★課堂教學活動2

1.要求學生自主繪制函數(shù)y=-x2，y=-2x2的圖象，教師檢查每名學生繪制的函數(shù)圖象，從中選出部分作品。

2.教師使用多媒體設備向?qū)W生展示兩個函數(shù)圖象正確的繪制過程，讓學生通過對比了解自己函數(shù)圖象繪制中的具體問題。正確的圖象如圖2所示。

3.引導學生觀察自己繪制的函數(shù)y=-x2，y=-2x2的圖象與上一項活動中的函數(shù)y=-x2的圖象，指出這幾個函數(shù)圖象的共同點與差異。

4.引導學生以合作探究的形式歸納總結上述三個函數(shù)圖象的共同點與差異。函數(shù)圖象的共同點具體有：所有的函數(shù)圖象都呈現(xiàn)拋物線形式；函數(shù)圖象除頂點之外都位于x軸的下部；所有函數(shù)圖象的開口都朝下；所有函數(shù)圖象均以y軸為對稱軸；函數(shù)圖象均以坐標系原點為頂點，而函數(shù)差異體現(xiàn)在圖象開口的大小不同。

5.教師根據(jù)學生的自主學習結果，向?qū)W生明確上述函數(shù)中的限定條件，即函數(shù)y=ax2中系數(shù)a＜0時，系數(shù)a的值越大，圖象開口就越大。

（設計意圖：在本次課堂教學中，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是課堂教學的重點與難點。為降低學生的學習難度，在教學活動設計中先引導學生根據(jù)活動1中了解的二次函數(shù)圖象繪制方法自行繪制函數(shù)圖象。由此能夠充分鍛煉學生的動手能力。此外，在選擇學生函數(shù)圖象的作品中，側重于選擇班級中知識基礎較差學生的作品，因為從這些學生的作品中更容易發(fā)現(xiàn)問題，便于引導學生進一步思考二次函數(shù)圖象繪制的方法。而后，通過引導學生觀察自己繪制的函數(shù)圖象，讓學生得以在課堂學習中進行深入的自主學習活動，由此促進學生對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的深入認識。）

★課堂教學活動3

1.要求學生與自己的同桌使用同一個坐標系共同完成函數(shù)y=x2，y=2x2與y=x2圖象的繪制。

2.教師巡視學生的函數(shù)圖象繪制過程，提供必要指導，并從中選擇優(yōu)秀的作品，供后續(xù)研究函數(shù)圖象性質(zhì)使用。

3.教師通過多媒體設備展示上述函數(shù)圖象的正確畫法，并引導學生觀察圖象，與其他學生合作交流總結歸納上述函數(shù)圖象的共同點與差異。y=x2，y=2x2與y=x2圖象的正確繪制方法如圖3所示。

根據(jù)函數(shù)圖象內(nèi)容，總結歸納各個函數(shù)圖象的共同點，具體包括：所有的函數(shù)圖象都呈現(xiàn)拋物線形式；函數(shù)圖象除頂點之外都位于x軸的上部；所有函數(shù)圖象的開口都朝上；所有函數(shù)圖象均以y軸為對稱軸；函數(shù)圖象均以坐標系原點為頂點，而函數(shù)差異具體為圖象開口的大小不同。

4.教師根據(jù)學生自主學習結果，向?qū)W生明確上述函數(shù)中的限定條件，即函數(shù)y=ax2中系數(shù)a＞0時，系數(shù)a的值越大，圖象開口就越小。

（設計意圖：沿用活動2的設計思路能夠讓學生在活動3中直接借用上一項活動中的學習經(jīng)驗，從而保證學生在這一環(huán)節(jié)中的學習效率。與此同時，通過連續(xù)兩項教學活動設計，能夠有力推動學生自主學習意識與團隊協(xié)作意識的發(fā)展，為學生的學習經(jīng)驗積累提供有力支持。）

★課堂教學活動4

1.教師通過多媒體設備，向?qū)W生出示搶答題目，組織學生開展課堂知識競賽，給予優(yōu)勝者獎勵，營造班級學生間的競爭氛圍。

2.組織學生自主編題，相互之間進行二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的知識競賽。

（設計意圖：此項教學活動的設計，具體抓住初中生普遍存在的競爭心理。初中生思維發(fā)展極度活躍，對于競爭有著十分濃厚的興趣。因此，教師通過競賽類型活動的設置，能夠充分激發(fā)學生對課堂知識學習與回顧的積極性，并讓學生在活動中感受勝利的喜悅，由此提升學生數(shù)學學習的興趣。此項教學活動設計中還設置了學生自主編題項目，引導學生在競爭氛圍中鍛煉自身對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)知識的實際應用能力。）

六、教學反思

本次案例教學設計總體上可以分為兩部分，其一，案例教學設計中通過對教材以及學生情況的分析，充分明確案例教學設計的側重點以及設計思路，并根據(jù)教材與學情分析內(nèi)容，科學制訂各個維度教學目標，明確案例教學中的重難點，為案例教學活動的具體開展奠定穩(wěn)固的理論基礎。其二，案例教學活動的具體設計。案例教學設計可以進一步細分為課堂導入環(huán)節(jié)與正式教學活動兩個部分。課堂導入環(huán)節(jié)設計中，以問題直接引導學生在課堂學習中聯(lián)系以往所學，幫助學生在學習中實現(xiàn)知識遷移，輔助學生開展有效的課堂學習。而在之后的課堂教學活動設計中，具體以引導學生自主學習為核心。而為達成這一目的，在課堂教學活動的初始階段，本次案例設計根據(jù)數(shù)形結合思想，使用多媒體設備幫助學生直觀了解二次函數(shù)的繪制方法，并借此引導學生在課堂學習中自主繪制二次函數(shù)圖象，以此為基礎開展二次函數(shù)性質(zhì)的探索。案例教學能夠讓學生通過課堂學習對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的自主探索過程形成深入了解，并將這一探索過程轉化成學生數(shù)學實際學習經(jīng)驗。

（作者單位：山東省日照市東港區(qū)南湖鎮(zhèn)中心初級中學）

編輯：溫雪蓮