楊標(biāo)桂

福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (350007)

文[1]收錄了如下關(guān)于三角形半角正切立方和的幾何不等式:

本文將利用r-s-R法并結(jié)合著名的Gerretsen不等式和Kooi不等式.給出不等式(1)的加強(qiáng).

定理設(shè)r,R,s分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑與半周長(zhǎng),則有

為了證明不等式(2)，我們先利用r-s-R法給出幾個(gè)關(guān)于三角形半角正切的公式.

引理1 設(shè)r,R,s分別為其內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑與半周長(zhǎng),則有

16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2(7).

其中∑,∏分別表示循環(huán)和與循環(huán)積.

公式(4)是熟知的半角正切公式.

不等式(7)是Gerretsen不等式，(8)的右邊不等式就是著名的Kooi不等式.