萬(wàn)福昌 吳 靜
江蘇省蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué) (215131)
本文探求三角形內(nèi)接三角形周長(zhǎng)的最小值,并利用其最小值得出兩個(gè)有趣的定理.
圖1
圖2
圖3
圖4
定理2 如圖4,在△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形△ABC的三邊上,AH是△ABC的BC邊上的高,分別作D關(guān)于AB,AC的對(duì)稱點(diǎn)P,Q分別作C關(guān)于CD,CB的對(duì)稱點(diǎn)M,N,則PQ=MN.
證明:PQ,MN均為則△DEF周長(zhǎng)等于PE+EF+QF的最小值,所以PQ=MN.
定理3 已知三角形△ABC的三邊上的高分別為AH,BK,CR,則AHsin∠BAC=BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.
圖5
證明:如圖5,由命題1知PQmin=2AHsinθ,同理MNmin=2CRsin∠ACB,由命題2知PQ=MN,∴PQmin=MNmin,
∴AHsin∠BAC=CRsin∠ACB,同理BKsin∠ABC=CRsin∠ACB,故AHsin∠BAC=BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.
定理3可稱為垂弦定理.還可以通過(guò)如下方法證明.
∴AHsin∠BAC=BKsin∠ABC.同理BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.故AHsin∠BAC=BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.