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        基于變密度法的ABAQUS-MATLAB 集成拓?fù)鋬?yōu)化方法

        2023-03-13 12:10:46靳立涵JINLihan
        價(jià)值工程 2023年6期
        關(guān)鍵詞:網(wǎng)格程序有限元

        靳立涵JIN Li-han

        (重慶交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院,重慶 400074)

        0 引言

        結(jié)構(gòu)優(yōu)化共有三種優(yōu)化方式分別為:尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化。其中拓?fù)鋬?yōu)化是一種在有限的空間中根據(jù)設(shè)計(jì)要求確定材料最優(yōu)布局的數(shù)學(xué)方法。近三十年來(lái),隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)也取得了巨大的進(jìn)步。相關(guān)的從業(yè)人員和研究者提出了許多的拓?fù)鋬?yōu)化算法。

        拓?fù)鋬?yōu)化算法中有三個(gè)主流方法分別是:變密度方法、雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法[1-2]和水平集方法[3]。對(duì)于變密度法,Sigmund[4]在MATLAB 平臺(tái)上介紹了基于固體各向同性材料懲罰(SIMP)的99 行二維拓?fù)鋬?yōu)化程序,簡(jiǎn)潔易讀,很好地闡述了密度法。Andreassen[5]等在99 行代碼的基礎(chǔ)上提出了88 行拓?fù)鋬?yōu)化代碼,88 行算法在優(yōu)化相同算例時(shí)比99 行算法快100 倍。Liu 和Tovar[6]還在MATLAB 平臺(tái)上公開(kāi)了一個(gè)169 行拓?fù)鋬?yōu)化程序,在保證代碼簡(jiǎn)單和優(yōu)化效率高的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了三維目標(biāo)的優(yōu)化。Ferrari 等人[7]提出了一種新的99 行和125 行拓?fù)鋬?yōu)化代碼,分別處理二維和三維拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題,是目前MATLAB 平臺(tái)上最高效的密度法拓?fù)鋬?yōu)化代碼。

        本文將MATLAB 與ABAQUS 腳本接口進(jìn)行集成用以拓?fù)鋬?yōu)化,該集成方法的目的是充分利用MATLAB 平臺(tái)的矩陣計(jì)算能力和商業(yè)有限元軟件友好的可視化界面。該方法通過(guò)一段Python 代碼和一段MATLAB 代碼實(shí)現(xiàn)。這兩個(gè)代碼基于變密度法開(kāi)發(fā),通過(guò)MATLAB 程序調(diào)用有商業(yè)限元軟件實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)設(shè)計(jì)域在體積約束下的最小合規(guī)性的拓?fù)鋬?yōu)化。

        1 SIMP 拓?fù)鋬?yōu)化方法理論

        本文關(guān)于ABAQUS-MATLAB 拓?fù)鋬?yōu)化方法研究的目的,為了得到一個(gè)結(jié)合兩個(gè)軟件優(yōu)點(diǎn)并且能適用于基于FEM(有限元法)的多種拓?fù)鋬?yōu)化方法的集成框架?;谧兠芏确椒ǎ⊿IMP)的特點(diǎn):發(fā)展時(shí)間長(zhǎng)較為成熟、易拓展和灰度顯示。因此本文選擇變密度法作為集成框架的理論基礎(chǔ)。

        SIMP 法拓?fù)鋬?yōu)化模型:

        為了將離散型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為連續(xù)性優(yōu)化問(wèn)題,變密度法提出了一種引入中間密度單元的方法進(jìn)行計(jì)算。但在實(shí)際制造過(guò)程中,一個(gè)單元內(nèi)只有填充材料和不填充材料兩種狀態(tài),中間密度的存在使得模型無(wú)法制造。為此變密度法還提出了一個(gè)通過(guò)對(duì)中間密度單元進(jìn)行懲罰的方式來(lái)避免產(chǎn)生中間密度單元,使中間密度單元在迭代計(jì)算后趨向于實(shí)體單元或非實(shí)體單元。

        在本文中討論的SIMP 表達(dá)式為:

        其中xi是編號(hào)為i 的單元的相對(duì)密度。

        SIMP 法優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為:

        本方案是求解在體積或者質(zhì)量約束下的優(yōu)化模型的最小柔度,最終得到在約束條件下的最大剛度的優(yōu)化模型。其中X 是單元相對(duì)密度矢量為單元設(shè)計(jì)變量,C 是結(jié)構(gòu)柔度,F(xiàn) 和U 分別是載荷矢量和位移矢量,ki為單元?jiǎng)偠染仃?,k0為初始單元?jiǎng)偠染仃?,vi為單元體積,f 是保留的體積分?jǐn)?shù),V0是初始體積,xmin是設(shè)計(jì)變量的下限值,xmax是設(shè)計(jì)單元的上限值,m 為最大單元數(shù)。

        2 ABAQUS-MATLAB 集成方法及實(shí)現(xiàn)

        圖1 是ABAQUS-MATLAB 集成框架示意圖,其中MATLAB 程序完成拓?fù)鋬?yōu)化模型求解,包括靈敏度過(guò)濾和設(shè)計(jì)變量更新;Python 程序由MATLAB 調(diào)用后會(huì)執(zhí)行ABAQUS 有限元計(jì)算內(nèi)核,實(shí)現(xiàn)每個(gè)迭代步驟中有限元求解。在運(yùn)行之前,CAE 文件、MATLAB 代碼和Python 代碼需要放在同一個(gè)文件夾中,其余文件由程序生成。

        圖1 ABAQUS-MATLAB 集成方案

        根據(jù)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)要求,在ABAQUS/CAE GUI中建立有限元模型,模型包括網(wǎng)格單元、材料屬性、邊界條件和載荷應(yīng)用,其中材料屬性可以被更新。MATLAB 代碼完成求解初始化,包括有限元模型的單元總數(shù)和迭代的相關(guān)參數(shù)。隨后,在循環(huán)迭代開(kāi)始時(shí)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化,Python 程序讀取MATLAB 代碼生成的各單元設(shè)計(jì)變量,根據(jù)(1)式的材料插值模型創(chuàng)建各單元對(duì)應(yīng)的楊氏模量,并更新有限元模型的材料屬性。

        Python 程序調(diào)用ABAQUS 內(nèi)核,求解有限元模型,并從結(jié)果文件中提取相關(guān)參數(shù)。MATLAB 代碼根據(jù)優(yōu)化相關(guān)參數(shù)完成靈敏度過(guò)濾和設(shè)計(jì)變量更新,在獲取新的靈敏度后根據(jù)收斂準(zhǔn)則判斷是否收斂,如果不收斂則進(jìn)行下一次循環(huán)迭代,直到收斂。*.XLS 文件是MATLAB 和ABAQUS之間傳輸數(shù)據(jù)的介質(zhì),該文件是通過(guò)代碼調(diào)用Microsoft Excel 生成的。

        2.1 MATLAB 程序的實(shí)現(xiàn)

        本文所編寫的MATLAB 程序結(jié)構(gòu)如圖2 所示。當(dāng)開(kāi)始優(yōu)化時(shí),初始化設(shè)計(jì)模塊對(duì)設(shè)計(jì)域內(nèi)的設(shè)計(jì)變量和優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行初始化。初始化后的設(shè)計(jì)變量經(jīng)設(shè)計(jì)變量輸出模塊以電子表格的形式輸出到工作目錄。使用系統(tǒng)命令調(diào)用Python 程序執(zhí)行有限元分析。待有限元分析結(jié)束后使用有限元結(jié)果處理模塊將有限元結(jié)果組裝成靈敏度信息。使用網(wǎng)格過(guò)濾子程序?qū)`敏度信息進(jìn)行過(guò)濾。過(guò)濾后的靈敏度信息經(jīng)過(guò)設(shè)計(jì)變量更新子程序的處理得到新的設(shè)計(jì)變量。將新舊設(shè)計(jì)變量通過(guò)收斂準(zhǔn)則計(jì)算是否收斂,如果收斂則輸出優(yōu)化結(jié)果否則程序就回到設(shè)計(jì)變量輸出模塊繼續(xù)執(zhí)行。

        圖2 MATLAB 程序結(jié)構(gòu)

        2.2 Python 程序的實(shí)現(xiàn)

        Python 程序的結(jié)構(gòu)如圖3 所示。該程序可以分為有限元前處理、有限元分析和有限元后處理三部分。當(dāng)接到MATLAB 程序發(fā)出的系統(tǒng)命令時(shí),該程序開(kāi)始執(zhí)行。在前處理階段程序的操作對(duì)象為.CAE 文件,使用MATLAB 輸出的設(shè)計(jì)變量對(duì)模型中所有單元的材料屬性進(jìn)行更新。使用有限元分析模塊將更新后的模型提交有限元分析并等待分析結(jié)束。分析結(jié)束后使用有限元后處理模塊,將有限元分析結(jié)果中的彈性應(yīng)變能以電子表格的形式輸出到根目錄。如果處于第一次迭代中Python 程序還會(huì)輸出模型中所有單元的中心坐標(biāo)。

        圖3 Python 程序結(jié)構(gòu)

        3 優(yōu)化算例驗(yàn)證

        根據(jù)圖4(a)中模型示意圖,創(chuàng)建一個(gè)長(zhǎng)度為60 寬為20 的二維懸臂梁結(jié)構(gòu)。梁的左側(cè)施加對(duì)稱約束而梁的右下角施加完全固定約束。在梁的右上角施加一個(gè)方向向下大小為1 的力。在材料方面,創(chuàng)建的材料屬性中將彈性屬性中的楊氏模量值設(shè)定為1 泊松比為0.33。在劃分網(wǎng)格時(shí),設(shè)定每個(gè)網(wǎng)格為網(wǎng)格尺寸的邊長(zhǎng)為1 形狀為四邊形的四節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格,因此在梁中共有1200 個(gè)網(wǎng)格單元如圖4(b)中所示。完成上述步驟后,將該模型的名稱、工作目錄、模型數(shù)據(jù)庫(kù)名稱、網(wǎng)格單元數(shù)等信息輸入拓?fù)鋬?yōu)化集成程序中開(kāi)始進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化,進(jìn)過(guò)68 次迭代后最終的結(jié)果如圖4(c)所示。

        圖4 二維算例的設(shè)計(jì)域與優(yōu)化結(jié)果

        A-M 平臺(tái)與單ABAQUS 平臺(tái)運(yùn)算對(duì)比:

        在經(jīng)過(guò)修改后,上述ABAQUS-MATLAB 拓?fù)鋬?yōu)化平臺(tái)(簡(jiǎn)稱A-M 平臺(tái))可以實(shí)現(xiàn)雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。有學(xué)者曾使用Python 程序在ABAQUS 平臺(tái)中實(shí)現(xiàn)了雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[8]。在同一硬件條件下,使用同一優(yōu)化對(duì)象與相同的優(yōu)化參數(shù)對(duì)兩個(gè)平臺(tái)的運(yùn)算時(shí)間進(jìn)行了對(duì)比,所得到優(yōu)化結(jié)果如圖5 所示,其中(a)為A-M 平臺(tái)的優(yōu)化結(jié)果(b)則是ABAQUS 平臺(tái)的優(yōu)化結(jié)果。

        圖5 A-M 平臺(tái)與ABAQUS 平臺(tái)懸臂梁優(yōu)化結(jié)果

        從表1 中可以直觀地看到兩個(gè)平臺(tái)在同一條件下,對(duì)同一對(duì)象優(yōu)化所耗費(fèi)的時(shí)間。在總用時(shí)方面A-M 平臺(tái)遠(yuǎn)小于ABAQUS 平臺(tái),反映在單次迭代的平均用時(shí)上也是A-M 平臺(tái)耗時(shí)最少約為ABAQUS 平臺(tái)的三分之一左右。造成這種結(jié)果的原因是因?yàn)锳BAQUS 平臺(tái)的計(jì)算是基于Python 語(yǔ)言,由于該語(yǔ)言在處理矩陣計(jì)算時(shí)需要完全遍歷的特點(diǎn)導(dǎo)致在網(wǎng)格過(guò)濾階段ABAQUS 平臺(tái)的耗時(shí)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于A-M 平臺(tái)。

        表1 兩個(gè)平臺(tái)各項(xiàng)用時(shí)對(duì)比

        4 輪轂的拓?fù)鋬?yōu)化

        使用A-M 集成優(yōu)化方法對(duì)輪轂進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。如圖6(a)所示優(yōu)化前的輪轂結(jié)構(gòu)由白色的內(nèi)外環(huán)非設(shè)計(jì)區(qū)域和中間青色的設(shè)計(jì)區(qū)域組成,其中設(shè)計(jì)區(qū)域使用鋁合金材料非設(shè)計(jì)區(qū)域使用剛體建模,各部件的尺寸在圖中標(biāo)注。

        圖6 輪轂結(jié)構(gòu)優(yōu)化示意圖

        圍繞外環(huán)施加四個(gè)等大的切向力,內(nèi)環(huán)內(nèi)側(cè)則完全固定,三個(gè)部件之間使用Tie 約束。設(shè)計(jì)區(qū)域的網(wǎng)格單元共7360 個(gè)如圖6(b)所示。優(yōu)化目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)為20%,過(guò)濾半徑為2.0。經(jīng)過(guò)159 次迭代之后得到了圖6(c)所示的優(yōu)化結(jié)果。該優(yōu)化結(jié)果滿足預(yù)設(shè)的體積約束,材料分布在集中力施加點(diǎn)與內(nèi)環(huán)周圍且以中軸線對(duì)稱。

        5 結(jié)論

        提出和實(shí)現(xiàn)了一種基于變密度方法的ABAQUSMATLAB 集成平臺(tái)。通過(guò)經(jīng)典算例驗(yàn)證了該集成平臺(tái)的可行性。經(jīng)過(guò)修改后該平臺(tái)可以用雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。與另一種拓?fù)鋬?yōu)化平臺(tái)對(duì)比得到了本集成平臺(tái)耗時(shí)更少的結(jié)果,證明了A-M 集成方法的高效性。使用該集成方法以輪轂為對(duì)象進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化,得到了結(jié)構(gòu)合理造型美觀的優(yōu)化結(jié)果。

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