■河南省南陽市二中 郭臣峰

一、選擇題

A.11 B.12 C.13 D.14

A.10 B.9 C.4 D.3

3.在一次運(yùn)動會上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙3 人中產(chǎn)生,那么不同的奪冠情況共有( )種。

5.由0,1,2,5四個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,能被5整除的個數(shù)是( )。

A.24 B.12 C.10 D.6

6.將4張座位編號分別為1,2,3,4的電影票全部分給3 人,每人至少1 張。如果分給同一人的2 張電影票具有連續(xù)的編號,那么不同的分法數(shù)是( )。

A.24 B.18 C.12 D.6

7.從6 種不同的顏色中選出一些顏色給如圖1 所示的4個格子涂色,每個格子涂一種顏色,且相鄰的兩個格子顏色不同,則不同的涂色方法有( )。

圖1

A.360種 B.510種

C.630種 D.750種

8.A、B、C、D4 名學(xué)生報(bào)名參加學(xué)校的甲、乙、丙、丁4 個社團(tuán),若學(xué)生A不參加甲社團(tuán),B不參加乙社團(tuán),且4名學(xué)生每人報(bào)一個社團(tuán),每個社團(tuán)也只能1人報(bào)名,則不同的報(bào)名方法數(shù)為( )。

A.14 B.18 C.12 D.4

9.為了提高命題質(zhì)量,命題組指派5 名教師對數(shù)學(xué)卷的選擇題、填空題和解答題這3種題型進(jìn)行改編,則每種題型至少指派1名教師的不同分派方法種數(shù)為( )。

A.90 B.36

C.150 D.108

11.計(jì)劃展出10 幅不同的畫,其中1 幅水彩畫、4 幅油畫、5 幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的畫必須連在一起,并且水彩畫不放在兩端,那么不同的陳列種數(shù)為( )。

12.若(2+ax)n(a≠0)的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512,且第6項(xiàng)的系數(shù)最大,則a的取值范圍為( )。

A.49 B.-47 C.-1 D.1

14.包括甲、乙、丙3 人的7 名 同學(xué)站成一排拍紀(jì)念照,其中丙站正中間,甲不站在乙的左邊,且不與乙相鄰,則不同的站法有( )。

A.240種 B.252種

C.264種 D.288種

15.已知(3-x)(2x-3)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,則a6=( )。

A.-1 792 B.1 792

C.-5 376 D.5 376

16.5名護(hù)士上班前將外衣放在護(hù)士站,下班后從護(hù)士站取外衣,由于燈光暗淡,只有2人拿到了自己的外衣,另外3 人拿到別人外衣的情況有( )。

A.60種 B.40種

C.20種 D.10種

17.停車場劃出一排9個停車位置,今有5輛不同的車需要停放,若要求剩余的4個空車位連在一起,則不同的停車方法有( )。

18.從正方體的8 個頂點(diǎn)中選取4 個作為頂點(diǎn),可得到四面體的個數(shù)為( )。

20.羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字傳入之前使用的一種數(shù)字,它的產(chǎn)生標(biāo)志著一種古代文明的進(jìn)步。羅馬數(shù)字的表示法如表1:

表1

其中“Ⅰ”需要1根火柴,“Ⅴ”與“X”需要2根火柴,若為0,則用空位表示,如123表示為,405 表示為。如果把6 根火柴以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃雸D2中,那么可以表示的不同的三位數(shù)的個數(shù)為( )。

圖2

A.87 B.95

C.100 D.103

21.某龍舟隊(duì)有8名隊(duì)員,其中3人只會劃左槳,3 人只會劃右槳,2 人既會劃左槳又會劃右槳?，F(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽,則不同的選派方法共有( )。

A.26種 B.30種

C.37種 D.42種

22.現(xiàn)有6 種不同的顏色,給圖3中的6個區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,則不同的涂色方法共有( )。A.720種 B.1 440種C.2 880種 D.4 320種

圖3

24.回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種,用回文形式寫成的對聯(lián),既可順讀,也可倒讀,不但意思不變,而且頗具趣味。相傳,清代北京城里有一家飯館叫“天然居”,曾有一副有名的回文聯(lián):客上天然居,居然天上客;人過大佛寺,寺佛大過人。在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù),稱之為“回文數(shù)”。如44,585,2 662等。那么用數(shù)字1,2,3,4,5,6可以組成四位“回文數(shù)”的個數(shù)為( )。

A.30 B.36 C.360 D.1 296

25.將7個座位連成一排,安排4個人就坐,恰有兩個空位相鄰的不同坐法數(shù)為 ( )。

A.240 B.480 C.720 D.960

A.160 B.210 C.120 D.252

27.某高校需安排5 位應(yīng)屆畢業(yè)生到3家企業(yè)實(shí)習(xí),每家企業(yè)至少有1位實(shí)習(xí)生,并且實(shí)習(xí)生甲和乙必須去同一家企業(yè)實(shí)習(xí),則不同的實(shí)習(xí)方式共有( )。

A.12種 B.18種

C.24種 D.36種

28.用數(shù)字0、1、2、3、4、5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),則下列說法正確的是( )。

A.可組成360個不重復(fù)的四位數(shù)

B.可組成156個不重復(fù)的四位偶數(shù)

C.可組成198個能被3整除的不重復(fù)四位數(shù)

D.若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個數(shù)列,則第85個數(shù)字為2 310

29.過三棱柱中任意兩個頂點(diǎn)的連線作直線,在所有這些直線中構(gòu)成異面直線的對數(shù)為( )。

A.18 B.30 C.36 D.54

30.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+a2+…+an-1=125-n,則下列結(jié)論錯誤的是( )。

A.n=6

B.(1+2x)n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為729

C.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和為126

D.a1+2a2+3a3+…+nan=321

二、填空題

31.已知m,n∈(0,+∞),若二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為2 800,所有項(xiàng)的系數(shù)和為0,則

32.某單位在周一到周六的6天中安排4人值夜班,每人至少值一天,至多值兩天,值兩天的話必須是相鄰的兩天,則不同的值班安排種數(shù)為____。(用數(shù)字作答)

33.從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6 中任取2 個數(shù)字,一共可以組成____個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。(用數(shù)字作答)

34.有7名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照,其中甲必須站在正中間,并且乙、丙2位同學(xué)要站在一起,則不同的站法有____種。

35.一排11個座位,現(xiàn)安排2人就座,規(guī)定中間的3個座位不能坐,且2人不相鄰,則不同排法的種數(shù)是_____。

36.9910被1 000整除的余數(shù)為_____。

38.將編號為1,2,3,4,5,6,7 的小球放入編號為1,2,3,4,5,6,7的7個盒子中,每盒放一球,若有且只有3個盒子的編號與放入的小球的編號相同,則不同的放法種數(shù)為____。

39.新冠肺炎疫情防控期間,為加大宣傳力度,提高防控能力,某縣疾控中心擬安排4名醫(yī)務(wù)人員到流動人口較多的3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行疫情防控督查,每名醫(yī)務(wù)人員只去1個鄉(xiāng)鎮(zhèn),每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排1 名醫(yī)務(wù)人員,則不同的安排方法共有_____種。

40.用1、2、3、4、5、6、7、8 組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù),要求1與2相鄰,3與4相鄰,而7與8不相鄰,則這樣的八位數(shù)共有____個。

41.設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512021+a能被13整除,則a=_____。

42.直線方程Ax+By=0,若從0、1、3、5、7、8這6個數(shù)字中每次取2個不同的數(shù)作為A、B的值,則可表示_____條不同的直線。

43.將A,B,C,D,E這5名同學(xué)從左至右排成一排,則A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)的排法有____種。

45.經(jīng)過班級同學(xué)初選后,將從5名男生和3名女生中選出4人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、勞動委員,文藝委員。其中男生甲不適合擔(dān)任學(xué)習(xí)委員,女生乙不適合擔(dān)任勞動委員?，F(xiàn)要求:如果男生甲入選,則女生乙必須入選。則不同安排方法的種數(shù)為____。

46.賈同學(xué)、王同學(xué)、文同學(xué)3 人在操場踢球,每次傳球,傳球者將球隨機(jī)將傳給另外兩位同學(xué)之一,足球最開始在文同學(xué)腳下,則:①n次傳球之后,共有____種可能的傳球方法;②n次傳球之后,足球回到文同學(xué)腳下的傳球方法有____種。

三、解答題

47.從1到7的7個數(shù)字中取2個偶數(shù)和3個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。

試問:(1)能組成多少個不同的五位偶數(shù)?

(2)五位數(shù)中,2個偶數(shù)排在一起的有幾個?

(3)2個偶數(shù)不相鄰且3 個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有幾個? (所有結(jié)果均用數(shù)值表示)

48.某重點(diǎn)高中2022年五一演講比賽將在學(xué)校體育館舉行,所有參加人員憑票入場。

(1)若將6張連號的門票分給明明、慧慧等6位老師,每人1 張,且明明、慧慧分得的門票連號,則一共有多少種不同的分法?

(2)高二年級準(zhǔn)備從甲、乙等8名同學(xué)中選派4名同學(xué)參加,要求甲、乙2名同學(xué)至少有1人參加,且若甲、乙同時(shí)參加時(shí),他們的演講順序不能相鄰,那么高二年級不同的演講順序一共有多少種?

(1)求n的值;

(2)求展開式中含的項(xiàng)及展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。

50.已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品,現(xiàn)對它們進(jìn)行測試,直至找出所有的次品為止。

(1)若恰在第5 次測試后就找出了所有次品,則這樣的不同測試方法數(shù)是多少?

(2)若恰在第2 次測試才測試到第1 件次品,第7次才找到最后一件次品,則這樣的不同測試方法數(shù)是多少?

52.第22 屆世界杯足球賽于2022 年夏季在卡塔爾舉辦,五大洲共有32支球隊(duì)有幸參加。他們先分成8 個小組進(jìn)行循環(huán)賽,決出16強(qiáng)(每隊(duì)均與本組其他隊(duì)賽一場,各組第一、第二名晉級16 強(qiáng)),這16 支球隊(duì)按確定的程序進(jìn)行淘汰賽,最后決出冠亞軍,此外還要決出第三、第四名,問這屆世界杯總共進(jìn)行了多少場比賽。

53.從包括A、B兩人的7個人中選出5人排成一排。

(1)若任意選5 人,有多少種不同的排法?

(2)若A、B兩人中有且只有一人在內(nèi),有多少種不同的排法?

(3)若A、B兩人都在內(nèi)且A、B不相鄰,有多少種不同排法?

(4)若排頭和排尾不允許站A,正中間(第三位)不允許站B,有多少種不同的排法?

(1)求展開式中所有的有理項(xiàng);

(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

55.(1)6 個人從左至右排成一排,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有幾種? (最后結(jié)果需用數(shù)字作答)

(2)把5件不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有幾種? (最后結(jié)果需用數(shù)字作答)

(3)4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒子中,恰有1個空盒,共有多少種放法? (最后結(jié)果需用數(shù)字作答)