王磊磊，張壯壯，吳豫，呂中賓，王東暉，李媛，陸德堅

（1.國網(wǎng)河南省電力公司電力科學(xué)研究院，河南鄭州 450052；2.國網(wǎng)河南省電力公司，河南鄭州 450052；3.北京森馥科技股份有限公司，北京 102218）

0 引言

隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展，各省市及地區(qū)對能源的需求量不斷增大，加速了含超高壓及特高壓在內(nèi)的高壓輸電線路的大力建設(shè)[1-3]。然而由于線路走廊的限制，作為廣域空間電大尺寸結(jié)構(gòu)的高壓輸電線路對周邊弱電系統(tǒng)及雷達臺站的電磁干擾已不容忽視[4-6]。目前這種干擾主要表現(xiàn)為高壓輸電線路的無源干擾[7-9]。在高壓輸電線路無源干擾的研究中，研究者面臨的關(guān)鍵問題之一是如何實現(xiàn)其寬頻電磁散射特性的準(zhǔn)確快速重構(gòu)[10-13]。由于實際的高壓輸電線路較長，且其地形地貌復(fù)雜，通常難以通過真型實驗的方式研究高壓輸電線路對鄰近雷達臺站等設(shè)施的無源干擾影響[8，9，12]。而縮比模型實驗在實驗過程中忽略了電導(dǎo)率、介電常數(shù)等參數(shù)的變化，存在一定的測量誤差，同時其靈活性較差，耗時費力[11-13]。當(dāng)前多采用仿真計算方法研究高壓輸電線路的寬頻電磁散射特性。

現(xiàn)有矩量法（Method of Moments,MoM）[8-9,14]、多層快速多極子[15]、特征基函數(shù)[16]、一致性繞射理論[17]等數(shù)值算法可用于高壓輸電線路電磁散射響應(yīng)的準(zhǔn)確求解，但均存在計算量過大等問題，特別是運用MoM 時，隨著激勵頻率的增大，用于離散高壓輸電線路無源干擾數(shù)學(xué)模型的基函數(shù)將會變得更為離散，造成其中的矩陣計算量呈幾何倍數(shù)增長，且當(dāng)頻率上升到吉赫茲以上，龐大的計算量將導(dǎo)致現(xiàn)有計算機的硬件資源難以滿足其要求[14]。

針對以上問題，有學(xué)者首次將模型參數(shù)估計（Model-Based Parameter Estimation，MBPE）技術(shù)[18-19]引入高壓輸電線路寬頻散射特性的快速求解中[11，13]。該方法的本質(zhì)是利用矩量法等數(shù)值算法求解出一定數(shù)量采樣頻點的散射場，繼而基于這些數(shù)據(jù)辨識MBPE 有理插值函數(shù)的待定系數(shù)，從而利用該有理內(nèi)插函數(shù)快速計算出高壓輸電線路的寬頻散射特性[11]。MBPE 技術(shù)對采樣頻點的位置及數(shù)量較為敏感，若采樣點的位置及數(shù)量選擇不合適，極有可能造成采樣點的冗余，并產(chǎn)生寬頻響應(yīng)預(yù)測結(jié)果與實際結(jié)果產(chǎn)生較大偏差等問題。而文獻[11，13]并未提出通用的頻點采樣方法，而是盲目地等間隔選取研究頻段的采樣點，這必然會造成選取的頻點過多、計算精度低、穩(wěn)健性低等諸多問題。另外，為提取其選擇的Padé有理分式的系數(shù)，需要提取確定其函數(shù)中分子和分母的階數(shù)，并對矩陣進行求逆操作，而該矩陣在某些情況下存在奇異性，同時該有理函數(shù)的系數(shù)只在展開點附近有效。這些原因?qū)е铝藗鹘y(tǒng)基于等間隔采樣點方法與Padé有理函數(shù)的MBPE 技術(shù)[11，13]在高壓輸電線路寬頻電磁散射特性快速求解中的局限性，亟需對其需要進行改進。

為此，本文引入一種基于Stoer-Bulirsch 有理函數(shù)的新MBPE 技術(shù)，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建一種寬頻散射場頻點自適應(yīng)采樣方法，從而提出了一種基于自適應(yīng)MBPE 技術(shù)的高壓輸電線路寬頻散射場快速預(yù)測新方法，避免了傳統(tǒng)MBPE 技術(shù)在高壓輸電線路寬頻散射場快速求解中存在的采樣點過多、預(yù)測精度低、穩(wěn)定性低等問題。并將其與傳統(tǒng)等間隔均勻采樣MBPE 技術(shù)的預(yù)測效果進行了對比分析。

1 傳統(tǒng)MBPE求解技術(shù)

由電磁場理論可知，含正弦電壓源的線天線發(fā)射的電磁波會在高壓輸電線路金屬體表面產(chǎn)生與激勵源同頻的正弦散射電磁波，因而高壓輸電線路在廣域空間下任意位置的散射場瞬時值E(r,t)可表示為[11，13]：

式中：|E（r）|為僅與空間位置有關(guān)的散射場幅值；ω=2πf為角頻率（f為散射場頻率）；φdeg（r）為余弦函數(shù)初始相位；r為任意位置對應(yīng)的空間位置矢量。

若將式（1）散射場表示為相量，則有：

式中：φrad為弧度值，滿足φrad=（90+φdeg）π/180。

在高壓輸電線路無源干擾研究中，通常計算固定場點的電磁散射特性，所以當(dāng)場點r選定后，|E（r）|和φdeg（r）僅為頻率的函數(shù)[11，13]。

MBPE 技術(shù)引入廣域空間下極電大尺寸高壓輸電線路的寬頻散射場快速求解的基本思想是從唯象層面利用有理函數(shù)表征電磁散射體等物體的內(nèi)在物理機制，屬于一種插值方法[20]。已在雷達散射截面的頻空雙內(nèi)插[21]和天線方向圖的恢復(fù)[18]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，并取得了良好的模擬效果。文獻[11，13]構(gòu)建的高壓輸電線路散射場頻率響應(yīng)插值函數(shù)為：

式中：M，L分別為分子和分母多項式的階數(shù)；bi，aj分別為分子和分母多項式的系數(shù)；s為復(fù)頻率（s=jω）。

其中，PL（s）和QM（s）沒有公因式，即不可約，且QM（s）≠0。

通?？闪頰M=1，則僅需t=M+L+1 個采樣點數(shù)據(jù)即可提取式（3）的各個待求系數(shù)。其中，采用等間隔均勻選取的方式確定采樣點位置，其數(shù)目人為給定，而各采樣點的高壓輸電線路散射場利用MoM準(zhǔn)確求解[9，11]。

為得到Padé內(nèi)插函數(shù)的具體表達式，將式（3）表示為如下矩陣方程[11，13]：

利用t個采樣點散射場MoM 計算值對矩陣方程式（4）—式（7）進行矩陣求逆運算后，可得到Padé有理分式的系數(shù)bi（i=0，1，…L）和aj（j=0，1，…M-1），繼而基于有理插值函數(shù)（3）可快速求解出高壓輸電線路的寬頻散射特性。

2 基于自適應(yīng)MBPE 技術(shù)的高壓輸電線路寬頻散射場快速重構(gòu)方法

為避免傳統(tǒng)等間隔均勻采樣MBPE 技術(shù)存在的問題更好地與所提自適應(yīng)采樣算法結(jié)合，本文引入基于Stoer-Bulirsch 有理插值函數(shù)的MBPE 技術(shù)[22]。

2.1 基于Stoer-Bulirsch有理函數(shù)的MBPE技術(shù)

文獻[20]基于Neville 算法，提出了一種無需求解有理函數(shù)式（3）系數(shù)的表格遞歸插值方法。該算法屬于MBPE 技術(shù)，其遞歸關(guān)系式可精確地總結(jié)為[23]：

其初始條件為：Ei，0=0、Ei，1=yi（i=1，2，…，t）。其中，yi為散射場采樣頻點si的函數(shù)值。

該Stoer-Bulirsch 有理函數(shù)插值方法中所有的,k（k=1，2，…，t；i=1，2，…，t+1-k）構(gòu)成1 個遞推列表[19-20]。當(dāng)t為奇數(shù)時，有理函數(shù)分子和分母的階數(shù)相等；當(dāng)t為偶數(shù)時，有理函數(shù)分子比分母的階數(shù)高一階。基于該方法遞推t次后，即可求得高壓輸電線路散射場在任意頻點處的精確插值結(jié)果。

2.2 自適應(yīng)頻率采樣算法

若采樣的高壓輸電線路散射場頻點數(shù)據(jù)足夠多，則可以利用Stoer-Bulirsch 有理函數(shù)插值算法求解出較為精確的高壓輸電線路寬頻帶散射特性，但為了節(jié)約計算資源和計算時間，提升相關(guān)方法的實用性，必須在滿足一定精度的情況選用最少的采樣頻點，需要在最佳位置選擇最佳采樣頻點。為此，本文提出并構(gòu)建了高壓輸電線路寬頻散射場采樣頻點的自適應(yīng)采樣點算法，以此實現(xiàn)其采樣頻點的智能選取，并在保證其寬頻響應(yīng)預(yù)測精度及穩(wěn)健性的基礎(chǔ)上，盡可能使用少的頻率采樣點，從而實現(xiàn)其寬頻散射特性的準(zhǔn)確快速求解。

所提自適應(yīng)采樣算法的本質(zhì)為：在自適應(yīng)選擇的插值頻點處，對比x個采樣頻點的高壓輸電線路散射場插值結(jié)果和x+1 個采樣頻點的高壓輸電線路散射場插值結(jié)果（插值結(jié)果由Stoer-Bulirsch 有理函數(shù)插值算法得出），將尋找出的誤差最大的頻點作為新增采樣頻點。如此循環(huán)對比，以此實現(xiàn)高壓輸電線路散射場采樣頻點的自動增加。當(dāng)各插值頻點上的收斂條件得到滿足時，再將高壓輸電線路散射場的研究頻段作二分處理，并將采樣間隔最大區(qū)間的中點新增為采樣頻點。再次在高壓輸電線路散射場新插值序列上對比收斂特性，從而自適應(yīng)加密插值頻段。

本文所提自適應(yīng)采樣算法實現(xiàn)的流程如圖1所示。其中，T為檢驗次數(shù)（通常T設(shè)置為2即可）可控制高壓輸電線路散射場插值區(qū)間自適應(yīng)加密次數(shù)，以此保證自適應(yīng)頻點采樣過程的穩(wěn)定性。

圖1 高壓輸電線路散射場自適應(yīng)采樣頻點選取流程Fig.1 Flowchart for selecting adaptive frequency sampling points of scattering field of high-voltage transmission line

初始插值步長d根據(jù)是否能夠產(chǎn)生足夠插值點人為確定。相對誤差e計算式為：

式中：，Ei分別為插值點si散射場的插值計算結(jié)果和基于矩量法的數(shù)值計算結(jié)果；ε為控制誤差，一般情況下，ε選取為0.01。T設(shè)置為2 即可；而初始插值步長d根據(jù)是否能夠產(chǎn)生足夠插值點人為確定。

該自適應(yīng)采樣算法僅在新增采樣點上利用矩量法求解其對應(yīng)函數(shù)值信息，其余計算時間主要用于有理插值函數(shù)求解上，但這與計算新增采樣點信息所需時間可以忽略不計。當(dāng)該自適應(yīng)采樣算法達到最終收斂條件后，即可運用Stoer-Bulirsch 有理函數(shù)插值算法和采樣頻點函數(shù)值信息快速計算出高壓輸電線路寬頻散射場的真實響應(yīng)。

3 計算結(jié)果對比及分析

3.1 中波廣播頻段的高壓輸電線路散射場

文獻[23-24]通過研究，發(fā)現(xiàn)在535～1 705 kHz 激勵下，輸電線路鐵塔可等效為半徑為2.13～4.88 m 的線天線，并形成了相關(guān)的IEEE 標(biāo)準(zhǔn)和研究結(jié)論，也被國內(nèi)外學(xué)者廣泛引用和采納。本文建立了文獻[23-24]提出的500 kV 雙回高壓輸電線路散射場計算模型（模型1），如圖2 所示。選擇9 基輸電鐵塔作為研究對象，同時鐵塔和地線分別等效半徑為3.51 m，0.71m 的直線模型；激勵源為線天線（距地高度195 m，饋電電壓1 V），位于圖2 中距離x軸448 m的y軸負(fù)方向。根據(jù)文獻[25]，選取坐標(biāo)為（0，2000，2）觀測點的高壓輸電線路散射場作為插值分析對象。

圖2 高壓輸電線路散射場計算模型Fig.2 Calculation model of scattering field of high-voltage transmission line

在基于矩量法求解圖2 所示高壓輸電線路散射場模型前，以0.1 倍波長對其進行分段，計算選取的頻率間隔為15 kHz。分別基于MoM 和自適應(yīng)Stoer-Bulirsch 有理函數(shù)插值法求解的高壓輸電線路各頻點散射場如圖3 所示。從圖3 可知，本文所提自適應(yīng)算法自動確定的采樣頻點數(shù)為17 個；求解的高壓輸電線路散射場寬頻響應(yīng)數(shù)值及變化趨勢與MoM 的計算結(jié)果較為吻合。

圖3 基于MoM和自適應(yīng)MBPE技術(shù)計算的高壓輸電線路散射場寬頻響應(yīng)結(jié)果（模型1）Fig.3 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line based on MoM and adaptive MBPE technique（Model 1）

為驗證傳統(tǒng)基于等間隔均勻采樣MBPE 技術(shù)計算的效果，隨機均勻選取13，15，18 個采樣頻點，并基于傳統(tǒng)方法計算相應(yīng)高壓輸電線路散射場的寬頻響應(yīng)，結(jié)果如圖4 所示。從圖4 可知，等間隔均勻采樣MBPE 技術(shù)并不能準(zhǔn)確反映高壓輸電線路的寬頻散射特性。

圖4 傳統(tǒng)等間隔采樣MBPE技術(shù)計算的高壓輸電線路散射場寬頻響應(yīng)結(jié)果（模型1）Fig.4 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line with equal interval sampling-based MBPE technique（Model 1）

為定量評價本文所提自適應(yīng)MBPE 技術(shù)和傳統(tǒng)等間隔采樣MBPE 技術(shù)的計算效果，引入全局平均絕對誤差（量值表示為M1）、全局平均相對誤差（量值表示為M2）和全局最大相對誤差（量值表示為M3）等評價指標(biāo)，分別為：

式中：Ei，Ei’分別第i個頻點散射場的MBPE 內(nèi)插值和MoM 計算值；n為計算頻點個數(shù)。

與圖3 和4 對應(yīng)的3 個評價指標(biāo)的計算結(jié)果如表1 所示，其中，傳統(tǒng)等間隔采樣MBPE 的計算結(jié)果從左至右分別對應(yīng)圖4（a）—4（c）。從表1 可知，本文所提自適應(yīng)MBPE 技術(shù)的各向指標(biāo)均好于傳統(tǒng)等間隔均勻采樣MBPE 技術(shù)。

表1 2種方法在算例1下的計算誤差對比Table 1 Comparison of calculating errors between two methods with case 1

3.2 調(diào)幅廣播收音臺工作頻段的高壓輸電線路散射場

隨著激勵電磁波頻率的增大，高壓輸電線路中的鐵塔細節(jié)尺寸與激勵波長之比隨之增大，導(dǎo)致IEEE 提出的鐵塔線模型過于粗糙而不再適用[11]，建模過程中需要考慮高壓鐵塔復(fù)雜的空間桁架結(jié)構(gòu)。為此，本文采用了文獻[23]提出的高壓輸電線路無源干擾線-面混合模型（模型2）。模型為±800 kV 向家壩-上海特高壓直流輸電線路的線-面混合模型，其按0.1 倍波長分段。

以調(diào)幅廣播收音臺的工作頻段526.5 kHz～26.1 MHz 為例，將從無窮遠處傳入的電場強度幅值為0.5 V/m 的垂直極化平面電磁波作為高壓輸電線路模型的激勵源（鑒于高壓線路及鐵塔垂直于大地，以垂直極化平面波作為激勵考慮最嚴(yán)重的無源干擾情況），選取觀測點（0，2 000，2）的散射場作為插值分析對象。另外，基于MoM 計算高壓輸電線路散射場時，施加激勵電磁波的頻率間隔為0.1 MHz。

分別基于MoM 和所提自適應(yīng)Stoer-Bulirsch 有理函數(shù)插值法計算的各頻點散射場響應(yīng)如圖5 所示。從圖5 可知，本文所提自適應(yīng)Stoer-Bulirsch 有理函數(shù)插值法自動確定的采樣頻點數(shù)為93 個；基于該方法求解的高壓輸電線路散射場寬頻響應(yīng)數(shù)值及變化趨勢與MoM 計算結(jié)果較為吻合。

圖5 基于MoM和自適應(yīng)MBPE技術(shù)計算的高壓輸電線路散射場寬頻響應(yīng)結(jié)果（模型2）Fig.5 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line based on MoM and adaptive MBPE technique（Model 2）

相比于3.1 節(jié)，本節(jié)高壓輸電線路散射場的寬頻響應(yīng)更為復(fù)雜，預(yù)測精度也稍差，但總體結(jié)果還是與MoM 計算結(jié)果較為一致。同樣，基于傳統(tǒng)等間隔均勻采樣MBPE 技術(shù)預(yù)測各頻點的散射場（頻段均分為5 段，每段等間隔隨機分別選取19，20，21個頻點，總共分別選取91，96，101 個頻點），所得結(jié)果如圖6 所示。與圖5 和6 對應(yīng)的M1，M2和M3計算結(jié)果如表2 所示，其中，傳統(tǒng)等間隔采樣MBPE中計算結(jié)果從左至右分別對應(yīng)圖6（a）—6（c）。從圖6 和表2 可知，傳統(tǒng)均勻采樣MBPE 技術(shù)預(yù)測的寬頻散射場及其變化趨勢均與MoM 計算結(jié)果存在較大的偏差。

由圖3—圖6 和表1—表2 分析及計算結(jié)果可知，本文自適應(yīng)MBPE 技術(shù)能合理地選擇高壓輸電線路散射場的頻點，且能保證采樣頻點數(shù)目較少，可準(zhǔn)確地預(yù)測高壓輸電線路寬頻散射場。而傳統(tǒng)均勻采樣MBPE 技術(shù)不能合理地選取采樣點，穩(wěn)健性較低，無法準(zhǔn)確地重構(gòu)高壓輸電線路的寬頻散射響應(yīng)。

表2 2種方法在算例2下的計算誤差對比Table 2 Comparison of calculating errors between two methods with case 2

圖6 傳統(tǒng)等間隔采樣MBPE技術(shù)計算的高壓輸電線路散射場寬頻響應(yīng)結(jié)果（模型2）Fig.6 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line with equal interval sampling-based MBPE technique（Model 2）

本文研究發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)采樣算法選擇的采樣頻點數(shù)目與初始插值步長存在一定的反比例相關(guān)性，但插值間隔減小并不會使采樣數(shù)目明顯增加。以3.1 節(jié)為例，計算分析初始插值步長與采樣頻點數(shù)目的關(guān)系，如表3 所示。從表3 可知，本文自適應(yīng)采樣算法隨初始插值間隔的變化較為穩(wěn)定。自適應(yīng)采樣算法的采樣點數(shù)目會隨控制誤差ε的變小而增大。同樣以3.1 節(jié)為例，計算分析d=0.175 MHz，T=3 時采樣點數(shù)目隨控制誤差ε的變化，如表4 所示?？刂普`差ε越小，自適應(yīng)Stoer-Bulirsch 有理函數(shù)插值法的精度越高，但當(dāng)控制誤差ε小到一定程度后，插值精度的提升可忽略不計。同時，采樣點數(shù)目也會隨著檢驗次數(shù)T的變化而變化，在d=0.175 MHz，ε=0.01 下統(tǒng)計結(jié)果如表5 所示。

表3 自適應(yīng)采樣算法插值步長與采樣點數(shù)量的關(guān)系Table 3 Relationship between interpolation step of adaptive sampling algorithm and number of sample point

表4 d＝0.175 MHz，T=3時采樣數(shù)目隨控制誤差ε 的變化Table 4 Variation of number of sampling point with ε when d ＝0.175 MHz and T=3

表5 d＝0.175 MHz，ε=0.01時采樣數(shù)目隨檢驗次數(shù)T的變化Table 5 Variation of number of sampling point with T when d＝0.175 MHz and ε=0.01

4 結(jié)語

本文引入了一種基于Stoer-Bulirsch 有理函數(shù)插值法的新MBPE 技術(shù)，構(gòu)建了高壓輸電線路散射場自適應(yīng)頻點采樣算法，提出了一種基于自適應(yīng)MBPE 技術(shù)的高壓輸電線路寬頻散射場求解方法，并針對2 種不同頻段的高壓輸電線路散射場進行了寬頻響應(yīng)預(yù)測。仿真計算結(jié)果表明，本文所提方法的全局平均誤差為8.89%，而傳統(tǒng)均勻采樣MBPE 技術(shù)全局平均誤差為25.63%。本文所提自適應(yīng)MBPE 技術(shù)可為高壓輸電線路無源干擾的準(zhǔn)確快速計算提供參考，避免傳統(tǒng)均勻采樣MBPE 技術(shù)存在的矩陣奇異、可靠性差、計算精度低等問題。