江蘇省興化市第一中學(xué) 劉林

概率與統(tǒng)計(jì)專題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)綜復(fù)雜,又環(huán)環(huán)相扣,相關(guān)考題通常不是孤立地考查一個(gè)知識(shí)點(diǎn),而是對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查。而基于獨(dú)立性檢驗(yàn)的創(chuàng)新情境問題,是新高考數(shù)學(xué)試卷中一個(gè)比較常見的題型,由此實(shí)現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)的合理交匯與融合,使得各個(gè)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)加以合理聯(lián)系,綜合考查同學(xué)們的“四基”。

一、與統(tǒng)計(jì)的交匯

例12022年是共青團(tuán)建團(tuán)100周年,某校組織“學(xué)團(tuán)史,知團(tuán)情,感團(tuán)恩”知識(shí)測(cè)試,現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,并將他們的測(cè)試成績(jī)按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],分為5組,得到如圖1所示的頻率分布直方圖。

圖1

(1)求圖中m的值,并估計(jì)這100 名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù);(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)規(guī)定測(cè)試成績(jī)不低于80分為“優(yōu)秀”,請(qǐng)將表1所示的2×2列聯(lián)表(單位:人)補(bǔ)充完整,求出x,y,z,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“測(cè)試成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”。

表1

表2

解析：(1)由題意得10×(m+0.04+0.03+0.02+m)=1,解得m=0.005。

估計(jì)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)=(55×0.005+65×0.04+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=73。

(2)在抽取的100名學(xué)生中,成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為100×0.25=25,由此可得完整的2×2列聯(lián)表,如表3所示:

表3

點(diǎn)評(píng):以實(shí)際應(yīng)用為創(chuàng)新情境,設(shè)置獨(dú)立性檢驗(yàn)為問題背景,結(jié)合統(tǒng)計(jì)中的頻率分布直方圖、樣本估計(jì)等知識(shí),綜合考查概率與統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)應(yīng)用問題。

二、與概率的交匯

例2經(jīng)常有人說“數(shù)學(xué)學(xué)不好,物理也很難學(xué)好”,這話聽著好像很有道理的樣子,那么真實(shí)情況的確是這樣嗎? 為此,某校數(shù)學(xué)興趣小組收集了500名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī),記單科成績(jī)?cè)谄骄种蠟閮?yōu)秀,整理數(shù)據(jù)形成如圖2所示的統(tǒng)計(jì)扇形圖。

(1)根據(jù)圖2 完成表4所示的2×2列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān);

圖2

表4

(2)視頻率為概率,從全校數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,記抽取到的3 人中物理成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與期望。

表5

解析：(1)由題意,2×2列聯(lián)表如表6:

表6

所以X的分布列為表7:

表7

所以E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8。

點(diǎn)評(píng):以實(shí)際應(yīng)用為創(chuàng)新情境,設(shè)置獨(dú)立性檢驗(yàn)為問題背景,結(jié)合概率中的重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)、隨機(jī)變量的分布列與期望等知識(shí),綜合考查概率與統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)應(yīng)用問題。

三、與其他知識(shí)的交匯

例32022年5 月以來,世界多個(gè)國(guó)家報(bào)告了猴痘病例,非洲地區(qū)猴痘地方性流行國(guó)家較多。我國(guó)目前為止尚無猴痘病例報(bào)告。我國(guó)作為為人民健康負(fù)責(zé)任的國(guó)家,對(duì)可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控提前做出部署。同時(shí)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)同國(guó)家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南(2022年版)》。此《指南》中指出:①猴痘病人潛伏期5～21 天;②以往接種過天花疫苗者對(duì)猴痘病毒存在一定程度的交叉保護(hù)力。據(jù)此,援非中國(guó)醫(yī)療隊(duì)針對(duì)援助的某非洲國(guó)家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察21 天。在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大。對(duì)該國(guó)家200個(gè)接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后,統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況,得到表8所示的列聯(lián)表:

表8

(1)是否有99%的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)。

(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計(jì)概率?，F(xiàn)從該國(guó)所有結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計(jì),求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率。

(3)該國(guó)現(xiàn)有一個(gè)中風(fēng)險(xiǎn)村莊,當(dāng)?shù)卣疀Q定對(duì)村莊內(nèi)所有住戶進(jìn)行排查。在排查期間,發(fā)現(xiàn)一戶3 口之家與確診患者有過密切接觸,這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一進(jìn)行猴痘病毒檢測(cè)。每名成員進(jìn)行檢測(cè)后即告知結(jié)果,若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性,則該家庭被確定為“感染高危家庭”。假設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為p(0＜p＜1)且相互獨(dú)立。記該家庭至少檢測(cè)了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為f(p)。試問:當(dāng)p為何值時(shí),f(p)最大?

表9

解析：(1)依題意知,K2=所以沒有99%的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)。

(3)設(shè)事件B=檢測(cè)了2 名成員確定為“感染高危家庭”,事件C=檢測(cè)了3 名成員確定為“感染高危家庭”,則P(B)=(1-p)p,P(C)=(1-p)2p,所以f(p)=(1-p)p+(1-p)2p=p(1-p)(2-p),設(shè)x=1-p,則p=1-x,所以y=(1-x)x(1+x)=x-x3,求導(dǎo)得y′=1-3x2,令y′=0,得,此時(shí)取得最大值。

點(diǎn)評(píng):以實(shí)際應(yīng)用為創(chuàng)新情境,設(shè)置獨(dú)立性檢驗(yàn)為問題背景,結(jié)合概率中的重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),綜合考查概率與統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)應(yīng)用問題。

基于獨(dú)立性檢驗(yàn)創(chuàng)設(shè)的概率與統(tǒng)計(jì)專題,由于獨(dú)立性檢驗(yàn)的介入,使得問題的起點(diǎn)相對(duì)來說比較低,同時(shí)又可以多層面設(shè)計(jì),起伏比較大,為問題的設(shè)置與能力的考查創(chuàng)設(shè)很好的基礎(chǔ),備受各方關(guān)注,成為新高考數(shù)學(xué)試卷中概率與統(tǒng)計(jì)專題部分的一個(gè)特色與亮點(diǎn)。