一、選擇題

1.C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.A 9.C 10.C 11.D 12.C 13.D 14.C 15.D

17.D

18.A 提示:從正方體的8個頂點中選取4個頂點有C48種情況,正方體表面四點共面不能構成四面體有6種情況,正方體的六個對角面四點共面不能構成四面體有6種情況,所以可得到的四面體的個數為

19.A

20.D

21.C 提示:根據題意,設A={只會劃左槳的3人},B={只會劃右槳的3人},C={既會劃左槳又會劃右槳的2人},據此分3種情況討論:

①從A中選3人劃左槳,劃右槳的在B∪C中剩下的人中選取,有=10(種)選法;

②從A中選2人劃左槳,C中選1人劃左槳,劃右槳的在B∪C中剩下的人中選取,有選法;

③從A中選1人劃左槳,C中選2人劃左槳,B中選3人劃右槳,有=3(種)選法。

則共有10+24+3=37(種)不同的選法。

22.D 提示:根據題意分步完成任務:第一步,完成3號區(qū)域,從6種顏色中選1種涂色,有6 種不同方法;第二步,完成1 號區(qū)域,從除去3 號區(qū)域的1 種顏色后剩下的5種顏色中選1種涂色,有5種不同方法;第三步,完成4號區(qū)域,從除去3、1號區(qū)域的2種顏色后剩下的4 種顏色中選1 種涂色,有4種不同方法;第四步,完成2 號區(qū)域,從除去3、1、4號區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色,有3 種不同方法;第五步,完成5號區(qū)域,從除去1、2號區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色,有4 種不同方法;第六步,完成6號區(qū)域,從除去1、2、5號區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色,有3種不同方法。

所以不同的涂色方法數為6×5×4×3×4×3=4 320。

23.C

24.B 提示:由題意知,組成四位“回文數” 。當由一個數組成回文數時,在6 個數字中任取1個,有種方法。當由兩組相同的數組成回文數時,在6個數字中任取2個,有種方法,在6個數字中任取2 個時,前兩位互換位置又可以組成另一個數,故2 個數組成回文數的個數為,即在6個數字中任取2個組成回文數的個數為。綜上,有數字1,2,3,4,5,6可以組成4位“回文數”的個數為

25.B 提示:第一、第二或第六、第七為空位時,第三個空位有4 種選擇;第二、第三或第三、第四或第四、第五或第五、第六為空位時,第三個空位有3種選擇。

27.D 提示:因為甲和乙必須去同一家企業(yè)實習,則將甲乙捆綁作為一個整體。

則共有4 組人需要安排到3 家企業(yè)實習,將四組人分為3組,則為1,1,2。

因為出現重復的一組,所以總的安排方法數為

29.C 提示:如圖1,分以下幾種情況:棱柱側棱與底面邊之間所構成的異面直線有3×2=6(對);棱柱側棱與側面對角線之間所構成的異面直線有3×2=6(對);底面邊與側面對角線之間所構成的異面直線有6×2=12(對);底面邊與底面邊之間所構成的異面直線有3×2=6(對);側面對角線與側面對角線之間所構成的異面直線有6(對)。所以共有6+6+12+6+6=36(對)。

圖1

30.B

二、填空題

31.10 32.144 33.1 260 34.192 35.44 36.1 37.41 38.315 39.36 40.1 920 41.1 42.22

43.20 提示:根據題意,分兩種情況;若A與C之間為B,即B在A,C中間且3人相鄰,共有=2(種)排法,將3人看成一個整體,與D,E兩人全排列,共有=6(種)排法,則此時有2×6=12(種)排法;若A與C之間不是B,先從D,E中選取1人,安排在A,C之間,有=2(種)排法,此時B在A的另一側,將4人看成一個整體,考慮之前的順序,有=2(種)排法,將這個整體與剩下的1人全排列,有=2(種)排法,此時有2×2×2=8(種)排法。所以總共有12+8=20(種)排法符合題意。

44.454

45.930 提示:若甲、乙都入選,則從其余6人中選出2人,有=15(種)方法。男生甲不適合擔任學習委員,女生乙不適合擔任勞動委員,則有方法,故共有15×14=210(種)方法。若甲不入選,乙入選,則從其余6 人中選出3 人,有=20(種)方法,女生乙不適合擔任勞動委員,則有方法,故共有20×18=360(種)方法。若甲、乙都不入選,則從其余6人中選出4人,有=15(種)方法,再全排,有=24(種)方法,故共有15×24=360(種)方法。綜上所述,共有210+360+360=930(種)方法。

46.2n提示:每次傳球有2種方法,所以n次傳球之后,共有2n種可能的傳球方法。設n次傳球之后,足球回到文同學腳下的傳球方法為an種。

三、解答題

(2)就甲、乙2名同學中實際參與演講比賽的人數進行分類計數:

第一類,甲、乙2名同學中實際參與演講比賽的恰有1 人,滿足題意的不同的演講順序的種數為

第二類,甲、乙2名同學中實際參與演講比賽的恰有2 人,滿足題意的不同的演講順序種數為

因此滿足題意的不同的演講順序的種數為960+180=1 140。

50.(1)根據題意,若恰在第5 次測試后就找出了所有次品,即第5 次測試的產品恰為最后一件次品,另3件在前4次中出現,則前4 次有一件正品出現,所以共有不同的測試方法。

(2)根據題意,分三步進行分析:先排第1次測試,只能取正品,有6種不同的測試方法,再從4件次品中選2件排在第2次和第7次的位置上測試,有=12(種)測試方法,最后排余下4 件的測試位置,有(種)測試方法。所以共有6×12×240=17 280(種)不同的測試方法。

52.根據題意可分為如下幾類比賽:

(2)八分之一淘汰賽,8 個小組的第一、二名組成16 強,根據抽簽規(guī)則,每兩個隊比賽一場,可以決出8強,共有8場;

(3)四分之一淘汰賽,根據抽簽規(guī)則,8強中每兩個隊比賽一場,可以決出4強,共有4場;

(4)半決賽,根據抽簽規(guī)則,4 強中每兩個隊比賽一場,可以決出2強,共有2場;

(5)決賽,2強比賽一場確定冠亞軍,4強中的另兩隊1場決出第三、第四名,共有2場。

55.(1)按照最左端分兩類,第一類,先排甲,其余的5人全排列,共有=120(種)方法;第二類,先排乙,最右端不排甲有=4(種)方法,其余4人全排列,有=24(種)方法,共有=96(種)方法。由分類計數原理得共有120+96=216(種)方法。

(2)分步完成,第一步,將A,B捆在一起當作一個元素與除C外的兩個元素一起全排列,共有)方法;第二步,將C插入已經排好的排列中,讓A,C不相鄰,有方法。由分步計數原理得,共有12×3=36(種)方法。

(3)4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒子中,恰有1個空盒,說明恰有一個盒子中有2個小球,從4個小球中選2 個作為一個元素,同另外2個元素在3個位置全排列,有不同的放法。