宋俊芳, 孫 彬, 蒲媛媛, 許曉宇, 王騰蛟

(1.西藏民族大學 信息工程學院,陜西 咸陽 712082； 2. 西安工業(yè)大學 光電工程學院, 陜西 西安 710021)

1 引 言

葉片作為精密設(shè)備的關(guān)鍵零件,其表面加工的幾何精度直接影響著部件的工作性能。隨著葉片型面的加工制造越來越復雜,截面幾何尺寸越來越輕薄,前后緣越來越小,其制造精度要求也越來越高,例如某壓氣機葉片前后緣的設(shè)計尺寸要求≤0.1 mm,型面輪廓精度≤0.03 mm。這些都對葉片的制造和檢測提出了挑戰(zhàn)[1～3]。隨著激光傳感器的發(fā)展和應用,線性激光掃描傳感器的快速掃描可以獲得葉片表面的大量點云數(shù)據(jù),點云數(shù)據(jù)需要經(jīng)過點→線→面的數(shù)學模型處理,由離散點云擬合出光順曲線,然后根據(jù)所建立的曲線,用蒙皮法或掃掠法重建曲面,最后利用整個葉片表面的統(tǒng)一描述方法,建立了精確光滑的曲面[4,5]。

為了提高曲面的重構(gòu)質(zhì)量,相關(guān)學者對曲線、曲面的擬合方法進行了廣泛深入的研究。隨著計算機輔助幾何設(shè)計(CAGD)技術(shù)的迅速發(fā)展,自由型曲線、曲面的表達經(jīng)歷了Ferguson雙三次曲面片[6]、Coons雙三次曲面片[7]、貝塞爾方法[8]、B樣條方法[9]等發(fā)展到當前普遍流行的NURBS(non-uniform rational B-splines)方法[10]。

20世紀80年代后期,Piegl L A提出的非均勻B樣條(NURBS)方法[11],已成為用于曲線、曲面描述的最流行的數(shù)學方法。朱心雄等[12]對自由曲線曲面造型技術(shù)進行了深入探討；許曉蘭等[13]利用數(shù)據(jù)點特征的提出了一種NURBS曲面重構(gòu)方法；Chouychai B[14]提出采用正切函數(shù)的應用,可以有效減少NURBS曲線和曲面擬合方程中求逆矩陣的大?。籗hafieipour M等[15]嘗試以新三角形正交局部修正方法制定的規(guī)則來生成NURBS曲面;孔德明等[16,17]提出了一種基于分數(shù)階傅里葉變換的NURBS曲面擬合方法,利用分數(shù)階傅里葉變換濾波及反插節(jié)點法對擬合曲面形狀進行優(yōu)化以提高擬合精度;田小強等[18]利用離散平穩(wěn)小波變換改進NURBS二次曲面擬合方法。

本文以NURBS曲線曲面為基礎(chǔ), 通過激光傳感器采集海量的點云數(shù)據(jù), 對葉片型面的三維重建過程展開了進一步的深入研究。

2 基于點云數(shù)據(jù)的曲線擬合

2.1 曲線光順準則

葉片型面檢測點云數(shù)據(jù)經(jīng)過去噪、濾波前期處理后,首先擬合出截面曲線,為后續(xù)曲面的3D重構(gòu)做準備。曲線擬合根據(jù)應用需求不同,需要遵循一些準則。針對葉片截面曲線,本文選用的光順性準則如下:

(1) 曲線二階幾何連續(xù)；

(2) 曲線曲率變化較均勾；

(3) 曲線沒有拐點和奇點；

(4) 曲線應變能較小。

曲線二階幾何連續(xù),即要求葉片的截面線上葉盆、葉背、前緣、后緣各點滿足幾何二階連續(xù),包括曲線的位置連續(xù)、一階切矢連續(xù)和曲率連續(xù),因此，準則第(1)條是曲線的局部要求標準。曲線光順準則的第(2)、(3)條描述了對截面線整體形狀的控制標準。葉盆和葉背曲線的曲率變化較為規(guī)則,通常曲線只有一個曲率最大值點,并且曲線曲率沿兩端逐漸減小,在拐點處曲率為零。在截面線出現(xiàn)拐點或者曲率發(fā)生大幅度變化的地方,曲線的形狀會發(fā)生較大的改變。按照葉身截面線的設(shè)計準則,整個葉身截面線共有4個拐點,位于前緣、后緣圓弧與葉盆、葉背曲線的切點附近。其中準則(2)是控制截面線曲率的局部極值；準則(3)是控制截面線的凹凸變化；準則(4)表示曲線應變能較小,是能量法的基本原則。

2.2 端點一階導矢連續(xù)法曲線光順

根據(jù)曲線的幾何理論,如果曲線的端點導數(shù)發(fā)生變化,曲線會出現(xiàn)不規(guī)則區(qū)域,即曲線的形狀發(fā)生了很大的變化。根據(jù)曲線不規(guī)則性的分布,曲線不規(guī)則性一般可分為連續(xù)“壞點”和分散“壞點”兩類。在曲線光順前,先計算出曲線各端點導矢,找到“壞點”鄰域的型值點,通過構(gòu)建輔助曲線,就可以識別出曲線中部分連續(xù)的“壞點”。

定義曲線的型值點為{Bk},(k=0,1,…,n),假設(shè)D0和Dn是曲線首尾兩個端點的一階導矢。根據(jù)曲線擬合理論,把型值點通過插值函數(shù)擬合為一條NURBS曲線:

(1)

(2)

式(2)建立的線性方程組是以控制點Pi為未知量的。其中式中有n+1個方程和n+3個未知控制點,因此上述方程屬于超靜定方程,解此方程必須再建立另外兩個方程。從首末端點的一階導矢和相鄰兩個控制頂點的數(shù)學關(guān)系可以得到：

(3)

(4)

通過將上述2個方程與方程(2)相聯(lián)立,可以得到具有系數(shù)矩陣為(n+3)×(n+3)的線性方程組,并且通過求解該系統(tǒng)可以得到n+3個控制點的坐標。已知Pi的坐標是三維結(jié)構(gòu),因此需要求解3個這樣的線性方程組才能求出控制點Pi。

在進行曲線不光順即曲面缺陷區(qū)域識別時,需要首先確定曲面待光順的區(qū)域。本文葉片輪廓面測量系統(tǒng)的精度為2 μm,其中規(guī)定不光順的點是曲線擬合時與曲線的距離大于3 μm的型值點。根據(jù)航空發(fā)動機葉片截面線的設(shè)計特征,葉背和葉盆曲線上曲率發(fā)生突變的型值點就是不光順的點。通過上面的公式,先求出截面曲線上所有測點的曲率, “連續(xù)壞點”的區(qū)域就是曲率圖中曲率變化頻繁的區(qū)域。

設(shè)曲線C(t)為由型值點{Bi},(i=0,1,…,n)而擬合成的3次NURBS曲線,參數(shù)為ti(i=1,…,n)。它的k個“連續(xù)壞點”為Bi,…,Bi+k,曲線光順的步驟如下：

圖1 葉片型面曲線光順過程Fig.1 Blade profile curve smooth process

葉片型面曲線光順過程如圖1所示。在圖1(a)中可以看到具有連續(xù)不規(guī)則的原始曲線。標定的曲率梳表示曲線在中間彎曲,曲率突變較大。通過圖1(b)確定要光順的區(qū)域,然后通過擬合區(qū)域兩端的類型點來獲得更光順的曲線。構(gòu)造出一個輔助樣條曲線,它滿足兩端導數(shù)光順曲線的一階導數(shù)連續(xù)性。如圖1(c)所示,用等參數(shù)法將輔助樣條曲線的點替換為原始不規(guī)則點。圖1(d)為光順后曲線的曲率圖。

3 基于曲線的曲面重構(gòu)研究

3.1 曲面光滑準則

形成曲面網(wǎng)格的曲線光順程度,從某種程度上來說可反映曲面的光順性,然而構(gòu)成曲面網(wǎng)格的曲線光順度好并不能完全代表曲面就一定光順,由于曲面的光順性較為復雜,表面的曲率需要被評估和分析以確定表面的平滑度。具體評價準則如下：

(1) 構(gòu)成曲面的網(wǎng)格曲線的光順性達到要求；

(2) 網(wǎng)格曲線沒有多余的拐點和突變點；

(3) 節(jié)點的主曲率跳躍較小；

(4) 表面的高斯曲率分布是均勻的和穩(wěn)定的;

(5) 相鄰拼接曲面邊界線至少二階連續(xù)。

準則第(1)條所指的曲面網(wǎng)格曲線對于葉片型面來講是指其截面曲線和與截面線垂直的曲線。準則第(2)條中的網(wǎng)格曲線一般是指曲面沿U和V兩個方向上的曲線; 若這兩個方向上的曲線滿足曲線光順性要求,故一般可以認為曲面已經(jīng)較為光順。但在實際操作中,曲面一個方向上曲線的變化會影響到另一個方向上曲線的控制點。由于過曲面上一點的法線存在無限多個剖切平面,剖切平面與曲面交線在此點的曲率的最大值和最小值,反映了曲面在這一點的不同方向的不同彎曲的程度。那么此處曲率的最大值和最小值成為曲面的主曲率,兩個主曲率的乘積就是高斯曲率。準則中第(3)條和第(4)條是對曲面形狀變化的限制。準則第(5)條是說拼接曲面的邊界線時,需要滿足位置連續(xù)、曲率連續(xù)和一階切矢連續(xù)。

3.2 截面曲線的NURBS曲面擬合

將點云數(shù)據(jù){Bk,l},k=0,1,…,n,l=0,1,…,m插值為一張非均勾有理B樣條曲面：

(5)

曲面控制點的計算方法如下：

NURBS曲線擬合過程如圖2所示。曲面控制頂點的求解通常先沿U向?qū)c云數(shù)據(jù){Bk,l}進行插值,求出曲線的控制點云{Ri,l},見圖2(b)。然后,沿另一個方向插值控制點{Ri,l}得到曲面的控制點{Pi,l},見圖2(c),也即是先后求解方程組：

(6)

(7)

式中：Ni,t(u)為t次規(guī)范B樣條基函數(shù)；Nj,q(v)為q次規(guī)范B樣條基函數(shù)。

圖2 NURBS曲面擬合過程Fig.2 NURBS surface fitting process

曲面擬合的完成依賴于曲線擬合,參數(shù)的求解以及曲面的描述等同于曲線擬合過程。通過描述NURBS自由曲面的矢量來確定張量積形式,那么曲面的生成可以分成兩個步驟：第1步是沿著其中一個矢量方向?qū)y量數(shù)據(jù)點進行NURBS曲線逼近；第2步是對于已生成的曲線的控制頂點再進行另外一個矢量方向上的逼近,并最終生成的控制點網(wǎng)格即為NURBS自由曲面的控制點。

3.3 基于構(gòu)建輔助平面的曲面光順

擬定曲面以矢量的張量積形式表示,在曲面的U、V兩個方向上都以曲線的形式表達。根據(jù)葉片型面特征及激光掃描測量路徑規(guī)劃,在U方向上,型值點構(gòu)成了葉片型面的截面曲線。而在V向上,型值點仍然沒有特定的規(guī)律,那么基于U向的截面線光順無法保證曲面足夠光順。

如果要構(gòu)造出一張空間雙三次B樣條曲面,通過測量點云數(shù)據(jù)給定的曲面型值點Bi,j,i=0,1,…,n;j=0,1,…,m,可以按照數(shù)據(jù)點云的空間分布,取一個方向為以u為參數(shù)的截面曲線參數(shù)方向,以v為參數(shù)的控制曲線參數(shù)方向為另一方向,確定出兩個參數(shù)方向的節(jié)點矢量U和V。依據(jù)上文所描述的B樣條曲線光順算法,先在節(jié)點矢量U上求出光順的截面線和它的控制頂點Di,j,i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m+2。最后在節(jié)點矢量V上求出控制頂點Ri,j,i=0,1,…,n;j=0,1,…,m及其控制曲線就得到了所求B樣條插值曲面的(m+3)(n+3)個控制頂點。

在對曲面進行光順前,需要先對控制曲線進行光順,把光順后的控制頂點生成截面曲線,然后再對截面曲線進行光順。由于控制曲線和橫截面曲線的光滑是相互影響的,所以曲面的光滑應該在兩個方向上交替進行,直到所有曲面的橫截面線和控制曲線都達到光滑。

曾有許多學者對重構(gòu)曲面的光順方法進行研究,分片能量法[19,20]就 是應用較廣泛的方法之一,使表面光滑化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題成為可能。構(gòu)造的目標函數(shù)為

(8)

由于該目標函數(shù)的表達形式頗為復雜,一旦曲面控制頂點的數(shù)目過百,系數(shù)矩陣元素的數(shù)據(jù)將突破億,所以計算量會巨大。分片能量法也稱為能量逐步優(yōu)化法,其原理是將曲面的控制頂點分組,再依次調(diào)整各組控制頂點,將曲面的能量逐步地下降,來達到曲面光順的目的。當調(diào)整某一組的控制頂點時,其余控制頂點將保持不變,這樣不僅簡化了能量法的計算過程,而且可以在保持一定的邊界條件下進行曲面光順。然而分片能量法能夠達到整個曲面的絕對曲率較小,具有將曲面變?yōu)槠矫婊内厔荨２⑶覕?shù)學表達公式和計算量較為繁瑣,不便于工程應用和操作。本文以局部雙三次曲面插值理論為指導,通過構(gòu)建輔助平面進行曲面光順。

構(gòu)建輔助曲面過程如下：由局部雙三次曲面插值理論可知,通過插值給定旳型值點云可以得到一個在U和V兩個方向都滿足幾何一階連續(xù)的雙三次NURBS曲面。對于給定型值點的數(shù)據(jù)數(shù)列Bi,j,i=0,1,…,n;j=0,1,…,m,可以生成一個雙三次NURBS曲面：

(9)

式中：Pi,j代表點云數(shù)據(jù)；通過創(chuàng)建m×n個雙三次貝塞爾曲面片{Bk,l(u,v)},k=0,1,…,n-1,l=0,1,…,m-1來得到該插值曲面。

插值曲面構(gòu)造的具體步驟如下：

(1) 根據(jù)己知型值點求出曲面網(wǎng)格對應的U向和V向的節(jié)點參數(shù)值及節(jié)點矢量；

(2) 依次對給定的m+1行和n+l列數(shù)據(jù)點進行三次曲線插值計算,就可以得到雙三次貝塞爾曲面片邊界控制點；

(3) 運用貝塞爾曲面的角點偏導矢公式和混合偏導矢公式得到雙三次貝塞爾曲面的4個內(nèi)部控制點；

(4) 只保留(2m+2)(2n+2)個控制點,除去插值曲面網(wǎng)格內(nèi)部所有包含原始型值點的行和列上的控制點,即是NURBS曲面的控制點。其中節(jié)點矢量為

(10)

(11)

待輔助曲面構(gòu)造完成后,可對曲面進行光順,其過程如下：

(1) 首先進行曲面粗擬合,通過設(shè)置閾值,分析曲面確定出不光順區(qū)域,根據(jù)航空葉片的加工制造要求,定義曲面與型值點的距離大于>0.02 mm即為不光順區(qū)域；

(2) 在曲面的不光順區(qū)域構(gòu)建U向和V向網(wǎng)格線,然后除去不光順曲面片保留U向和V向網(wǎng)格線；

(3) 在曲面的不光順區(qū)域,對U向和V向網(wǎng)格線進行局部光順；

(4) 以光順后的一向網(wǎng)格線為主曲線族,另一向網(wǎng)格線為引導曲線,構(gòu)建輔助曲面,滿足輔助曲面與原始曲面在邊界處符合幾何一階連續(xù)條件。

圖3為曲面光順過程。

圖3 曲面光順過程Fig.3 Smooth curved surface process

圖3(a)中的原始曲面大部分區(qū)域較為光順,中部有部分區(qū)域的曲率發(fā)生突變。

圖3(b)中沿法向切除原始曲面中不光順區(qū)域，對曲面進行網(wǎng)格化,求出U向和V向的節(jié)點參數(shù)值及節(jié)點矢量,然后運用第2.1節(jié)曲線光順的方法,對曲率突變區(qū)域的網(wǎng)格線進行局部光順,最后通過光順的網(wǎng)格線構(gòu)建輔助曲面,并將輔助曲面與原曲面縫合得到新的曲面。

圖3(c)為調(diào)整控制點后截面光順曲線。由圖3(d)可知,構(gòu)造的輔助曲面與原曲面進行縫合后,輔助曲面與原曲面拼接處曲率光滑過渡,通過軟件檢查輔助曲面與原始曲面的法向距離是否小于設(shè)定閾值,如果滿足,則整個曲面較為光順；否則需要重新調(diào)整網(wǎng)格線的控制點,直到誤差符合設(shè)定要求。構(gòu)造的輔助曲面需要滿足曲面片的二階幾何連續(xù)性要求,并且曲面片拼接處設(shè)置幾何一階連續(xù)條件,滿足拼接曲面的連續(xù)性要求。

4 實驗驗證

根據(jù)復雜曲面零件的測量要求,研制了激光掃描四坐標測量儀。測量系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)設(shè)計布局如圖4所示。

四坐標測量儀的主體由X、Y、Z這3個垂直坐標軸和轉(zhuǎn)臺W組成,各軸均由伺服電機控制精密滾珠絲杠運動,軸上裝配的雷尼紹光柵尺可以精確定位坐標系位置。安裝在X軸上的激光位移傳感器,在電機的驅(qū)動下可以對放置在回轉(zhuǎn)臺上的被測物件進行采樣檢測。坐標軸系統(tǒng)整體精度≤2 μm,承載≥50 kg。

圖4 激光四坐標葉片測量系統(tǒng)Fig.4 Laser four coordinate measuring system for blade detection

控制系統(tǒng)主要功能有：編制測量軟件控制測量系統(tǒng)的X、Y、Z軸直線運動以及W軸的回轉(zhuǎn)運動,通過以上運動的聯(lián)動,使激光位移傳感器采集到葉片型面上需要檢測的位置,并準確讀取傳感器和光柵尺的數(shù)值,從而實現(xiàn)零件型面三維空間點云數(shù)據(jù)的采集。利用Visual C++編程工具,基于OpenGL技術(shù)編制的專用軟件,可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)采集、運動控制、三維顯示等功能。

由于四坐標測量法是利用激光進行測量,避免了探頭與葉片表面直接接觸的問題,也避免了對探頭進行補償?shù)男枰?特別適合于細小葉片的測量。激光掃描法具有測量精度高,檢測速度快,抗干擾能力強,且具有快速準確的三維空間描繪能力。

葉片型面通過激光掃描采集后,需要進一步將這些點云數(shù)據(jù)構(gòu)造出具有量化品質(zhì)和光滑性的三維曲面。通常先進行濾波處理去掉冗余的點云數(shù)據(jù),減少數(shù)據(jù)處理運算負擔；再對控制點進行修改、節(jié)點重新參數(shù)化、曲線曲面光順處理等曲面造型,三維重構(gòu)過程如圖5所示。

圖5 四級壓氣機葉片型面測量點云重構(gòu)過程Fig.5 Point cloud reconstruction process of four stage compressor blade profile measurement

圖5中：(a)為原始點云；(b)為濾波處理；(c)為特征曲線擬合；(d)為曲面重構(gòu)；(e)為俯視圖。結(jié)果表明:最大重建誤差為0.014 5 mm,最小為0.003 3 mm。由此可見本方法對葉片表面三維重構(gòu)具有較好的效果。

針對某型號航空發(fā)動機壓氣機的四級葉片進行實驗,根據(jù)空間測點到曲面的最小距離對擬合出的曲面模型進行誤差評定,部分實驗數(shù)據(jù)見表1。

表1 重構(gòu)誤差數(shù)據(jù)表(部分)

5 結(jié) 論

針對自由復雜葉片型面3D檢測的需求,研究了基于激光掃描點云的葉片型面三維重構(gòu)方法。通過激光位移傳感器對葉片表面進行大量的點云數(shù)據(jù)掃描和采集。利用點→線→面的數(shù)學建模原理,采用一階導數(shù)連續(xù)法對光順曲線進行點云擬合,基于截面曲線對NURBS曲面進行擬合,然后采用曲面網(wǎng)格分片能量法平滑重構(gòu)3D曲面。實現(xiàn)了對整個葉片表面的均勻描述,構(gòu)造出精確光滑的葉片型面。實驗結(jié)果表明,采用本方法實現(xiàn)對葉片型面類目標的三維重構(gòu),重構(gòu)誤差均<0.015 mm,具有較高的重構(gòu)精度。