邊濤 山東省淄博市臨淄區(qū)鳳凰鎮(zhèn)召口中學(xué)

● 特色與亮點(diǎn)

1.快捷的交互設(shè)計(jì)

快捷的交互式設(shè)計(jì)按鈕、可選的教學(xué)路徑、可調(diào)的教學(xué)進(jìn)度，讓操作更加靈活便捷，不僅適用于師生的課堂教學(xué)，更方便學(xué)生“哪里不會(huì)點(diǎn)哪里”。

2.抽象知識(shí)可視化

借助幾何畫板進(jìn)行動(dòng)畫演示，圖形的形狀、點(diǎn)的坐標(biāo)變化、圖象的位置變化、圖形面積與系數(shù)的關(guān)系等通過改變參數(shù)或點(diǎn)的位置用動(dòng)畫方式得以呈現(xiàn)，視覺效果直觀友好，讓相關(guān)性質(zhì)的總結(jié)水到渠成。有效地幫助師生突破了教學(xué)重難點(diǎn)，降低了學(xué)習(xí)難度，學(xué)生可以從變化的圖象當(dāng)中總結(jié)出不變的量，實(shí)現(xiàn)了“動(dòng)靜結(jié)合”的教學(xué)效果。

3.動(dòng)手操作樂趣多

課堂上，學(xué)生人手一機(jī)和教師一起探究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)。課下，學(xué)生可以利用課件在家進(jìn)行復(fù)習(xí)與鞏固，根據(jù)自己的情況展開個(gè)性化的學(xué)習(xí)，更能感受到成功的喜悅和學(xué)習(xí)的樂趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。學(xué)生親自操作探究，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的現(xiàn)代教育技術(shù)與學(xué)科結(jié)合的理念，讓學(xué)習(xí)更人性化。

4.領(lǐng)悟思想培素養(yǎng)

在探究反比例函數(shù)性質(zhì)的過程中，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、變化與對(duì)應(yīng)思想的存在，并運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想觀察、分析反比例函數(shù)的圖象，探究、歸納、概括反比例函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

● 制作背景

《教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃》指出：教育信息化必將成為促進(jìn)教育公平、提高教育質(zhì)量的有效手段；要積極推進(jìn)“互聯(lián)網(wǎng)+教育”發(fā)展，持續(xù)推動(dòng)信息技術(shù)與教育深度融合；要全面提升師生的信息素養(yǎng)，培養(yǎng)良好的信息思維，以適應(yīng)信息社會(huì)發(fā)展的需要。幾何畫板所具有的“化抽象為具象”“動(dòng)態(tài)化圖形”的功能特點(diǎn)能夠幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的探究性、情境性，為教師設(shè)計(jì)課堂教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)條件。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出要合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，提供豐富的學(xué)習(xí)資源，設(shè)計(jì)生動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法的變革。在實(shí)際問題解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力，提高學(xué)生的信息素養(yǎng)?！斗幢壤瘮?shù)的圖象與性質(zhì)》是魯教版義務(wù)教育教科書九年級(jí)上冊(cè)第一章第二節(jié)的內(nèi)容。反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，是繼一次函數(shù)后，知識(shí)與方法的一次拓展、理解與認(rèn)識(shí)上的一次升華，也是思維的一次飛躍。圖象由“一條”到“兩支”，形態(tài)由“直”到“曲”、由“連續(xù)”到“間斷”、由與坐標(biāo)軸“相交”到“漸近”，都反映出對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)屬性的進(jìn)一步深化?；谶@些變化，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)學(xué)生來說是較難理解的。在課上有限的時(shí)間內(nèi)，如果僅憑學(xué)生畫在紙上的少量圖象和教師口述，學(xué)生不易從動(dòng)態(tài)變化中深刻地理解函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而會(huì)影響他們運(yùn)用性質(zhì)解決問題。這就要求教師在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中充分考慮教材內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生的年齡認(rèn)知特點(diǎn)，合理利用現(xiàn)代信息化教學(xué)工具，將學(xué)生不易掌握的反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)用幾何畫板軟件呈現(xiàn)出來，利用數(shù)形結(jié)合，師生合作探究，融學(xué)科知識(shí)學(xué)習(xí)與探究于一體，將數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與實(shí)際操作相結(jié)合，把抽象的知識(shí)可視化、動(dòng)態(tài)化，突破教學(xué)重難點(diǎn)，提高教學(xué)效率。

● 設(shè)計(jì)思路及內(nèi)容結(jié)構(gòu)

1.設(shè)計(jì)思路

本學(xué)習(xí)工具從數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，通過一系列“問題”的設(shè)置，層層遞進(jìn)，順次展開，在關(guān)鍵點(diǎn)通過動(dòng)畫演示引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建反比例函數(shù)的相關(guān)特性，加深對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，充分突出學(xué)生的主體地位。

整個(gè)學(xué)習(xí)工具學(xué)習(xí)主線清晰，問題呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔，操作要求易懂，圖象變化直觀，規(guī)律總結(jié)自然。它既可以作為教師上課的工具，又可以作為學(xué)生自學(xué)的幫手，學(xué)生通過本工具邊操作邊總結(jié)，能夠完成自學(xué)，構(gòu)建起反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識(shí)體系。

2.內(nèi)容結(jié)構(gòu)

整個(gè)學(xué)習(xí)工具分為三大部分，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔、完整，操作便捷。

（1）情境創(chuàng)設(shè)，引入新知

研究函數(shù)是按定義—圖象和性質(zhì)—應(yīng)用的路徑展開的，而圖象和性質(zhì)則主要研究了圖象的形狀、位置、變化趨勢(shì)。學(xué)生有一次函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但時(shí)間間隔太久，難免有遺忘?；诖?，在課堂教學(xué)中筆者通過讓學(xué)生回憶學(xué)習(xí)函數(shù)的過程和方法，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)研究問題的一般規(guī)律，這對(duì)于今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以及其他學(xué)科的學(xué)習(xí)都有幫助。

（2）觀察探究，突破難點(diǎn)

①圖象畫法。圖象是直觀地描述和研究函數(shù)的重要工具。反比例函數(shù)圖象相對(duì)于一次函數(shù)圖象，形態(tài)豐富，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，具有自身的特殊性。通過讓學(xué)生經(jīng)歷用描點(diǎn)法畫出反比例函數(shù)圖象的基本步驟，可以使學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)先有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)。教師提出如何畫出反比例函數(shù)y=4-x的圖象的問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)圖象的畫圖步驟并作出相應(yīng)提示。在學(xué)生自主完成畫圖象后，教師適時(shí)點(diǎn)撥，展示學(xué)生作品，并通過幾何畫板追蹤點(diǎn)的軌跡演示反比例函數(shù)圖象的生成過程，給出雙曲線的名稱，并滲透它的形態(tài)特征。雙曲線的生成過程的演示可以加深學(xué)生印象，引起興趣，更重要的是在作圖準(zhǔn)確性上起到示范作用，讓學(xué)生看到標(biāo)準(zhǔn)的雙曲線的形狀。

②圖象的基本性質(zhì)。在圖象作出后，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象的形狀、位置、變化趨勢(shì)，感受“形”的特征，感受自變量與函數(shù)值之間的變化與對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)形成初步的印象。想要總結(jié)函數(shù)y=k-x的圖象特征，只有一個(gè)圖象是不夠的，讓學(xué)生多畫幾個(gè)圖象，既鞏固了作圖技能，也讓其手中有更多的素材展開研究。組織學(xué)生分組在同一直角坐標(biāo)系中畫出反比例函數(shù)的圖象，并觀察圖象有哪些特征。在同一坐標(biāo)系中畫函數(shù)圖象，使對(duì)比更加強(qiáng)烈。小組討論的學(xué)習(xí)方式，可以使個(gè)人的想法得到糾正和補(bǔ)充，可以展示自己的自信，也能看到自己的不足，分組畫出不同的函數(shù)可以節(jié)省時(shí)間。在總結(jié)圖象特征的過程中，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖象的觀察、感知、分析、概括的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷畫出函數(shù)圖象，并利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程。隨后教師引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是所有的反比例函數(shù)的圖象都具有這樣的特征？如下頁(yè)圖1所示，教師用幾何畫板展示當(dāng)參數(shù)k變化時(shí)圖象的變化情況。學(xué)生通過觀察圖象，發(fā)現(xiàn)所得到的不同的反比例函數(shù)圖象的特征，進(jìn)而歸納“變化中的規(guī)律性”。改變點(diǎn)B的位置，讓學(xué)生比較點(diǎn)B的縱坐標(biāo)跟隨橫坐標(biāo)變化情況。

圖1

教師通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，驗(yàn)證猜想，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，加強(qiáng)對(duì)反比例函數(shù)圖象特征的認(rèn)識(shí)。接著再讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，并比較異同，自行總結(jié)規(guī)律。有了前面對(duì)k＞0情況的詳細(xì)分析，學(xué)生可以類比進(jìn)行k＜0的情況探究，既鍛煉了分析探索能力，又對(duì)前面所學(xué)知識(shí)進(jìn)行了復(fù)習(xí)和能力的檢驗(yàn)。通過兩方面的探究，讓學(xué)生梳理、歸納反比例函數(shù)的圖象特征，在活動(dòng)中，讓學(xué)生去觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)參與、探究新知的目的。

反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體。通過對(duì)圖象的研究和分析，可以確定函數(shù)本身的性質(zhì)，但對(duì)解析式的剖析也不能忽視。教師啟發(fā)追問，以上特點(diǎn)是否只能通過觀察圖象得到呢？如果不畫圖，通過分析解析式的特點(diǎn)能否得到上述結(jié)論？教師從解析式的角度，引導(dǎo)學(xué)生分析上述結(jié)論的合理性。這種從“數(shù)”的方面的再?gòu)?qiáng)調(diào)，會(huì)使學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)和圖象與性質(zhì)的認(rèn)識(shí)更加科學(xué)精確。通過圖象研究函數(shù)是從形到數(shù)，而通過分析函數(shù)解析式去想象圖象的形狀是由數(shù)到形。讓學(xué)生自己歸納函數(shù)性質(zhì)是為了鍛煉學(xué)生的抽象、概括能力，同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。在分析進(jìn)行過程中，在得出結(jié)論的同時(shí)填寫表格，表格的形式對(duì)學(xué)生的思路起到引導(dǎo)作用，比文字的敘述更直觀易懂。

③圖象的對(duì)稱性。反比例函數(shù)的對(duì)稱性是個(gè)難點(diǎn)，這里采用幾何畫板作圖驗(yàn)證的方式幫助學(xué)生理解。一方面，在反比例函數(shù)的圖象上選定A(1,1),B(-1,-1)兩點(diǎn)，過A,B兩點(diǎn)作出正比例函數(shù)y=x的圖象。把直線y=x選定為對(duì)稱軸，在反比例函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)C，再作點(diǎn)C關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)C＇讓學(xué)生觀察點(diǎn)C＇的位置并對(duì)比點(diǎn)C和點(diǎn)C＇的坐標(biāo)，總結(jié)兩者關(guān)系。然后拖動(dòng)點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，增加對(duì)稱點(diǎn)的數(shù)量，讓學(xué)生觀察點(diǎn)C＇的位置變化，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。另一方面，再利用幾何畫板作出直線y=-x，作出點(diǎn)C關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)C″，并讓兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起來，讓學(xué)生比較兩點(diǎn)坐標(biāo)后歸納得出反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=-x對(duì)稱。

④雙曲線與坐標(biāo)軸的距離。如圖2所示，教師通過幾何畫板演示說明當(dāng)k值變化時(shí)，反比例函數(shù)的圖象也相應(yīng)地產(chǎn)生變化。直觀的演示容易讓學(xué)生觀察到函數(shù)圖象位置與k的關(guān)系。

圖2

⑤矩形面積與k的關(guān)系。教師提出問題，在反比例函數(shù)的圖象任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為多少？利用幾何畫板的測(cè)量功能測(cè)出矩形面積，拖動(dòng)點(diǎn)P，讓學(xué)生觀察測(cè)量出的面積有什么變化。改變參數(shù)k值的大小后再移動(dòng)點(diǎn)P，讓學(xué)生繼續(xù)觀察矩形面積的變化，最后得到矩形面積等于|k|。至此，學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的各種性質(zhì)已經(jīng)有了比較完整的認(rèn)識(shí)和理解。

（3）鞏固反思，深化理解

在總結(jié)得出反比例函數(shù)和圖象與性質(zhì)之后，為學(xué)生提供一系列的練習(xí)，目的是為學(xué)生提供一個(gè)體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”分析問題的平臺(tái)，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化。教師引導(dǎo)學(xué)生交流本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)和探究問題的方法，以及用到的數(shù)學(xué)思想，對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行及時(shí)整理、鞏固和提高，培養(yǎng)學(xué)生整理、歸納的習(xí)慣和能力。

● 關(guān)鍵技術(shù)處理

1.演示畫法得形狀

在畫反比例函數(shù)圖象時(shí)，點(diǎn)擊“畫圖象演示”按鈕可讓點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起來，通過追蹤點(diǎn)的軌跡展示畫象的過程，讓學(xué)生看到標(biāo)準(zhǔn)的雙曲線。

2.變化參數(shù)得性質(zhì)

在歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，可拖動(dòng)滑塊手動(dòng)改變k值，讓圖象隨著k的變化而變化。拖動(dòng)點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)會(huì)隨之變化。學(xué)生可通過觀察圖象，發(fā)現(xiàn)所得到的不同的反比例函數(shù)圖象的特征，歸納“變化中的規(guī)律性”。

在圖象位置與k的關(guān)系探究中,可以給參數(shù)k賦以不同的值，在鍵盤上按“shift+”或“-”，使k值可正可負(fù)，此時(shí)可直觀地看到雙曲線的位置隨著k的變化而變化，大量雙曲線的呈現(xiàn)方便學(xué)生總結(jié)規(guī)律。

在探究圖形面積與k的關(guān)系時(shí)，參數(shù)k可利用鍵盤的“shift+”或“-”使其發(fā)生變化，相應(yīng)地，拖動(dòng)點(diǎn)P，改變點(diǎn)P的位置，可研究陰影部分面積與k的關(guān)系。

3.對(duì)比坐標(biāo)得對(duì)稱

在反比例函數(shù)的對(duì)稱性學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，可拖動(dòng)點(diǎn)C，觀察點(diǎn)C和點(diǎn)C＇的坐標(biāo)變化，點(diǎn)擊“驗(yàn)證”按鈕，坐標(biāo)系中會(huì)作出直線y=-x，拖動(dòng)點(diǎn)C，可直觀觀察點(diǎn)C和C″的坐標(biāo)變化，進(jìn)而用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)來說明反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性。

● 幕前幕后

在一次很偶然的培訓(xùn)中，筆者接觸到了幾何畫板軟件，為它的強(qiáng)大功能驚嘆不已。因?yàn)榕嘤?xùn)時(shí)間很短，當(dāng)時(shí)只學(xué)會(huì)一些基本操作，后來在教學(xué)中，在遇到需要測(cè)量、作圖、用動(dòng)畫破解難點(diǎn)等情況時(shí)，邊學(xué)邊做，經(jīng)常把制作的片段用作教學(xué)輔助，這種不間斷的使用也為自己積累了經(jīng)驗(yàn)。賽前，筆者購(gòu)買了相關(guān)書籍，到EOC官方網(wǎng)站查閱了相關(guān)資料，研習(xí)了往屆很多獲獎(jiǎng)作品，通過學(xué)習(xí)研究對(duì)數(shù)字化學(xué)習(xí)工具有了全新的認(rèn)識(shí)。筆者一直沒有嘗試過思路嚴(yán)謹(jǐn)、結(jié)構(gòu)完整的學(xué)習(xí)工具制作，設(shè)計(jì)本工具的初衷是想為學(xué)生提供一個(gè)易學(xué)易用、知識(shí)體系相對(duì)完整的工具。在工具的開發(fā)過程中，筆者經(jīng)過多次修改和調(diào)試，克服了多個(gè)技術(shù)難題，最終形成現(xiàn)在的版本。從學(xué)生使用效果來看，達(dá)到了預(yù)期的效果。首先是利用信息技術(shù)，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，吸引學(xué)生注意力。其次，學(xué)習(xí)工具為學(xué)生搭建了認(rèn)知支架，學(xué)習(xí)路徑自然流暢，突破了教學(xué)難點(diǎn)，提高了學(xué)習(xí)效率。最后，利用本工具自主學(xué)習(xí)優(yōu)化了學(xué)習(xí)體驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在新冠疫情期間，活動(dòng)是以線上的形式開展的，回顧整個(gè)參賽過程，作品的構(gòu)思制作、陳述展示、線上答辯等一系列環(huán)節(jié)，都對(duì)筆者有很大的沖擊，其間自學(xué)并首次使用會(huì)聲會(huì)影軟件進(jìn)行錄屏、視頻編輯，參與的過程也是自我成長(zhǎng)的過程，個(gè)人的專業(yè)素養(yǎng)也因此得到了提升。通過大賽展示自我的機(jī)會(huì)彌足珍貴，特別是在聽了專家評(píng)委的點(diǎn)評(píng)和建議之后，筆者更加明確了后期努力的方向。學(xué)習(xí)工具的美工、視覺呈現(xiàn)效果如何更優(yōu)化？如何融合其他軟件的優(yōu)勢(shì)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)習(xí)更加立體？這些都是需要研究的問題。

如今，學(xué)校新上了高配置的網(wǎng)絡(luò)交互教室，硬件條件越來越好。“潮平兩岸闊，風(fēng)正一帆懸”，筆者會(huì)以此為契機(jī)，不斷提高自己的專業(yè)水平，用技術(shù)服務(wù)學(xué)生，讓信息技術(shù)融合教學(xué)發(fā)揮其真正的作用。