文/馬一凡

與傳統(tǒng)的自適應(yīng)平衡系統(tǒng)相比較，雙輪自平衡車的平衡系統(tǒng)復(fù)雜度和要求相對更高：既要控制車身平衡，也要實現(xiàn)對提速和轉(zhuǎn)動方向的精準(zhǔn)控制?；诖耍疚囊宰赃m應(yīng)PID 雙輪自平衡車為研究對象，在簡要概述PID 控制原理的基礎(chǔ)上，采用拉格朗日方程法對其進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并針對該數(shù)學(xué)建模進(jìn)行詳細(xì)的理論推導(dǎo)。

自適應(yīng)PID 雙輪自平衡車主要通過PID 控制器來實現(xiàn)輪式自適應(yīng)載人運動，本質(zhì)上仍屬于機(jī)器人的范疇。同時，由于其搭載的是典型的非線性系統(tǒng)，兼?zhèn)涠嘧兞?、?qiáng)耦合、欠驅(qū)動等特征，高效、穩(wěn)定的控制器逐漸成為此領(lǐng)域的關(guān)注重點?？紤]到數(shù)學(xué)建模是實現(xiàn)自適應(yīng)PID 雙輪自平衡車的關(guān)鍵算法，本文以拉格朗日方程法為核心構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型，并對該模型進(jìn)行模糊化處理和線性化處理。

一、PID 控制方式概述

PID 是以控制偏差作為輸入，對偏差進(jìn)行比例、積分和微分控制的算法。[1]其中，P 代指比例系數(shù)，即輸入偏差乘以一個常數(shù)后得出的比例；I代指積分，即輸入偏差進(jìn)行積分運算；D 代指微分，即對輸入偏差進(jìn)行微分運算。

比例調(diào)節(jié)是指，按一定比例快速縮小控制系統(tǒng)的偏差信號e(t)的過程。[2]理論上，偏差可以通過比例調(diào)節(jié)來消除，但在實際應(yīng)用中，比例系數(shù)的取值很難一直保持理想狀態(tài)。當(dāng)取值偏小時，修正速度緩慢，雙輪自平衡車易出現(xiàn)控制失靈、失穩(wěn)等異常情況；當(dāng)取值偏大時，修正控制速度過快，即便雙輪自平衡車處于正確位置，也會出現(xiàn)低頻率抖動的情況。因此，為保證雙輪自平衡車的平穩(wěn)狀態(tài)，技術(shù)人員應(yīng)通過數(shù)學(xué)建模等方式，盡可能實現(xiàn)穩(wěn)定控制。

微分調(diào)節(jié)是指，根據(jù)偏差信號的變化速度或趨勢進(jìn)行“超前調(diào)節(jié)”的過程。[3]當(dāng)誤差趨于增大時，技術(shù)人員可通過微分調(diào)節(jié)來提高系統(tǒng)反應(yīng)速度，進(jìn)而實現(xiàn)對誤差的提前控制，以及優(yōu)化系統(tǒng)動態(tài)性能。

積分調(diào)節(jié)則是從時間角度出發(fā)，對誤差的積累進(jìn)行調(diào)節(jié)的一種處理方式。[4]在此過程中，積分調(diào)節(jié)與誤差并存，并且只有在誤差全部消除后，積分調(diào)節(jié)才會停止。

在實際應(yīng)用過程中，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)突然變化或者設(shè)定值超出合理范圍時，控制量很有可能突破系統(tǒng)正常運行的最大值。因此，本文針對性地制訂了自適應(yīng)PID 積分分離設(shè)計方案，旨在有效避免雙輪自平衡車發(fā)生系統(tǒng)系數(shù)超標(biāo)、車體抖動等情況。

在本研究中，PID 算法模型的控制方式是：設(shè)定雙輪自平衡車的速度及活動角偏差閾值常量，再將其與系統(tǒng)偏差e(t)的絕對值相減。如果計算結(jié)果為正數(shù)，則由積分控制開關(guān)執(zhí)行關(guān)閉指令。

此時，系統(tǒng)控制器為PD 控制器，輸出控制量=比例項+微分項。如果計算結(jié)果為負(fù)數(shù)，那么系統(tǒng)控制器將轉(zhuǎn)為PID 系統(tǒng)控制器。此時，輸出控制量=比例項+微分項+積分項（見圖1）。

當(dāng)輸入量為r(t)，輸出量為y(t)時，偏差量e(t) 的計算公式如下：

根據(jù)式（1），PID 的控制規(guī)律u(x)可表述為：

式（2）中，Kp為比例系數(shù)；T為積分的時間常量；DT d為微分的時間常量，t為時間節(jié)點，e(t) 為時間節(jié)點t時的偏差量。

二、模糊自適應(yīng)PID 算法的應(yīng)用

模糊自適應(yīng)PID 算法在實際應(yīng)用中更加靈活、穩(wěn)定，尤其在被控對象的時變性和非線性較大時，其應(yīng)用優(yōu)勢更為突出。由于雙輪自平衡車的控制系統(tǒng)需要輸出具體電壓值以保障電機(jī)正常運行，本文采用重心法對模糊集合進(jìn)行處理，以獲取精確值。該處理過程即為反模糊運算過程，具體表達(dá)式如下。

式（3）中，ΔK 表示反模糊運算的最終輸出值；μAi(e)、μBi(ec)分別表示e（偏差）和ec（偏差的變化率）的隸屬度；zi表示對應(yīng)隸屬度函數(shù)的橫坐標(biāo)。其中，隸屬度是指某變量在其模糊論域中，屬于某模糊空間子集的程度，其函數(shù)表達(dá)式如式（4）所示。

式（4）中，x表示模糊集合的隸屬度函數(shù)，U 表示模糊空間子集。并且，?μ(x)的值越接近1，則表明x隸屬于U的程度越高。

三、基于自適應(yīng)PID 的雙輪自平衡車的數(shù)學(xué)模型

（一）數(shù)字建模的前提條件及拉格朗日方程一般式

本文在保證雙輪自平衡車系統(tǒng)的正常運行前提下，構(gòu)建了雙輪自平衡車系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。其間，筆者首先對可能產(chǎn)生的、相對復(fù)雜但允許產(chǎn)生誤差的建模條件進(jìn)行合理假設(shè)：在建模過程中，雙輪自平衡車的車身與車的載體等效為一根剛性杠桿；車身處于直立平衡狀態(tài)時，其質(zhì)心應(yīng)位于雙輪的正上方；車體與地面之間只存在滾動摩擦。

拉格朗日方程的一般式如下：

式（5）中，T代表質(zhì)點系的總動能；iq˙表示質(zhì)點系的坐標(biāo)；iQ表示系統(tǒng)沿第i 個坐標(biāo)上的力；n為系統(tǒng)的自由度。

在基于自適應(yīng)PID 的雙輪自平衡車的數(shù)學(xué)模型中，當(dāng)n 為3 時，即表示該系統(tǒng)有3 個自由度，分別為車身繞X 軸產(chǎn)生前傾后俯、車身繞Z 軸的轉(zhuǎn)動、沿Y 軸進(jìn)行的前進(jìn)后退。由于雙輪自平衡車的總動能分為車身動能及車輪動能兩種，且這兩種動能又進(jìn)一步被分為平動動能及轉(zhuǎn)動動能，因此，本文基于此算法分別計算上述動能的值。

（二）雙輪自平衡車系統(tǒng)動能算法

雙輪自平衡車的總動能共包含四個部分，即車身與車輪的平動動能及轉(zhuǎn)動動能。在計算動能前，筆者首先了解并明確了控制對象的速度信息?；诖?，筆者根據(jù)雙輪自平衡車前傾、轉(zhuǎn)角控制及前進(jìn)等三種運動狀態(tài)，建立了對應(yīng)的坐標(biāo)體系，以便分解其速度（見圖2）。

如圖2（a）所示，v1=θtL為雙輪自平衡車在前傾狀態(tài)下的速度。同理可得，該雙輪自平衡車在三個坐標(biāo)軸方向上的速度分量分別如式（6）、式（7）、式（8）所示。

式中，τθ表示雙輪自平衡車的車身傾角；L 表示車身質(zhì)心到輪軸的距離；?表示平衡車車身轉(zhuǎn)角。

由圖2（b）可知，當(dāng)雙輪自平衡車旋轉(zhuǎn)時，線段OA=Lsinθt。因此，為雙輪自平衡車在轉(zhuǎn)角狀態(tài)下速度的表達(dá)式。筆者分解坐標(biāo)軸后，得到的兩個速度分量分別如式（9）、式（10）所示。

上式中，為轉(zhuǎn)角狀態(tài)下車身轉(zhuǎn)角大小。

隨后，筆者結(jié)合圖2（c）得到雙輪自平衡車在前進(jìn)或后退狀態(tài)下的速度表達(dá)式：。同時，在該運動狀態(tài)下，雙輪自平衡車兩個速度分量的表達(dá)式分別如式（11）、式（12）所示。

上式中，Vt、Vr分別代表雙輪自平衡車左輪、右輪的速度，并且（R 為雙輪自平衡車車輪半徑；分別表示當(dāng)前運動狀態(tài)下左輪及右輪的轉(zhuǎn)角）。基于此，雙輪自平衡車車身的平動速度可通過式（13）求得。

同時，雙輪自平衡車車身的平動動能（T1）和轉(zhuǎn)角動能（T2）可分別通過式（14）、式（15）求得；車輪的平動動能（T3）和轉(zhuǎn)角動能（T4）可分別通過式（16）、式（17）求得。

上式中，mb表示車身質(zhì)量；mw表示車輪質(zhì)量；Jw表示車輪繞輪軸的轉(zhuǎn)動慣量；J?表示車輪繞Z 軸的轉(zhuǎn)動慣量；（D 為車輪間距）。

（三）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

鑒于雙輪自平衡車的總動能（T）為車身與車輪各項動能之和，故T=T1+T2+T3+T4，即：

隨后，筆者對雙輪自平衡車的相關(guān)受力進(jìn)行分析，并進(jìn)行如下計算。

上式中，考慮雙輪在行駛過程中容易受到黏滯力、阻尼力的影響，筆者定義其中，Qiθ、Qlθ、Qrθ分別為雙輪在三個坐標(biāo)系上的廣義力。隨后，筆者將以上計算代入拉格朗日方程，進(jìn)而得到雙輪自平衡車系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型。

該系統(tǒng)在θl方向上的表達(dá)式為：

在θt方向上的表達(dá)式為：

在θr方向上的表達(dá)式為：

上式中，Ml/Mr為左/右輪電機(jī)轉(zhuǎn)矩；kl、kr為黏滯阻尼系數(shù)；Jt為車身繞輪軸的轉(zhuǎn)動慣量；Jz為車身繞Z 軸的轉(zhuǎn)動慣量；Jw為車輪繞輪軸的轉(zhuǎn)動慣量。式（22）、式（23）、式（24）共同組成了雙輪自平衡車系統(tǒng)的精準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型。

四、結(jié)語

經(jīng)驗證，本文建立的自適應(yīng)PID 雙輪自平衡車數(shù)學(xué)模型，對該類平衡車的快速反應(yīng)、精準(zhǔn)調(diào)控具有一定的參考意義。同時，在對該數(shù)學(xué)模型運用拉格朗日方程法后，本文初步實現(xiàn)了對雙輪自平衡車多種運動狀態(tài)的靈活控制。