揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225001) 王軼

1 關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)

學(xué)科教學(xué)知識(shí)(PCK)最早是由美國學(xué)者Shulman 針對師范教育中教學(xué)知識(shí)和學(xué)科知識(shí)的割裂而提出的一個(gè)重要概念,他將其定義為:教學(xué)內(nèi)容知識(shí)是教師獨(dú)有的、可以將內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)法知識(shí)融合在一起的特殊形式的知識(shí)類型,用以說明教師如何選擇特有的材料和方式組織教學(xué),以促進(jìn)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)[1].自從Shulman 提出PCK 概念后,引起了教育界的關(guān)注,許多從事數(shù)學(xué)教育的學(xué)者也開始從數(shù)學(xué)教育的角度對PCK 進(jìn)行研究,因此也就形成了數(shù)學(xué)教師特有的“數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí)”(Mathematics Pedagogical Content Knowledge),簡稱MPCK.

MPCK 提出后,各專家學(xué)者一方面在其本質(zhì)、特征和結(jié)構(gòu)方面展開研究,另一方面則從教師專業(yè)發(fā)展層面進(jìn)行MPCK 的案例剖析、教師培訓(xùn).目前國內(nèi)對于MPCK 的結(jié)構(gòu)研究中,香港學(xué)者黃毅英的分類是最受數(shù)學(xué)界認(rèn)可的,他將MPCK 分為互有重疊的三個(gè)部分:(1)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)(Mathematics Knowledge,簡稱MK);(2)一般教學(xué)法知識(shí)(Pedagogical Knowledge,簡稱PK);(3)有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)(Content Knowledge,簡稱CK)[2].在實(shí)際的教學(xué)中,則需要教師綜合運(yùn)用這三部分知識(shí),三者產(chǎn)生交集,也就形成了數(shù)學(xué)教師所應(yīng)具備的專業(yè)核心知識(shí)——MPCK,利用韋恩圖可以直觀的感受其結(jié)構(gòu),見圖1.

圖1

2 教師MPCK 案例剖析

教師的MPCK 提升必然要在真實(shí)的教學(xué)環(huán)境下進(jìn)行,所以即使有些在職教師缺乏最新的MK、PK、CK 知識(shí),但由于其一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)充足,其MPCK 也會(huì)比較充足.所以,要想提升職前教師的MPCK 水平,就十分有必要模擬真實(shí)的教學(xué)情境,進(jìn)行MPCK 案例的研發(fā)與剖析.根據(jù)舒爾曼的說法“教師不僅需要了解某事是這樣的,還必須進(jìn)一步了解為什么會(huì)這樣”,教師的知識(shí)應(yīng)該超越對學(xué)生要掌握的知識(shí)的認(rèn)識(shí),從高處著眼,低處入手,形成各教師自己的教學(xué)原則和方法,才能幫助學(xué)生理解和拓展所學(xué)知識(shí).所以,下面以一道初中數(shù)學(xué)題與一道高考題為例,分析并展示在不同學(xué)段借助高等視角進(jìn)行中學(xué)教師數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)(MPCK)的優(yōu)化與拓展,同時(shí)也可以為數(shù)學(xué)師范生與職前教師的MPCK 培訓(xùn)提供素材和方向.

案例1[1985年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題]有甲、乙、丙三種貨物,若購甲3 件、乙7 件、丙1 件,共需3.15 元;若購甲4件、乙10 件、丙1 件,共需4.20 元;現(xiàn)在購買甲、乙、丙各一件共需幾元?

(1)從MK 的角度:首先將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,將問題解決步驟轉(zhuǎn)向三元一次方程組及其解法的相關(guān)知識(shí).其次在解題中涉及到化歸、整體代入等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.

(2)從PK 的角度:本題在初中階段學(xué)生的解決重點(diǎn)在于將新知轉(zhuǎn)化為已知,把未見過的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的問題,引起學(xué)生新舊知識(shí)的矛盾,所以在實(shí)際教學(xué)時(shí),可選擇啟發(fā)引導(dǎo)式、小組討論等策略,鼓勵(lì)交流,引導(dǎo)學(xué)生找出題目特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化解題.

(3)從CK 的角度:初中階段的學(xué)生有符合其年齡特征的認(rèn)知水平,應(yīng)結(jié)合學(xué)生的具體思維發(fā)展水平來考慮問題解決的方法和策略.

(4)優(yōu)秀初中教師的MPCK 綜合運(yùn)用

設(shè)甲、乙、丙的單價(jià)分別為x元、y元、z元,由題意得

對于中學(xué)生來說,這是一個(gè)非常規(guī)的三元一次方程組,三個(gè)未知數(shù),僅有兩個(gè)方程,不能將未知量一一解出.教師要培養(yǎng)學(xué)生解題時(shí)的觀察、分析能力,引導(dǎo)學(xué)生通過多種途徑將其變形為常規(guī)二元方程組的求解.

途徑1在保持知識(shí)的連貫性的基礎(chǔ)上,將題目的求解目標(biāo)盡可能與已知條件相關(guān)聯(lián),既然所求是x+y+z的值,那就嘗試將其整體作為二元一次方程組的一個(gè)未知量,將原方程變形為于是,x+y+z的求值轉(zhuǎn)化為加減消元法消去x+3y.在這個(gè)過程中,教師其實(shí)就是將換元的思想滲透到了數(shù)學(xué)語言教學(xué)環(huán)境中.

途徑2若我們已經(jīng)有了將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組的意識(shí),也可以視x,y為主元素,將原方程組變形為解得從而x+y+z=1.05.

以上的解題思路是基于學(xué)生以往學(xué)習(xí)的關(guān)于二元一次方程組的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析的,把難度大的問題轉(zhuǎn)化為難度小的問題,將特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題,問題解決過程伴隨著數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用,問題的步步轉(zhuǎn)化也遵循數(shù)學(xué)思想方法的指引.所以初中教師要想提高教學(xué)質(zhì)量,必須要盡可能的擴(kuò)展自己的MPCK,用學(xué)生易于理解的和接受的方式進(jìn)行教學(xué).若教師僅將問題描述為①×3?②×2 得x+y+z=1.05 的簡單消元計(jì)算,恐怕學(xué)生更會(huì)認(rèn)為解題過程具有巧合性而喪失問題解決的信心和積極性.那這種解法是否只是思維突然碰撞出的“巧合”?

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?每個(gè)解法背后都有科學(xué)性來支撐.對于不同階段的學(xué)生,數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性可以不同,所以教師教學(xué)的切入點(diǎn)和目標(biāo)也有所不同[3].初中階段對空間幾何并不深入,但擁有豐富MPCK 的教師則會(huì)借此機(jī)會(huì)為學(xué)生未來更加深入的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開一扇小窗,這也是有經(jīng)驗(yàn)教師MPCK 靈活使用的標(biāo)志.以下給出兩種高觀點(diǎn)角度的MPCK 綜合應(yīng)用.

(5)空間解析幾何角度的MPCK

在解析幾何中,平面可以通過一個(gè)三元一次方程來描述,這樣,我們就可以建立起本題三元一次方程組及其求解的幾何意義:①、②表示了兩個(gè)平面,而求解則是確定一個(gè)過其交線的平面(求k):

可設(shè)出過①、②交線的所有平面λ(3x+7y+z?3.15)+μ(4x+10y+z?4.20)=0,整理得到(3λ+4μ)x+(7λ+10μ)y+(λ+μ)z=3.15λ+4.20μ,令可解得λ=3,μ=?2,從而得③中的k為k=3.15×3?4.20×2=1.05.由此得到簡便解法:

解①×3?②×2 得x+y+z=3.15×3?4.20×2=1.05

在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中,有些知識(shí)站在高視角上看是簡單的,但是要向?qū)W生解釋清楚卻十分困難.而沒有空間知識(shí)作指導(dǎo),要找到這個(gè)解法并不輕松,看似簡潔快速的解題過程,背后卻有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)邏輯支撐著.

(6)代數(shù)角度的MPCK

在線性代數(shù)中,由于行列式與多項(xiàng)式存在許多結(jié)合點(diǎn),這就使得我們可以以行列式為工具來解決多項(xiàng)式中的某些問題:將方程①、②、③聯(lián)立,得三元非齊次線性方程組有非零解,又可得行列式解法.但顯然這種解法已經(jīng)超出了教學(xué)的要求,但仍是一位優(yōu)秀教師應(yīng)該具備的MPCK.運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)的觀點(diǎn)去理解中學(xué)數(shù)學(xué)的教材、內(nèi)容和問題,從而提高自身對MK、PK、CK 的理解,以便更好地指導(dǎo)教學(xué),這應(yīng)是目前一部分中學(xué)教師所缺少的、應(yīng)該正視的問題.

案例2[2021年全國乙卷理12 題]設(shè)a=2 ln 1.01,b=ln 1.02,c=則()

(1)從MK 的角度:此題是高考中常見的一類比較大小的題目,以不等式為支架,考差了函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和最值問題,其中涉及到的轉(zhuǎn)化及構(gòu)造函數(shù)思想則是解題的關(guān)鍵,綜合性較強(qiáng),不僅需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),還需要恰當(dāng)?shù)姆椒ê图记?

(2)從PK 的角度:本題的解決需要在教師的分析和引導(dǎo)下找到合適的思路,因此應(yīng)以講授法為主,并留給學(xué)生思考的余地,循序漸進(jìn),避免讓學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒.

(3)從CK 的角度:作為高考卷的一道壓軸選擇題,難度較高,教師在了解學(xué)生目前的知識(shí)水平的狀況下,應(yīng)預(yù)測到學(xué)生在解題過程中可能出現(xiàn)的疑問和錯(cuò)誤,對能力不同的學(xué)生也能有針對的教學(xué),既要讓基礎(chǔ)差的學(xué)生找到常規(guī)的解題思路,也要鼓勵(lì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生拓展思維和方法.

(4)優(yōu)秀高中教師MPCK 的綜合運(yùn)用

經(jīng)過高中階段的系統(tǒng)學(xué)習(xí),比較大小類型的題目已經(jīng)有幾種比較固定的解法,比較常見的有:一,利用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性或特殊值來進(jìn)行比較; 二,作商法,利用“1”來比較;三,作差法,利用a?b>0 來比較;四,圖像法.

顯然a,b可以直接進(jìn)行比較,∵a=2 ln 1.01=ln 1.0201,b=ln 1.02,∴a>b.

可以排除A、D 選項(xiàng),只需比較a,c

根據(jù)波利亞的解題思想,擬定解題方案時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生盡量回想一道所熟悉的具有相同或相似變量的題目.在高一學(xué)習(xí)函數(shù)部分的時(shí)候,經(jīng)常會(huì)接觸到對數(shù)、指數(shù)、及其他很多莫名其妙的數(shù)字比大小的問題,而在函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)時(shí),在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)任取x1< x2,比較f(x1),f(x2)的大小,最常使用的是作差法.所以考慮到選擇壓軸題的復(fù)雜性,可以嘗試構(gòu)造差函數(shù).

令f(x)=2 ln(1+x)?(?1),0< x <1,又令=t,則?t+1=2 ln(t2+3)?t+1?2 ln 4,∴g′(t)=∴g(t)在上單調(diào)遞增,∴g(t)>g(1)=2 ln 4?1+1?2 ln 4=0,∴f(x)>0,∴a>c.

同理,若想比較b、c,也可以構(gòu)造函數(shù)

或許當(dāng)答案直接呈現(xiàn)在學(xué)生面前的時(shí)候,幾乎所有學(xué)生也都能夠理解,但獨(dú)自解題時(shí)卻又會(huì)無從下手.但只要教師擁有足夠的MPCK,把握數(shù)學(xué)知識(shí)的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性、針對不同情況采取不同的教學(xué)策略、對學(xué)生的疑難障礙進(jìn)行正確預(yù)測,就能夠?qū)栴}有更廣闊的理解,從而選擇適合學(xué)生理解和學(xué)習(xí)的教學(xué)呈現(xiàn)方式.

(5)高觀點(diǎn)下的MPCK

在高考中,許多命題都可以溯源到高等數(shù)學(xué)的某些概念,泰勒公式則是函數(shù)命題中常見的橋梁.高中階段,學(xué)生的認(rèn)知水平較高,可以滲透較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn),熟記常見的泰勒公式展開式,對于立志突破瓶頸的基礎(chǔ)較好的學(xué)生來說,“性價(jià)比”很高.

在此題中,則恰好涉及了兩個(gè)常見的泰勒公式及其重要應(yīng)用——近似值估算.

先比較a,c:取xa=0.01,代入①式,得a=2 ln(1+0.01)=0.02?(0.02)2++···,取xc=0.04,代入②式,得···

以上兩式第一項(xiàng)相等,第二項(xiàng)下面更小,而后面的項(xiàng)遠(yuǎn)小于前面的,可以忽略.∴a > c,再比較b,c:取xb=0.02,代入①的原式,得

此題應(yīng)用泰勒公式后,計(jì)算量大幅度降低.在解相關(guān)小題中,若常規(guī)思路受阻,則更是可以直接使用泰勒公式.在教學(xué)中,教師只有擁有專業(yè)的MPCK,才能使“高觀點(diǎn)”下的中學(xué)教學(xué)具有選擇性、引導(dǎo)性、銜接性,將合適的知識(shí)教給合適的學(xué)生,在不脫離學(xué)生認(rèn)知的情況下給予他們思維的拓展.

3 調(diào)查與反思

筆者基于對上述兩個(gè)案例的分析,在就讀學(xué)校的學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專業(yè)一年級的30 名學(xué)生中開展了調(diào)查,采用問卷法、訪談法,根據(jù)對德國coactiv 研究團(tuán)隊(duì)的MPCK 概念框架的理解,生成了學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專業(yè)碩士MPCK 測評表(見表1),來反饋被研究者的學(xué)科教學(xué)知識(shí)(MPCK)發(fā)展到何種程度.在調(diào)查中,初、高中不同學(xué)段的被試分別對應(yīng)案例一、二的題目,讓其列出盡可能多的解法及教學(xué)思路.

表1 學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專業(yè)碩士MPCK 測評表

根據(jù)對調(diào)查結(jié)果的分析:學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專業(yè)碩士MK水平較低,雖然基本能正確解題,但無法對題目展開聯(lián)想從而尋找更多的解題思路;PK 水平教好,能夠根據(jù)解題思路選擇合適的教學(xué)方法、實(shí)施正確的教學(xué)手段來引導(dǎo)學(xué)生正確解題;CK 水平一般,近一半的同學(xué)無法預(yù)測到學(xué)生在解題過程中的疑問,不能夠站在學(xué)生的角度思考問題.

綜合上述,學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專業(yè)碩士在研究生一年級的MPCK 還有很大的提升空間,既要強(qiáng)化對數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的理解和聯(lián)系、提高對教學(xué)法的融合應(yīng)用,也要關(guān)注學(xué)生層面,深入研究學(xué)生學(xué)習(xí)的理論和實(shí)踐.后續(xù)將對應(yīng)案例剖析作為解題教學(xué)指導(dǎo)后,他們對于學(xué)科知識(shí)、教學(xué)思路、課堂預(yù)設(shè)等的認(rèn)識(shí)都有了一定程度的提高,可見,采用MPCK 案例剖析的培訓(xùn)方式,對提高職前教師的專業(yè)化水平效果顯著,也期待更加系統(tǒng)化的MPCK 教師培訓(xùn)模式的生成.