康瑞浩，胡俊山，田 威，張嘉偉，馬創(chuàng)業(yè)

（1.南京航空航天大學(xué)，南京 210016；2.中國空空導(dǎo)彈研究院，洛陽 471000）

隨著機(jī)器人技術(shù)的快速發(fā)展，以工業(yè)機(jī)器人為載體的智能裝備在航空航天智能生產(chǎn)線中的應(yīng)用愈加廣泛，如飛機(jī)翼面鉆鉚、型面銑削、部件裝配等場合[1]。同時，對機(jī)器人作業(yè)過程的動態(tài)監(jiān)測需求也變得更加迫切。數(shù)字孿生技術(shù) （DT）能夠?qū)ρb備、產(chǎn)線乃至全工廠進(jìn)行實(shí)時、有效的監(jiān)測，而數(shù)字孿生能否準(zhǔn)確地映射物理空間狀態(tài)取決于數(shù)字孿生建模的準(zhǔn)確度?，F(xiàn)有機(jī)器人數(shù)字孿生建模方法大多依賴?yán)碚搮?shù)來構(gòu)建模型，在傳感器數(shù)據(jù)驅(qū)動下，往往導(dǎo)致數(shù)字孿生模型的運(yùn)動軌跡與物理空間的實(shí)際軌跡不一致，影響到后續(xù)的預(yù)測與控制效果。因此，如何建立高精度、高保真的數(shù)字孿生模型面臨著巨大挑戰(zhàn)。

2003年Grieves教授于密歇根大學(xué)的產(chǎn)品生命周期管理 （PLM）課程上首次提出數(shù)字孿生概念[2]，描述為物理系統(tǒng)的數(shù)字化信息結(jié)構(gòu)，數(shù)字孿生模型是將數(shù)字信息嵌入到物理系統(tǒng)中而形成的獨(dú)立實(shí)體。北航陶飛教授團(tuán)隊(duì)[3–6]是國內(nèi)較早深入開展數(shù)字孿生理論與技術(shù)研究的團(tuán)隊(duì)，提出了數(shù)字孿生“五維模型”并建立了數(shù)字孿生模型評價指標(biāo)體系。不同的研究者也從各個方面不斷豐富數(shù)字孿生的概念[7–8]。Li等[9]構(gòu)建面向全生命周期動態(tài)演化的數(shù)字孿生驅(qū)動信息架構(gòu)。Xia等[10]從制造結(jié)構(gòu)層面建立數(shù)字孿生驅(qū)動的智能工廠，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)智能感知[11]、預(yù)測[12]、過程優(yōu)化[13]和控制策略[14]等功能。但這些研究都集中在工廠、車間、產(chǎn)線等宏觀生產(chǎn)數(shù)據(jù)的孿生可視化，針對實(shí)際物理裝備的數(shù)字孿生建模技術(shù)研究報道較少。

在物理裝備孿生建模方面，Kuts等[15]基于AR/VR技術(shù)構(gòu)建了工業(yè)機(jī)器人虛擬模型和虛擬操控界面，可以通過AR/VR頭盔實(shí)現(xiàn)對虛擬機(jī)械臂的運(yùn)動控制。王春曉等[16]利用MWorks對三軸數(shù)控銑床構(gòu)建了綜合機(jī)械、電氣等多學(xué)科領(lǐng)域的數(shù)字孿生模型。Guo等[17]采用Focas數(shù)據(jù)采集方法，研發(fā)了智能制造車間數(shù)控機(jī)床數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控系統(tǒng)。這些研究雖然從裝備的運(yùn)動機(jī)理和運(yùn)行狀態(tài)等進(jìn)行了數(shù)字孿生建模研究，但忽略了數(shù)字孿生建模的精度問題。

在面向工業(yè)機(jī)器人數(shù)字孿生建模中，通常采用理論參數(shù)來描述機(jī)器人內(nèi)部結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，但由于制造、裝配、零部件磨損、重力及負(fù)載、溫度等因素都會導(dǎo)致機(jī)器人本體與理論模型之間存在偏差[18]，嚴(yán)重影響機(jī)器人數(shù)字孿生建模精度。其中，機(jī)器人各連桿的參數(shù)誤差以及造成的累積誤差屬于幾何誤差[19]；齒輪間隙、關(guān)節(jié)柔性變形等難以量化和衡量的誤差屬于非幾何誤差；還存在一些動態(tài)誤差，會隨著機(jī)器人使用時間和使用強(qiáng)度的增大而發(fā)生變化。

無論是幾何誤差、非幾何誤差還是動態(tài)誤差，它們的存在都是無法避免的，在建模過程中需要對各誤差造成的精度損失進(jìn)行補(bǔ)償。對于幾何參數(shù)誤差，通?？梢圆捎没谶\(yùn)動學(xué)模型的參數(shù)標(biāo)定法[20–22]，通過修正機(jī)器人關(guān)節(jié)參數(shù)，來準(zhǔn)確反映工業(yè)機(jī)器人在物理空間的位置，Dennis[23]、Judd[24]、Renders[25]等提出了基于幾何誤差識別最大似然法的機(jī)器人標(biāo)定方法，用來糾正連桿和關(guān)節(jié)參數(shù)誤差。此外，許多學(xué)者建立了非運(yùn)動學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法[26]，如Zeng等[27–28]建立了基于誤差相似度的精度補(bǔ)償方法，王東署等[29]采用前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了機(jī)器人實(shí)際位姿和相應(yīng)的關(guān)節(jié)角誤差之間的關(guān)系，以確定位姿處補(bǔ)償轉(zhuǎn)角誤差值，從而提高機(jī)器人的絕對定位精度。

為了減少傳動誤差等非幾何誤差，任永杰等[30]利用激光跟蹤儀進(jìn)行末端位姿的在線測量與修正，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人末端作業(yè)全閉環(huán)控制。在航空大部件加工中，Moeller等[31]利用激光跟蹤儀對工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時位姿控制，該方法能夠給數(shù)字孿生模型提供高精度映射，但需要增加激光跟蹤儀等外部輔助設(shè)備，不僅提高了作業(yè)復(fù)雜度，同時只能對機(jī)器人末端數(shù)據(jù)采集，難以獲得機(jī)器人各個活動關(guān)節(jié)的精確位置。國外學(xué)者將光柵尺安裝在機(jī)器人各關(guān)節(jié)軸上，在機(jī)器人工作過程中讀取光柵尺傳感數(shù)據(jù)獲得關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角[32–35]，計算末端位姿與誤差修正量，并在控制器中進(jìn)行反饋控制[36]。該方法可有效減小關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差，提高機(jī)器人的建模精度。

本文從工業(yè)機(jī)器人數(shù)字孿生建模機(jī)理出發(fā)，對數(shù)字孿生建模精度進(jìn)行了理論定義。通過在機(jī)器人上安裝光柵傳感器，建立數(shù)字孿生測量系統(tǒng)，并對測量系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定，從而減少了數(shù)字孿生建模中關(guān)節(jié)傳動引起的非幾何誤差。采用L - M算法[37]對工業(yè)機(jī)器人建模參數(shù)進(jìn)行辨識修正，補(bǔ)償了數(shù)字孿生建模中的幾何誤差。試驗(yàn)結(jié)果表明了數(shù)字孿生建模方法的正確性和建模參數(shù)辨識對建模精度補(bǔ)償?shù)目尚行浴?/p>

1 數(shù)字孿生建模

1.1 數(shù)字孿生模型初始化

數(shù)字孿生模型可以定義為由傳感器數(shù)據(jù)驅(qū)動的、具有物理實(shí)體運(yùn)動約束的可視化表征。而模型初始化是在不考慮建模準(zhǔn)確度的情況下獲得與物理實(shí)體結(jié)構(gòu)和功能近似的數(shù)字孿生模型。首先，利用OpenGL（開放式圖形庫）建立數(shù)字孿生可視化環(huán)境，并對模型顯示的材質(zhì)、場景、光照條件進(jìn)行全局設(shè)置；其次，鑒于工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動是各主要運(yùn)動部件相互協(xié)調(diào)運(yùn)動的結(jié)果，對工業(yè)機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆分，確定工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動所需的各關(guān)鍵運(yùn)動部件，將其三維模型導(dǎo)入數(shù)字孿生可視化環(huán)境下；最后，由于OpenGL讀取的各個模型位置和姿態(tài)是不固定的、任意的，所以需要參考實(shí)際機(jī)器人各部件模型的位置和裝配方式，在可視化環(huán)境中進(jìn)行調(diào)整并建立部件模型之間的從屬關(guān)系。部件模型之間的關(guān)系可劃分為相對運(yùn)動與剛體固連關(guān)系，機(jī)器人各部件模型的從屬關(guān)系如圖1所示。

圖1 銑削工業(yè)機(jī)器人部件從屬關(guān)系圖Fig.1 Subordination diagram of milling industrial robot moving parts

在定義機(jī)器人各部件從屬關(guān)系的基礎(chǔ)上，采用MD - H模型[38]表達(dá)工業(yè)機(jī)器人各運(yùn)動部件之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，對各關(guān)鍵運(yùn)動部件三維模型進(jìn)行運(yùn)動約束。為了避免D – H建模中兩相鄰連桿平行時到達(dá)奇異位置難以求解的情況，引入關(guān)節(jié)平行度參數(shù)βi：當(dāng)關(guān)節(jié)平行時，定義βi ≠0，di= 0；關(guān)節(jié)不平行時，定義βi= 0。此時，通過MD - H建立的機(jī)器人的第i節(jié)連桿相對i– 1節(jié)連桿的齊次變換矩陣可以表示為

式中，x、y和z分別為連桿坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸；ai為連桿長度；αi為連桿扭轉(zhuǎn)角；di為連桿偏距；θi為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角；βi為關(guān)節(jié)平行度。

針對工業(yè)機(jī)器人轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)數(shù)量的不同，可以推導(dǎo)相對應(yīng)的齊次變換矩陣。若轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)數(shù)為n，根據(jù)式 （1）和理論設(shè)計參數(shù)，可得出其末端位姿在基坐標(biāo)系下的齊次變換矩陣[39]，并定義為

式中，F(xiàn)(θS，X)為數(shù)字孿生驅(qū)動模型，用以后續(xù)建模參數(shù)標(biāo)定；θS為關(guān)節(jié)驅(qū)動角度；X為建模結(jié)構(gòu)參數(shù)組成的向量；T為旋轉(zhuǎn)矩陣；n為關(guān)節(jié)數(shù)。

最后，利用傳感器讀取物理實(shí)體各關(guān)鍵部件的相對運(yùn)動量，從而在可視化環(huán)境中驅(qū)動三維模型運(yùn)動，保證與物理空間實(shí)際機(jī)器人具有完全一致的運(yùn)動行為。

此時完成了數(shù)字孿生模型的初始化工作，但由于物理空間的工業(yè)機(jī)器人并不是理論參數(shù)構(gòu)建的完全復(fù)刻體，存在著諸多誤差，因此還需要對機(jī)器人數(shù)字孿生建模精度進(jìn)行分析。

1.2 數(shù)字孿生建模精度

為了更好地表達(dá)數(shù)字孿生模型和物理實(shí)體之間的映射關(guān)系，將數(shù)字孿生模型與實(shí)際物理裝備的運(yùn)動映射誤差定義為建模誤差，孿生模型對物理空間映射的精準(zhǔn)度評價指標(biāo)定義為建模精度。在建模中應(yīng)盡量按照工業(yè)機(jī)器人實(shí)際尺寸進(jìn)行繪制，以保證孿生模型與物理裝備運(yùn)動的一致性。

圖2描述了數(shù)字孿生的位置建模精度，Oc為物理空間中工業(yè)機(jī)器人末端測點(diǎn)到達(dá)的位置點(diǎn)；G點(diǎn)為孿生模型計算所到達(dá)的位置點(diǎn)；Oc點(diǎn)與G點(diǎn)之間誤差值為該測點(diǎn)的建模誤差A(yù)P，表達(dá)為

圖2 數(shù)字孿生位置建模精度定義圖Fig.2 Position of digital twin modelling accuracy definition diagram

式中，xj、yj、zj為末端測點(diǎn)到達(dá)位置的空間笛卡爾坐標(biāo)，xi、yi、zi為孿生模型中計算位置點(diǎn)的空間笛卡爾坐標(biāo)。

在笛卡爾空間中各個方向的建模誤差定義為APX、APY、APZ，即

單一的測點(diǎn)難以表征整個數(shù)字孿生模型的建模精度，需在物理空間中取N個測點(diǎn)，分別計算出各單一測點(diǎn)的建模誤差A(yù)PN，并求出N個測點(diǎn)的建模誤差平均值即

此時則標(biāo)準(zhǔn)偏差SAP值為

2 數(shù)字孿生實(shí)時測量系統(tǒng)

2.1 構(gòu)建數(shù)字孿生測量系統(tǒng)

通常在無任何輔助測量設(shè)備的情況下，數(shù)字孿生模型可以通過伺服電機(jī)自帶的編碼器進(jìn)行傳動比換算，間接獲得關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角值，從而驅(qū)動數(shù)字孿生模型運(yùn)動。但由于伺服電機(jī)、減速器內(nèi)部傳動的齒輪存在間隙，同時機(jī)器人各連桿自重、負(fù)載和運(yùn)動過程中自身的慣性力作用會導(dǎo)致關(guān)節(jié)處產(chǎn)生柔性變形，使得編碼器間接得到的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角值與實(shí)際關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角值之間存在角度偏差。因此，在工業(yè)機(jī)器人各個關(guān)節(jié)處安裝高精度光柵尺傳感器作為數(shù)字孿生實(shí)時測量反饋系統(tǒng)，即通過光柵尺直接測量各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，將獲取的光柵數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)字孿生模型，進(jìn)而獲得機(jī)器人末端的位置和軌跡信息，并通過實(shí)時映射來驅(qū)動機(jī)器人數(shù)字孿生模型。工業(yè)機(jī)器人轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)部位驅(qū)動結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 工業(yè)機(jī)器人轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)部位驅(qū)動結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Diagram of drive structure of rotating joint part of an industrial robot

雖然圓光柵對于測量轉(zhuǎn)角類數(shù)據(jù)更為合適，但是安裝圓光柵需要拆卸機(jī)器人的轉(zhuǎn)動軸，再次安裝時難以保證光柵和轉(zhuǎn)動軸的同軸度，從而影響傳感器的信號采集精度，并且還會破壞機(jī)器人自身的傳動精度。因此，本文采用將直線光柵粘貼到轉(zhuǎn)動軸外環(huán)表面，通過“以直代曲”的方式對機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)進(jìn)行測量采集，并根據(jù)工業(yè)機(jī)器人各個關(guān)節(jié)常用轉(zhuǎn)角范圍確定光柵尺長度。工業(yè)機(jī)器人共有6個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，從基座到末端將各關(guān)節(jié)定為A1～A6，機(jī)器人各個關(guān)節(jié)安裝情況如圖4所示。

圖4 工業(yè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)光柵尺安裝圖Fig.4 Installation diagram for each joint of an industrial robot

2.2 測量系統(tǒng)傳感器標(biāo)定

“以直代曲”的方式需要根據(jù)工業(yè)機(jī)器人各個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍將直線位移測量轉(zhuǎn)換成角度測量，為保證關(guān)節(jié)角映射的準(zhǔn)確性，要對光柵尺的讀數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行重新標(biāo)定。在光柵尺進(jìn)行標(biāo)定時，必須先確定機(jī)器人各關(guān)節(jié)在Home位置、負(fù)極限位置、正極限位置的光柵讀數(shù)，避免在標(biāo)定過程中出現(xiàn)超限位等安全問題，并將Home位置定為光柵尺新零位。具體的標(biāo)定過程如下（以A1軸光柵尺標(biāo)定為例）。

（1）使用示教器控制A1軸關(guān)節(jié)以3%的均勻速度分別從不同轉(zhuǎn)角返回Home點(diǎn)，重復(fù)10次，并依次記錄相應(yīng)的光柵尺讀數(shù)，求出讀數(shù)的平均值，定為A1軸的光柵尺新零位。

（2）控制A1軸關(guān)節(jié)從正極限位置向負(fù)極限位置方向以3%的速度勻速轉(zhuǎn)動，以每2°為一個間隔記錄光柵尺的讀數(shù)。到達(dá)負(fù)極限位置后，以同樣的速度和間隔向正極限位置勻速轉(zhuǎn)動A1軸，并記錄光柵尺讀數(shù)。同時在A1關(guān)節(jié)處安裝靶標(biāo)，使用激光跟蹤儀測量靶球當(dāng)前位置。

（3）通過空間測量分析軟件Spatial analyzer（SA）對所采集到的靶標(biāo)點(diǎn)擬合得到圓A1'和A1''，依次連接各靶標(biāo)點(diǎn)位與相應(yīng)A1'、A1''圓心，可得到相鄰靶球位置對應(yīng)的圓心角，即為A1軸兩次轉(zhuǎn)動所對應(yīng)的實(shí)際轉(zhuǎn)角。

（4）將所得到的實(shí)際關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角增量與光柵尺讀數(shù)進(jìn)行擬合，可得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角與光柵尺讀數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。

（5）A2 ～ A6軸光柵尺標(biāo)定按步驟（1）～（4）分別進(jìn)行，即可完成機(jī)器人各關(guān)節(jié)軸光柵傳感器標(biāo)定。

3 基于參數(shù)辨識的建模方法

3.1 建模誤差模型

機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差是導(dǎo)致數(shù)字孿生建模過程中物理空間末端實(shí)際位姿與孿生模型期望位姿之間誤差的來源，數(shù)字孿生建模過程中，采用機(jī)器人理論參數(shù)進(jìn)行建?？梢垣@得孿生模型的末端理論位姿OT，但由于機(jī)器人加工裝配中各連桿參數(shù)存在誤差，使得機(jī)器人末端運(yùn)動過程并未到達(dá)理論位置，而當(dāng)前到達(dá)的實(shí)際位姿記為OT'，在機(jī)器人基座安裝等不確定因素影響下，機(jī)器人在物理空間的實(shí)際基坐標(biāo)系OB很難確定，但可以利用測量設(shè)備對機(jī)器人基坐標(biāo)系進(jìn)行擬合，并將測量所得的基坐標(biāo)系定為OB'，后續(xù)工作將圍繞測量坐標(biāo)系OB'來完成機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)定。各坐標(biāo)系構(gòu)建如圖5所示。

圖5 參數(shù)標(biāo)定坐標(biāo)系Fig.5 Parametric calibration of the coordinate system

OB相對于OB'存在微動誤差B'TB，矩陣B'TB表示為

式中，OB相對于OB'分別在x、y和z軸方向上產(chǎn)生的微小移動量為dxB、dyB和dzB；OB相對于OB'假設(shè)中心點(diǎn)的微小轉(zhuǎn)動量為δxB、δyB和δzB。

OT相對OB產(chǎn)生微分運(yùn)動，表示為

式中，BTT'和BTT分別為OT'和OT相對于OB的齊次變換矩陣；dT為微動齊次變換矩陣。

末端位姿的微小變化是由OT相對于OB產(chǎn)生的微分變換矩陣，表示為

由式（9）和（10）可知，OT'相對于OB'的齊次變換矩陣B'TT'為

式中，I4為4×4的單位矩陣。對式（11）進(jìn)行變換，并忽略其中高階微小量，則

式中，B'TT'（BTT）–1–I4為系統(tǒng)的線性標(biāo)定誤差矩陣；B'TB–I4為OB相對于OB'的微分變換。

式（12）表示機(jī)器人末端的位姿精度，是由測量基坐標(biāo)系與實(shí)際基坐標(biāo)系存在的構(gòu)造誤差和機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差兩者引起的。

其中，B'TB–I4可簡化為矩陣形式，即

式中，dB和δB分別為OB相對于OB'的微分平移和旋轉(zhuǎn)矢量；I6為6×6的單位矩陣；Δδ為OB相對于OB'的微小變動量所構(gòu)成的矩陣。

用兩個相鄰連桿的5個運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差來表示連桿i的微分變換δAi和位姿誤差dAi，多關(guān)節(jié)機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)n代表著機(jī)器人的自由度，由于機(jī)器人運(yùn)動學(xué)具有5個關(guān)節(jié)參數(shù)，故此機(jī)器人末端到基坐標(biāo)系的位姿誤差可以用5n個運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差表示。

設(shè)機(jī)器人相鄰兩連桿之間的理論齊次變換矩陣為AiN時，由于機(jī)器人結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)誤差 （Δθi、Δdi、Δai、Δαi和Δβi）的存在，兩相鄰連桿之間的實(shí)際齊次變換矩陣AiR會與理論齊次變換矩陣AiN存在一個誤差dAi。機(jī)器人末端實(shí)際位姿OT'相對于OB的齊次變換可表示為

將上式展開，忽略高階無窮小，dT可化簡為

式中，BTTi–1和BTTn分別為連桿i–1和n的理論位姿相對于OB的齊次變換矩陣。

由式（10）和（15）可知，機(jī)器人末端實(shí)際位姿相對于OB的微分變換矩陣Δ'為

機(jī)器人各連桿坐標(biāo)系相對于上一連桿坐標(biāo)系的微分變換Δ'可以由微分矢量dΔ和δΔ表示為

式中，Jdθ、Jda、Jdβ、Jδθ、Jδα和Jδβ均為雅克比矩陣，是由已知的機(jī)器人理論幾何參數(shù)構(gòu)建的，令向量ΔP為

將式（10）代入式（18）可以計算出系統(tǒng)線性標(biāo)定誤差向量ΔP、線性標(biāo)定微分平移矢量d和旋轉(zhuǎn)誤差矢量δ；式 （11）可以計算出相對于OB′的微小平移矢量dB和旋轉(zhuǎn)矢量δB，令矩陣J為

式中，I3為3×3的單位矩陣。令參數(shù)辨識誤差向量ΔX'為

則由式（16）到（18）可得

在機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定中需要采集大量的點(diǎn)位坐標(biāo)，用以提高標(biāo)定的精度，假設(shè)存在m個采樣點(diǎn)，上式可寫為

式中，ΔPm為采樣點(diǎn)的位置誤差列向量；Jm為雅克比矩陣。

3.2 建模誤差參數(shù)辨識

機(jī)器人建模參數(shù)誤差辨識最優(yōu)化過程是將非線性模型中高階微分量忽略以按照線性分析，參數(shù)辨識誤差ΔX'越來越小時，輸入到孿生模型中獲得的末端位置將越接近機(jī)器人實(shí)際位置，在辨識參數(shù)時，將非線性模型線性化的最常用方法是最小二乘法。最小二乘法取近似的中間值會造成計算誤差，收斂過程中會使得目標(biāo)函數(shù)離極小值越來越遠(yuǎn)，最后擬合的效果難以接受，而L-M最小二乘法利用阻尼系數(shù)μ限制迭代運(yùn)算可以避免出現(xiàn)奇異性，提高了最小二乘法擬合效果。采用L-M最小二乘法的參數(shù)辨識基本原理如圖6所示。

步驟1：初始化數(shù)字孿生模型，首次計算建模參數(shù)向量Xk，并作為機(jī)器人理論結(jié)構(gòu)參數(shù)；

步驟2：將一定數(shù)量點(diǎn)位作為參數(shù)辨識采樣點(diǎn)，通過激光跟蹤儀測量機(jī)器人到達(dá)采樣點(diǎn)的實(shí)際位置P；

步驟3：通過輔助傳感器采集該采樣點(diǎn)對應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角向量θs；

步驟4：代入建模參數(shù)向量Xk下數(shù)字孿生模型，計算當(dāng)前辨識的雅克比矩陣J（Xk），獲得末端位置P'；

步驟5：求解P'與P之間存在誤差ΔP（Xk）；

步驟6：求解出建模參數(shù)誤差修正量ΔXk，即

步驟7：更新第k+ 1次迭代時的建模參數(shù)向量Xk+1和迭代次數(shù)k為

步驟8：更新第k+ 1次迭代時的阻尼系數(shù)μk+1為

式 中，||ΔP（Xk+1）||和||ΔP（Xk）||分別為第k+1和k次迭代的位置誤差的二范數(shù)；δ為迭代參數(shù)。

步驟9：當(dāng)||ΔP（Xk+1）|| – ||ΔP（Xk）|| >ε時，更新第k+1次建模參數(shù)向量；

步驟10：迭代運(yùn)行步驟4到步驟9直 至||ΔP（Xk+1）||–||ΔP（Xk）||≤ε時，兩次迭代的位置誤差范數(shù)之差趨近于ε= 0.0001，證明已經(jīng)收斂，即得出最優(yōu)參數(shù)誤差。

此時，用L-M算法辨識出的機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差ΔX修正機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)，并代入數(shù)字孿生驅(qū)動模型中，從而提高數(shù)字孿生建模精度。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)平臺

為了驗(yàn)證本文提出的數(shù)字孿生建模方法的有效性，以及建模參數(shù)辨識對建模精度補(bǔ)償?shù)目尚行?，本文以工業(yè)機(jī)器人銑削系統(tǒng)作為試驗(yàn)對象，該系統(tǒng)為搭載銑削末端的KR500 M2830MT型工業(yè)機(jī)器人，利用FARO vantage E型激光跟蹤儀作為機(jī)器人末端位姿測量設(shè)備，搭建試驗(yàn)平臺如圖7所示。在末端TCP測量過程中，將安裝有激光跟蹤儀靶球的特制刀柄固聯(lián)在機(jī)器人末端銑削主軸上，并將靶球測量位置看作機(jī)器人末端TCP的位置，對比激光跟蹤儀測量數(shù)據(jù)與數(shù)字孿生模型計算數(shù)據(jù)，完成建模精度試驗(yàn)驗(yàn)證。

圖7 試驗(yàn)平臺Fig.7 Test platform

4.2 數(shù)字孿生交互平臺

數(shù)字孿生模型并不能獨(dú)立存在，計算機(jī)軟件為數(shù)字孿生模型的可視化表征提供了載體。綜合數(shù)字孿生平臺的通用性考慮，本文采用Qt編程軟件進(jìn)行數(shù)字孿生系統(tǒng)交互平臺GUI開發(fā)，能夠準(zhǔn)確地描述工業(yè)機(jī)器人銑削系統(tǒng)中組件間的復(fù)雜相互作用，也可以連接控制器與物理空間建立永久、實(shí)時的交互模式。其主要界面如圖8所示，包含末端位姿顯示區(qū)、系統(tǒng)功能區(qū)、加工控制區(qū)、NC程序操作區(qū)。

圖8 數(shù)字孿生系統(tǒng)交互平臺界面Fig.8 Digital twins interactive platform interface

（1）末端位姿顯示區(qū)。該區(qū)域顯示由數(shù)字孿生模型計算得出的機(jī)器人銑削系統(tǒng)末端TCP的位姿，以及執(zhí)行任務(wù)中所要到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)位信息。

（2）系統(tǒng)功能區(qū)。該區(qū)域主要承擔(dān)整體系統(tǒng)的初始化、項(xiàng)目工程的管理、加工任務(wù)執(zhí)行進(jìn)程的應(yīng)急處置等功能。

（3）加工控制區(qū)。該區(qū)域是整個交互平臺的核心區(qū)域，包含了銑削、主軸、電機(jī)、基準(zhǔn)、法向、加工輔助、刀庫、工藝、坐標(biāo)系、孿生虛擬模型顯現(xiàn)窗口等模塊，在孿生模塊子窗口內(nèi)，用戶可以實(shí)時觀察到孿生模型對機(jī)器人銑削裝備任務(wù)執(zhí)行過程的實(shí)時映射，而且可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等操作切換不同的視角和細(xì)節(jié)，能夠全面觀察機(jī)器人的加工運(yùn)行狀態(tài)。

（4）NC程序操作區(qū)。該區(qū)域主要負(fù)責(zé)NC加工程序的編輯和運(yùn)行。在加工過程中，查閱編輯框可跟隨加工進(jìn)程自動定位到正在執(zhí)行的程序，方便用戶掌握加工的進(jìn)度。

4.3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的數(shù)字孿生模型參數(shù)修正方法的有效性、正確性，對試驗(yàn)平臺KR500機(jī)器人的A1～A6軸增加光柵尺，根據(jù)上文提到的標(biāo)定方法對各個關(guān)節(jié)進(jìn)行標(biāo)定，確定光柵尺零點(diǎn)，標(biāo)定結(jié)果如表1所示，后續(xù)將測量數(shù)據(jù)用來驅(qū)動數(shù)字孿生可視化模型運(yùn)動。

表1 光柵尺標(biāo)定結(jié)果Table 1 Calibration results for optical scale

在KR500工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動可達(dá)范圍內(nèi)隨機(jī)生成100個采樣點(diǎn)和150個目標(biāo)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，將100個采樣點(diǎn)使用L-M算法進(jìn)行參數(shù)辨識，另外用150個目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行建模誤差和建模精度的試驗(yàn)驗(yàn)證。試驗(yàn)過程可分為以下6步。

（1）利用激光跟蹤儀建立World坐標(biāo)系、Base坐標(biāo)系和末端TCP坐標(biāo)系，然后在SA軟件中建立Base坐標(biāo)系作為測量基準(zhǔn)。

（2）將100個采樣點(diǎn)寫入NC程序控制機(jī)器人運(yùn)動，使用激光跟蹤儀完成建模參數(shù)辨識前采樣點(diǎn)位置采集，并將各光柵尺讀數(shù)代入理論建模參數(shù)構(gòu)建的數(shù)字孿生模型中以計算末端位置。

（3）將激光跟蹤儀測量值與理論參數(shù)構(gòu)建的數(shù)字孿生模型計算值對比，計算理論參數(shù)建模精度。并利用L-M算法對采樣點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)辨識，機(jī)器人建模參數(shù)修正結(jié)果如表2所示。

表2 機(jī)器人建模參數(shù)修正結(jié)果Table 2 Robot modelling parameter correction results

（4）將辨識后的參數(shù)輸入數(shù)字孿生交互平臺，以修正數(shù)字孿生模型建模參數(shù)。

（5）將150個目標(biāo)點(diǎn)寫入NC程序控制機(jī)器人運(yùn)動，使用激光跟蹤儀測量實(shí)際到達(dá)位置，以及將各光柵尺讀數(shù)代入修正的數(shù)字孿生模型中計算末端位置。

（6）將激光跟蹤儀測量值與修正參數(shù)構(gòu)建的數(shù)字孿生模型計算值對比，計算修正參數(shù)建模精度。

4.4 試驗(yàn)結(jié)果

將激光跟蹤儀采集到的點(diǎn)位坐標(biāo)數(shù)據(jù)分別與數(shù)字孿生模型中理論建模參數(shù)和修正建模參數(shù)所計算的點(diǎn)位坐標(biāo)進(jìn)行對比分析，根據(jù)式（3）、（4）和（7）計算綜合建模誤差、各方向建模誤差和建模精度，如表3所示。

表3 修正前后的建模精度Table 3 Modelling accuracy before and after calibration

圖9 ～12分別為根據(jù)理論建模參數(shù)、修正建模參數(shù)建立的數(shù)字孿生模型反映的點(diǎn)位信息和激光跟蹤儀采集到的點(diǎn)位信息的差值。對比發(fā)現(xiàn)，采用機(jī)器人理論建模參數(shù)構(gòu)建的數(shù)字孿生模型與修正建模參數(shù)構(gòu)建的數(shù)字孿生模型的差別較大，兩者差值最大可達(dá)到1.49 mm；最大綜合建模誤差從修正前的1.4920 mm減少到了0.2962 mm；最小建模誤差從0.2590 mm減少到了0.0078 mm；平均建模誤差從0.8672 mm減少到了0.1452 mm，映射精度提高了4.97倍；建模精度從± 1.6905 mm提高到± 0.3304 mm，提高了4.12倍，從而更能夠準(zhǔn)確映射出機(jī)器人運(yùn)動過程中的狀態(tài)。雖然建立的數(shù)字孿生模型與物理模型依舊存在建模誤差，但已經(jīng)在數(shù)字孿生模型要求范圍內(nèi)。

圖9 X方向上建模誤差對比Fig.9 Comparison of coordinate deviations in X-direction

圖10 Y方向上建模誤差對比Fig.10 Comparison of coordinate deviations in Y-direction

圖11 Z方向上建模誤差對比Fig.11 Comparison of coordinate deviations in Z-direction

圖12 綜合建模誤差對比Fig.12 Comparison of combined coordinate deviations

5 結(jié)論

（1）實(shí)現(xiàn)了數(shù)字孿生測量系統(tǒng)構(gòu)建。搭建高精度光柵尺測量系統(tǒng)實(shí)時采集銑削機(jī)器人在銑削加工時機(jī)器人各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角，避免了齒輪間隙、編碼器丟碼等因素造成的所獲關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確的問題，從而提高了數(shù)字孿生的建模精度。

（2）提出了數(shù)字孿生建模參數(shù)辨識方法。本文采用MD-H模型建立連桿坐標(biāo)系，確定工業(yè)機(jī)器人銑削系統(tǒng)各連桿之間相互運(yùn)動關(guān)系，基于L-M算法實(shí)現(xiàn)多源誤差影響下的數(shù)字孿生建模參數(shù)修正，減小了數(shù)字孿生模型與物理空間實(shí)體之間差距，提高了數(shù)字孿生模型對裝備映射的準(zhǔn)確性。

（3）開發(fā)了數(shù)字孿生交互系統(tǒng)平臺。基于Qt編程軟件開發(fā)了與工業(yè)機(jī)器人銑削系統(tǒng)相匹配的數(shù)字孿生人機(jī)交互平臺，包含了控制、數(shù)據(jù)采集、可視化等多個模塊。

通過激光跟蹤儀進(jìn)行數(shù)字孿生建模試驗(yàn)驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果表明，數(shù)字孿生模型建模參數(shù)修正后較修正前對工業(yè)機(jī)器人末端點(diǎn)位的建模精度從± 1.6905 mm提高到± 0.3304 mm，提高了4.12倍，驗(yàn)證了數(shù)字孿生模型建立的正確性和建模參數(shù)修正的必要性。