廣東省中山市第一中學(528400) 劉浩

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》明確指出“義務教育數(shù)學課程致力于實現(xiàn)義務教育階段的培養(yǎng)目標,使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展,逐步形成適應終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)”.為此,在初中幾何解題教學中對存在個體差異的學生進行差異化教學很有必要.差異化教學是指在教學中根據(jù)不同學生的知識水平、學習能力等因素,教師選擇適合的學習材料和方法進行針對性的教學,使學習能力強、中、弱的學生在數(shù)學方面都得到不同程度的發(fā)展:基礎好的學生,其數(shù)學素養(yǎng)更上一層樓,能高效地進行高中階段的學習,乃至更進一步的學習;中等程度的學生,其學習興趣和潛能得到激發(fā),具備繼續(xù)學習數(shù)學的基礎和能力;基礎較弱的學生,能順利地完成初中階段的學業(yè),具備適應今后工作和生活相應的數(shù)學素養(yǎng).下面以一道經(jīng)典的幾何題為例說明在初中幾何解題教學中如何開展差異化教學.

如圖1,在平面直角坐標系中,已知A(6,6),B(12,0),M(3,0),點N在線段MB上,∠MAN=45?.

圖1

(1)判斷?AOB的形狀并說明理由;

(2)求線段AN的長.

大多數(shù)的學生均可完成第(1) 問,因此可以讓中等偏下水平的學生進行展示,提升他們的信心:?AOB是等腰直角三角形,理由如下:如圖2,過點A作AE⊥x軸,垂足為E,作AF⊥y軸,垂足為F,∴E(6,0),F(0,6).在Rt?AEO中,由勾股定理,AO=6.同理AB=6.∴BO2=AO2+AB2=122.由勾股定理逆定理得:?AOB是直角三角形.∵AO=AB,∴?AOB是等腰直角三角形.

圖2

有一定解題經(jīng)驗(中等偏上水平) 的學生可以識別出第(2) 問中的半角關系并順利完成解題.可以請他們進行展示,進一步發(fā)展他們的思維能力和表達能力.題中的半角關系即∠MAN=45?,∠OAB=90?.從而∠MAN旁邊分散開的兩角∠NAB與∠OAM的和為45?.為了利用這一關系,可以將?ABN繞點A順時針旋轉90?得到?AOG(如圖3).∵?AOB是等腰直角三角形,∴∠ABO=∠AOB=45?.∴∠AOG=∠ABO=45?.∴點G在y軸正半軸上,設N(n,0),則G(0,12?n).連接GM,AG=AN.∠GAM=∠MAN=45?.∴?AGM?ANM(SAS),∴GM=NM=n?3.在Rt?OMG中,由勾股定理得(n?3)2=(12?n)2+32.解得n=8.∴AN=

圖3

為了利用 ∠NAB+∠OAM=45?,還可以將∠MAN分開成兩個角分別與它們相等.如圖4,作 ∠MAC=∠OAM,AC=AO,連接MC、NC,則∠NAC=∠BAN,AC=AB,可得?OAM?CAM(SAS),?CAN?BAN(SAS),進一步知∠NCM=90?.設N(n,0),在Rt?MCN中,由勾股定理得(n?3)2=(12?n)2+32.解得n=8.∴AN=

圖4

初三的學生已經(jīng)學習了相似的相關知識,知識掌握得比較扎實的學生會從題目圖形中發(fā)現(xiàn)∠MAN=∠AOB=∠ABO=45?,從而發(fā)現(xiàn)一些基本的相似圖形.如圖5,?MAB∽?MNA.∴設N(n,0),則解得n=8.∴AN=在教學中應鼓勵學生從多角度去思考和發(fā)現(xiàn),使他們的學習興趣和潛能得到激發(fā),進一步發(fā)展學習數(shù)學的能力.

圖5

在教師的引導下,學生回憶和梳理求線段長度有勾股定理、相似(三角函數(shù))、面積、解析等幾大類方法.因此教師鼓勵學生繼續(xù)探究是否還有其他解法.思路開闊的學生可以想到下面的等面積方法:如圖6,過點M作MH⊥AN,垂足為H,設N(n,0).由(1) 知:AM=3(n?3).∵ ∠MAN=45?,∴等腰直角?AMH中:又∵S?AMN=× MH,∴AN=(n?3).解得n=8 或n=?12(舍去),∴

圖6

對于學有余力的學生,為使其數(shù)學素養(yǎng)更上一層樓,為高中階段的學習奠定良好的基礎,還可以引領他們繼續(xù)學習以下兩種方法:

如圖6,過點M作MH⊥AN,垂足為H,設N(n,0).由(1) 可知:AM=∵∠MAN=45?,∴等腰直角?AMH中:AH=MH=. ∵A(6,6),N(n,0),∴直線AN的解析式為:變形為又∵MH ⊥AN,M(3,0),由點到直線距離公或得解得:n=8 或n=?12(舍去).∴AN=

由(1) 知A(6,6),M(3,0),直線AM的解析式為:y=2x?6.設直線AN的解析式為:y=kx+6?6k,(k≠0),∵∠MAN=45?,由夾角公式得=tan 45?=1,解得:k=3.∴直線AN的解析式為:y=?3x+24,它與x軸交點坐標為(8,0),即N(8,0).∴AN=

對于基礎較好的學生,還可在以上一題多解的基礎上,進行一題多變的研究,發(fā)展學生從特殊到一般,發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論和規(guī)律的能力.如對題目中的特殊的邊、角做以下改變和拓展:(變式1)將點M變成線段OB上的動點,把“點N在線段MB上”變?yōu)椤包cN在x軸上”,并探究?AMN面積何時最小;(變式2)把“等腰直角?AOB,∠MAN=45?”變?yōu)椤?AOB是頂角為120?的等腰三角形,且∠MAN=30?”;(變式3)把“等腰直角?AOB,∠MAN=45?”變?yōu)椤?AOB是以∠OAB為頂角的等腰三角形,且∠MAN等于等腰三角形的底角”等.不難發(fā)現(xiàn),將題目條件弱化(即由特殊走向一般后),計算難度增大,解題思路和方法則基本不變.需要注意的是,條件弱化后,可能需要根據(jù)實際情況進行分類討論,對答案進行取舍.以下給出三種變式的解答.

(變式 1) 如圖 7,在平面直角坐標系中,已知A(6,6),B(12,0),M(m,0)(其中0< m <12) ,點N在x軸上,∠MAN=45?.

圖7

(1)求線段AN的長(用含m的式子表達);

(2)當m為何值時,?AMN面積最小.

解設N(n,0),由(1) 知∠OAB=90?,∠ABO=45?,又∵ ∠MAN=45?∴ ∠MNA=∠NAB+∠ABO=∠NAB+45?=∠NAB+∠MAN=∠MAB.又∵∠AMB=∠AMB∴?MAB∽?MNA.∴即:若N在M右側,即n > m,則若N在M左側,即n < m,則n=AN=

(3)由(2)知,若n>m,則.當m=12?時,SAMN有最小值?36.若n

當m=12?時,S?AMN有最小值

圖8

(1)請判斷?AOB的形狀并證明;

(2)求線段AN的長;

(3)當m為何值時,?AMN面積最小.

解(1) ?AOB是等腰三角形,證明如下:如圖9,過A作AE⊥x軸,垂足為E,則E(6,0),又∵B(12,0),∴AE垂直平分OB,∴AO=AB.∴?AOB是等腰三角形.

圖9

(2) 設N(n,0),由(1) 知:tan ∠ABO=∴ ∠ABO=30?,∵ ∠MAN=∠ABO=30?,∠BMA=∠AMN,∴ ?MAB∽?MNA,∴即=若N在M右側,即n > m,若N在M左側,即n < m,n=AN=

(3) 由已知:S?AMN=由(2) 知:若

當m=12?時,S?AMN有最小值24?若n

當m=12?時,S?AMN有最小值24?

綜上,當m=時,S?AMN有最小值

(變式 3) 如圖 10,在平面直角坐標系中,已知A(a,b)B(2a,0),M(m,0),點N在x軸上,且∠MAN=∠ABC.

圖10

(1)請判斷?AOB的形狀并證明;

(2)求線段AN的長;

(3)當m為何值時?AMN面積最小.

解(1)?AOB是等腰角形,證明如下:如圖11,過A作AE⊥x軸,垂足為E,則E(a,0),又∵B(2a,0),∴AE垂直平分OB,AO=AB,∴?AOB是等腰三角形.

圖11

(2)設N(n,0),由 (1) 知:∠MAN=∠ABO,∠BMA=∠AMN,∴?MAB∽?MNA,∴即若N在M右側,即n > m,則若N在M左側,即n

(3)由已知:S?AMN=由(2)知:若n > m,則

∴ 當m=2a?時,S?AMN有最小值若n

∴ 當m=2a?時,S?AMN有最小值

綜上,當m=2a?時,S?AMN有最小值

差異教學理念下的初中幾何解題教學,堅持以學生為主體,教師起引導、連接和點評的作用.對容易題,請中下水平學生進行展示;對中等題,請基礎較好的學生進行展示:對拓展題,請能力較強的學生進行解答和展示.在分析和點評的過程中關注學生的行為,重視師生互動、生生互動.立足學情,引領學生發(fā)現(xiàn)解題思路并進行總結,關注不同層次學生發(fā)展的需要,用一題多解、一題多變等方式差異化提升學生的知識和能力,達到“人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展,逐步形成適應終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)”.