揚州大學數(shù)學科學學院(225000) 彭爍姿 王張毅

1 引言

幾何是中學數(shù)學的重要組成部分,是提升學生幾何思維的載體,學好幾何知識有利于學生理解和把握數(shù)學的本質.“直線和圓的位置關系”是人教版教材九年級上冊的知識內容,這節(jié)內容不僅包括探究直線和圓的位置關系,而且有助于學生對勾股定理、全等三角形、點和圓的位置關系等多個知識綜合認知.針對這部分的教學內容,許多教師在教學時存在這些問題:①忽視學生的主動探究,在設置探究活動時會指出解決問題的方向.例如在學習相交、相切、相離的定義時,有的教師提出讓學生從公共點個數(shù)來區(qū)別圖形,直接給出解決問題的角度反而會限制學生思維; ②不注重知識間的聯(lián)系,直線和圓位置關系的判別方法與點和圓位置關系的十分相似,兩部分內容本質上也密切相關,但是在教學中,一些教學設計不強調兩者間的深層聯(lián)系,不利于學生知識網(wǎng)絡的建構.

所以,教師應該改變教學方式,設置有效探究活動,引導學生主動探究,在活動中發(fā)展學生的數(shù)學思維,提升學生的核心素養(yǎng),促進學生分類、類比、轉化等數(shù)學思想的發(fā)展.在教學時,教師還要幫助學生對知識進行歸納、整合,讓學生形成良好的幾何認知結構.良好的幾何認知結構能更好促進學生對幾何信息的有效組織[1].在有關學生的幾何概念發(fā)展與學習的研究中,范希爾的幾何思維水平體系是最有影響的理論之一[2],該理論提出的五個教學階段有助于教師解決現(xiàn)存的這些問題.本文將范希爾理論融入直線和圓位置關系的教學設計,期望在提高學生的數(shù)學素養(yǎng)、幾何思維水平等方面達到更好的效果.

2 范希爾理論簡介

為了解決教師、教材和學生理解的幾何知識不同步的問題,范希爾夫婦結合教學實踐提出了范希爾理論.這個理論的核心有兩個:一是幾何思維的五個水平(視覺—分析—非形式化演繹—形式化演繹—嚴密性);二是與之對應的五個教學階段[2,3].

這五個教學階段分別是:(1)學前咨詢,教師和學生就學習對象進行雙向交談,教師衡量學生的思維水平,學生理解要學習的課題;(2)引導定向,教師根據(jù)學生對一些簡單問題的回答為學生安排活動,使學生明確學習的方向,找到正確的學習方法;(3)闡明,教師使用正確的語言符號向學生講解,學生依據(jù)自身的經驗理解和掌握教師所講知識,學生開始形成學習的關系系統(tǒng);(4)自由定向,學生使用不同的方法解決問題,在此過程中獲得經驗; (5)整合,學生回顧和總結所學知識,將對象與關系內化為一個新的思維領域.

3 范希爾理論與直線和圓的位置關系教學設計融合框架

本文將范希爾理論的五個教學階段與直線和圓的位置關系教學設計相結合,課堂活動與五階段的對應關系如下.

表1 范希爾理論的五個教學階段

4 直線與圓的位置關系(第1 課時)教學設計

階段1 學前咨詢

活動1之前已經學習過點和圓的位置關系,點和圓的位置關系有哪些? 怎樣判斷點和圓的位置關系?

設計意圖學生補充表2,復習與新知有關的舊知,教師了解學生對已有的相關知識的掌握情況.回憶探究位置關系的過程和方法,促進知識的正向遷移,定位新知的“生長點”,為學習新知做準備.

表2 點和圓的位置關系

活動2過一個點可以畫出無數(shù)條直線,請同學們在點和圓位置關系的基礎上過這三個特殊的點畫直線,觀察所畫直線與圓的位置關系.

設計意圖通過數(shù)學情境引出課題,學生在三個點和圓位置關系的圖形上動手操作,嘗試畫出直線和圓的各種位置關系,通過展示不同學生的圖形,得到直線和圓所有位置關系的圖形表示(圖1).

圖1

階段2 引導定向

活動3通過剛剛的畫直線活動得到了以上直線和圓的六個位置圖形,同學們能將以上六個圖形按照某些相同點進行分類嗎?

設計意圖通過觀察幾何圖形,培養(yǎng)觀察、歸納能力,引導學生依據(jù)公共點個數(shù)對六個圖形進行分類,滲透分類思想.學生經歷直線和圓三種位置關系定義的生成過程,水到渠成地獲得這三個定義.

活動4借助幾何畫板從公共點個數(shù)探究直線和圓的位置關系.

設計意圖通過活動3,學生已從公共點個數(shù)將直線和圓的位置關系進行分類.在幾何畫板動態(tài)演示時,學生觀察直線和圓公共點個數(shù)變化時直線和圓位置關系的變化,引導學生整理出直線和圓相交、相切、相離的定義,并介紹圓的割線、圓的切線、切點的定義.

活動5聯(lián)系生活情境.生活中處處有數(shù)學,請同學們回憶日出的過程,觀察日出的這幾幅圖片,可以和學過的哪些位置關系相聯(lián)系?

圖2

設計意圖學生對日出圖片進行數(shù)學抽象,將地平線抽象成直線,太陽抽象成圓,對應圓和直線的三種位置關系.感受數(shù)學與生活的聯(lián)系,在日常生活中用數(shù)學模式對事物進行思考和判斷.

階段3 闡明

活動6請同學們觀察(圖3),判斷直線和圓的位置關系.當僅憑觀察公共點個數(shù)無法精確地刻畫直線和圓的位置關系時,需要用更為精確的特征來刻畫[4].想一想,還有其他方法可以判斷嗎?

圖3

設計意圖學生發(fā)現(xiàn)僅通過觀察無法精確判斷位置關系.回憶點和圓位置關系的判斷方法,復習點和圓的位置關系中點到圓心的距離d和圓的半徑r的大小關系,進行方法的正向遷移,感受方法的通用性,滲透類比思想.學生動手操作,小組合作探究.結合幾何畫板直觀感受直線到圓心的距離d和圓的半徑r的大小關系與直線和圓的位置關系的變化.在圖形的變化過程中了解用距離d和半徑r的大小關系判斷位置關系方法的可行性.

活動7整理直線和圓的位置關系相關知識.

表3 直線和圓的位置關系

設計意圖知識總結.對直線和圓的位置關系有關知識形成一個清晰且完整的認識.

階段4 自由定向

例題1在?ABC中,∠A=45?,AC=4,以點C為圓心,r為半徑的圓與AB所在直線有怎樣的位置關系?

(1)r=2; (2)r=(3)r=3.

圖4

設計意圖習題是教學中重要的反饋資源,學生在思考的過程中不斷鞏固知識,實現(xiàn)知識結構的內化[5].該題檢驗學生能否靈活運用直線到圓心的距離與圓的半徑的大小判斷直線和圓的位置關系,通過畫圖解決問題,滲透數(shù)形結合思想.這個活動對應的是范希爾理論的自由定向階段,學生運用所學知識去探究圓和直線的位置關系,在解決問題的過程中獲取經驗.

階段5 整合

活動8將點和圓的位置關系與直線和圓的位置關系相聯(lián)系.這兩種位置關系之間有什么聯(lián)系?

圖5

設計意圖在活動5 學生所畫直線到圓心距離的基礎上,引導學生發(fā)現(xiàn)直線到圓心的距離其實是過圓心作垂直于直線的垂線,該垂足到圓心的距離,垂足到圓心的距離即點到圓心的距離.當直線和圓相交時,垂足在圓內;當直線和圓相切時,垂足在圓上;當直線和圓相離時,垂足在圓外.將直線和圓的位置關系與點和圓的位置關系建立內在聯(lián)系,通過圖形觀察,引導學生發(fā)現(xiàn):直線l與⊙O的三種位置關系,實質上就是垂足與⊙O的三種位置關系.滲透轉化思想,將直線和圓的位置關系的本質轉化為點和圓的位置關系,實現(xiàn)對知識的深度學習.在直線和圓的位置關系與點和圓的位置關系之間強化關聯(lián),對這兩種圖形的位置關系進行本質探究,將本節(jié)課的知識納入圖形的位置關系知識框架中,建立系統(tǒng)的幾何知識網(wǎng)絡圖.

活動9總結歸納.通過本節(jié)課的學習,你獲得了哪些知識和方法?

設計意圖學生總結本節(jié)課所學到的知識與方法,感悟分類、類比、轉化數(shù)學思想的滲透過程,給教師提供反饋資源.

5 小結

本文教學設計案例中的一系列探究活動具有進階性的特征,對于幫助學生幾何思維向更高水平過渡有著重要意義.在引導定向和闡明階段始終以學生為探究活動的主體,在后續(xù)探究活動中教師僅在學生思維受阻時適當提示、引導,不直接給學生問題答案.在闡明和整合階段強調直線和圓的位置關系上與點和圓的位置關系間建立實質性聯(lián)系,有助于學生發(fā)現(xiàn)知識間的深層關系、感受數(shù)學知識間的整體性與系統(tǒng)性.這為教師解決在幾何教學設計中存在的問題提供了一條有效路徑.

范希爾理論作為幾何教學的重要理論框架,提出學生幾何思維水平發(fā)展的次序性與進階性,強調教學活動對學生幾何思維水平發(fā)展的重要作用,并形成了以發(fā)展學生幾何思維水平為目標的教學設計模式,具有很強的應用性、實踐性與可操作性.上述教學設計結合范希爾理論的五教學階段展開,充分考慮學生在不同階段的知識基礎與能力水平,針對學生幾何思維設計相應的教學活動,以幫助學生掌握幾何知識、改進幾何理解,從而提升幾何思維水平.