胡芳舉

湖南省桃江縣第一中學(xué) (413400)

一、試題呈現(xiàn)

圖1

(1)求C的方程；

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|.

二、一題多證

(2)選?、佗?②.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，顯然成立.下面只考慮直線AB的斜率存在的情況.

評注：證法一、二雖然思路簡單自然，但運算非常復(fù)雜，學(xué)生一般有始無終.

評注：證法三、四根據(jù)題設(shè)已知，靈活運用直線的參數(shù)方程、曲線系知識，簡化計算，證明過程簡潔巧妙，令人回味無窮.

三、試題推廣

四、兩個變式

圖2

評注：過點M作直線交雙曲線的兩漸近線于點A，B，若點M為線段AB的中點，則C,D分別為線段OA,OB的中點，∴CD∥AB，又PQ∥CD，∴AB∥PQ，所以推廣成立.

證明：設(shè)點R為線段CD的中點，由變式1易知R，M，N共線，又OCMD為平行四邊形，所以O(shè)，R，M共線，故O,M,N三點共線.