江蘇省張家港市外國語學(xué)校 盧紅衛(wèi) 何 威 魏丹

隨機(jī)變量及其分布一直是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容,主要考查用概率的方法解決問題的能力。隨機(jī)變量及其分布是將不同背景的概率問題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的數(shù)學(xué)問題,再通過構(gòu)建二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布概率模型解決事件問題,其中隨機(jī)變量的分布、數(shù)字特征,以及二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布是主要考查內(nèi)容。本文歸納了隨機(jī)變量及其分布解答題的幾類常見題型,并總結(jié)了一些答題策略及技巧,希望對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)能有所幫助。

題型一、正態(tài)分布、期望、方差

高考對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析和處理要求明顯提高,解答這類問題需要理解正態(tài)分布、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的基本概念;掌握求正態(tài)分布、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算公式和基本求法。求平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差時(shí),需要根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),理解正態(tài)分布中參考數(shù)據(jù)的含義,結(jié)合相關(guān)公式通過運(yùn)算就可求出相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。

例1教育部門最近出臺(tái)了“雙減”政策,即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān),持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)(包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn))?！半p減”政策的出臺(tái)對(duì)校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響。某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),尋求發(fā)展制定科學(xué)方案,工作人員對(duì)2021年前200名報(bào)名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理,其中數(shù)據(jù)如表1所示。

表1

以頻率估計(jì)概率,假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布N（μ,σ2）,μ,σ2分別為報(bào)名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)及方差s2(同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代)。

(2)試估計(jì)該機(jī)構(gòu)學(xué)員2021年消費(fèi)金額為［5.2,13.6）的概率(保留一位小數(shù));

(3)若從該機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人,記消費(fèi)金額為［5.2,13.6）的人數(shù)為η,求η的期望和方差。

解析：(1)由題意得×0.25+8×0.3+10×0.1+12×0.15+14×0.05=8,σ2=（4-8）2×0.15+（6-8）2×0.25+（10-8）2×0.1+（12-8）2×0.15+（1 4-8）2×0.05=8。

點(diǎn)評(píng):第(1)問根據(jù)表中數(shù)據(jù),利用平均數(shù)和方差公式求解;第(2)問根據(jù)(1)的結(jié)論,利用3σ原則求解;第(3)問根據(jù)題意得η～,利用二項(xiàng)分布公式求解。二項(xiàng)分布的期望和方差的公式應(yīng)牢記,是?？贾R(shí)點(diǎn)。

題型二、超幾何分布和二項(xiàng)分布

在求解隨機(jī)變量的概率問題時(shí),應(yīng)該根據(jù)問題條件確定概率類型屬于哪一種類型,結(jié)合超幾何分布和二項(xiàng)分布的特征實(shí)施問題的解答;求隨機(jī)變量的概率分布列的基本方法是:①根據(jù)題意得出隨機(jī)變量的可能取值;②分別求出各隨機(jī)變量值的概率;③得到隨機(jī)變量的概率分布列。

例22022年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京,北京成為第一個(gè)舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)、冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國際賽事的城市! 為迎接冬奧會(huì)的到來,某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng),為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況,在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究,得到圖1中的數(shù)據(jù)。

圖1

(1)“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項(xiàng)參與人數(shù)都超過30人的學(xué)?？梢宰鳛椤皡⑴c冬奧運(yùn)動(dòng)積極學(xué)?！?現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3 所,記X為選出的“參與冬奧運(yùn)動(dòng)積極學(xué)?！钡膫€(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

(2)現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營,對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、跳躍、停止”這4 個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn),且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試。規(guī)定:在一輪測(cè)試中,這4個(gè)動(dòng)作中至少有3 個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”,則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”。在集訓(xùn)測(cè)試中,小明同學(xué)“滑行”這個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為

所以X的分布列如表2所示:

表2

因?yàn)閚∈N*,所以n的最小值為27,故至少要進(jìn)行27輪測(cè)試。

點(diǎn)評(píng):第(1)問中,由分析可知“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項(xiàng)參與人數(shù)超過30人的學(xué)校共5所,X的所有可能取值為0,1,2,3,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率,可得出隨機(jī)變量X的分布列,進(jìn)一步可求得E(X)的值;第(2)問中,記“小明同學(xué)在一輪測(cè)試中要想獲得優(yōu)秀”為事件A,計(jì)算出P(A)的值,利用二項(xiàng)分布的期望公式可得出關(guān)于n的不等式,求解即可。

題型三、與其他知識(shí)交匯

在高考中多次出現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識(shí)的交匯,考查學(xué)科知識(shí)綜合應(yīng)用的能力。

例32022 年2 月6 日,中國女足在兩球落后的情況下,以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足,成功奪得亞洲杯冠軍,在之前的半決賽中,中國女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)6∶5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足,其中門將朱鈺兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球,表現(xiàn)神勇。

(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大,假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門,門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球,而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球。不考慮其他因素,在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中,求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望。

(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練,甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中,球從甲腳下開始,等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人,接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人,如此不停地傳下去,假設(shè)傳出的球都能接住。記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,易知p1=1,p2=0。

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,試比較p10與q10的大小。

門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的所有可能取值為0,1,2,3,則

所以X的分布列為表3:

表3

點(diǎn)評(píng):本題與數(shù)列等知識(shí)的交匯,考查學(xué)科知識(shí)綜合應(yīng)用能力,需要構(gòu)建數(shù)列遞推關(guān)系式進(jìn)行求解。

例4我國某芯片企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)一款芯片進(jìn)行試產(chǎn),設(shè)試產(chǎn)該款芯片的次品率為p(0＜p＜1),且各個(gè)芯片的生產(chǎn)互不影響。視p為概率,記從試產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取n個(gè)恰好含有m(n＞m)個(gè)次品的概率為f(p),求證:f(p)在p=時(shí)取得最大值。

對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的備考建議:重視核心概念,提升理解、辨析數(shù)學(xué)概念的能力;重視閱讀理解,提升在實(shí)際問題中抽象數(shù)學(xué)關(guān)系的建模能力;重視決策表達(dá),提升運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力;重視結(jié)論公式,提升分析和應(yīng)用數(shù)字特征的能力。